1、第33练概率的两类模型题型分析高考展望概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以填空题的形式出现体验高考1(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_答案解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,
2、5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.2(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为_答案解析由1log1，得x2，0x.由几何概型的概率计算公式得所求概率P.3(2015福建改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析由图形知C(1,2)，D(2,2)，S矩形ABCD6，S阴影31，P.4(2016课标全国乙改编)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发
3、车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_答案解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P.5(2016天津改编)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为_答案解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.高考必会题型题型一古典概型问题例1(1)(2016课标全国丙改编)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的
4、一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是_答案解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：选取的2位学生都是男生；选取的2位学生一位是男生，另一位是女生解设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,
5、5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以选取的2位学生全是男生的概率为P1.从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2.点评求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设
6、出所求事件A.(2)分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率变式训练1(2016北京改编)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_答案解析从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为.题型二几何概型问题例2(1)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_(2)在区间0，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22
7、axb2有零点的概率为_答案(1)(2)解析(1)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4，因此满足条件的概率是.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则4a24b240a2b2得所求概率为1.点评(1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积
8、等几何问题在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关变式训练2(1)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是_(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_答案(1)(2)1解析(1)由20，可得2，由向量加法的几何意义可知点P在ABC的中线AD上，且，如图所示
9、，由共线向量定理知22，所以，所以P为AD的中点，所以PBC的面积是ABC面积的，根据几何概型可知黄豆落在PBC内的概率是P.(2)V正238，V半球13，故点P到点O的距离大于1的概率为1.高考题型精练1从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_答案解析从1,2,3,4中任取2个不同的数共有6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，故所求概率为.2掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于_答案解析掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2
10、,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为.3(2016课标全国甲改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_答案解析至少需要等
11、待15秒才出现绿灯的概率为.4在区间0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为_答案解析设这两个数为x，y，则0x10,0y10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x2y20,10，在正方形中形成的阴影面积为，因此所求概率为.5.如图，已知点A在坐标原点，点B在直线y1上，点C(3,4)，若AB，则ABC的面积大于5的概率是_答案解析设B(x,1)，由AB，知，解得x3,3根据题意知点D(，1)，若ABC的面积小于或等于5，则DB45，即DB，此时点B的横坐标x，又x3,3，所以点B的横坐标x，3，所以ABC的面积小于或等于5的概率为P，所以ABC的面积大
12、于5的概率是1P.6一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_答案1解析因为三角形的面积为346，离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为12，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P1.7(2015湖北改编)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则_p1p2； p2p1；p2p1; p1p2.答案解析(1)在直角坐标系中，依次作出不等式组xy，xy的可行域如图所示：依题意，p1，p2，而，所以p1n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落
13、在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.10连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m_.答案7解析112,123,134,145,156，167，213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出现次数最多11甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙闯关成功的概率为，每人闯关成功得2分，三人得分之和记为小组团体总分(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)求团体总分为4
14、分的概率；(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率解记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A、B、C，则由已知条件得P(A)，P(AB)，P(BC).(1)P(AB)P(A)P(B)，P(B).同理，P(C).(2)每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功，两人都闯关成功的概率P1，即团体总分为4分的概率P1.(3)团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分，团体总分为6分，需要三人都闯关成功，三人都闯关成功的概率P2.由(2)知团体总分为4分的概率P1，团体总分不小于4分的概率PP1P2.12如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q.(1)求p和q的值；(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率解(1)p1，p，又4q1，q.(2)最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在C、D、E三处相遇)设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，则pC()()，pD2()2()，pE()()，pCpDpE()，即所求的概率为.