1、算 法 案 例(1)1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）2.思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1
2、813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。完整的过程8251=61051+21466105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？1、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定
3、的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m=n q r用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否（2）算法步骤 第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0
4、,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.（3）程序框图（4）程序 INPUT“m,n=“;m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND开始输入m,nr=m MOD nm=nr=0?是否n=r输出m结束九章算术更相减损术第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。2、更相减损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较
5、大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 986335 633528 35287 28721 21721 1477 所以，98和63的 最大公约数等于7 用更相减损术求两个正数84与72的 最大公约数 练习：12（2）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br,那么把b赋给a,
6、把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.（3）程序框图（4）程序 INPUT “a,b=“;a,bWHILE abr=a-bIF br THENa=bb=rELSEa=rEND IFWENDPRINT bEND开始输入a,bab?是否输出b结束b=ra=br=a-brb?a=r 否是例4、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。27比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上
7、辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 小结 算 法 案 例(2)1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（）和（）。2、两个数21672，8127的最大公约数是（）A、2709 B、2606 C、2703 D、2706案例2、秦九韶算法怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？计算多项式()=当x=5的值算法1：因为()=所以(5)=55555=3125625125255=3906算法2：(5)=55555=5(5555)=
8、5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+算法1：因为()=所以(5)=55555=3125625125255=3906算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算共做了4次乘法运算，5次加法运算。数书九章秦九韶算法0111)(axaxaxaxfnnnn设)(xf是一个n 次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312)(axa
9、xaxaxannnn0121)(axaxaxaxannn这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？0121)()(axaxaxaxaxfnnn要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即11nnaxav然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即212naxvv323naxvv01axvvnn最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。算法步骤：第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为1.第三步：输入i次项的系数an-i.第四步：v=vx+an-i,i=i+1.第五步：判断i
10、是否小于或等于n，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。程序框图：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。输入an-i开始输入n,an,xi=n?输出v结束v=vx+an-ii=i+1YNi=1V=an),(nkaxvvavknkkn2110特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。例2 已知一个五次多项式为8.07.16.25.325)(2345xxxxxxf用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。解：将多项式变形：8.0)7.1)6.2)5.3)25()(xxxxxxf按由里到外的顺序，依此计算一次多项式
11、当x=5时的值：272551v50 v5.1385.35272v9.6896.255.1383v2.34517.159.6894v2.172558.052.34515v所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？程序框图：开始输入f(x)的系数：a0,a1,a2,a3,a4a5输入x0n5?输出v结束v=vx0+a5-nn=n+1YNn=1v=a5),(nkaxvvavknkkn2110这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1用秦九韶算法求这个多项式当
12、x=-2时的值的过程中，求41vv 与算法案例(3)一、进位制1、什么是进位制？2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。半斤=八两 我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.比如时间和角度的单位用六十进位制,计算“一打”数值时是12进制的。电子计算机用的是二进制3、我们了解十进制吗？所谓的十进制，
13、它是如何构成的？十进制由两个部分构成例如：3721其它进位制的数又是如何的呢？第一、它有09十个数字；第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。(用10个数字来记数，称基数为10)01231011021071037213表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方十进制：“满十进一”二、二进制 二进制是用0、1两个数字来描述的如11001 二进制的表示方法 区分的写法：11001（2）或者(11001)2 01234(2)212020212111001八进制呢？如7342(8)k进制呢？anan-1an-2a1(k)？三、二进制与十进制的转换1、二进
14、制数转化为十进制数 例1 将二进制数110011(2)化成十进制数 解：根据进位制的定义可知 012345)2(21212020212111001112116132151所以，110011（2）=51 将下面的二进制数化为十进制数？（1）11（2）110练习注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）2、十进制转换为二进制 例2 把89化为二进制数 5 2 2 2 1 2 0 1 0 余数 11 22 44 89 2 2 2 2 0 1 1 0 1 练习 将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20 例3 把89化为五进制数 3、十进制
15、转换为其它进制 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324（5）89 5 17 5 3 5 0 4 2 3 余数 练习：完成下列进位制之间的转化：（1）10231（4）=（10）；（2）235（7）=（10）；（3）137（10）=（6）；（4）1231（5）=（7）；（5）213（4）=（3）；（6）1010111（2）=（4）。1进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；2十进制与二进制之间转换的方法；先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。小结 3十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。