1、第1讲排列、组合与二项式定理考情解读1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等1
2、分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2排列与组合(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A.(2)组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C.(3)组合数的性质CC；CCC.3二项式定理(1
3、)二项式定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)(2)二项展开式的通项Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.热点一两个计数原理例1(1)将1,2,3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当3,4固定在图中的位置时，填
4、写空格的方法为()A6种 B12种C18种 D24种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a30，即x2m0在区间，上恒成立，所以m(x2)max，在区间，上，易知当x时，x2有最大值，最大值为5，所以m5.即实数m的取值范围是5，)(推荐时间：60分钟)一、选择题1(2014安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对 C48对 D60对答案C解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线AC成60角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60角的面对角线也有8
5、条因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对又正方体共有6个面，所以共有16696(对)又因为每对被计算了2次，因此成60角的面对角线有9648(对)2在(x)5的二项展开式中，x2的系数为()A40 B40C80 D80答案A解析(x)5的展开式的通项为Tr1Cx5r()r(2)rC，令52，得r2，故展开式中x2的系数是(2)2C40，故选A.3从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A224 B112C56 D28答案B解析根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：
6、CC112.4若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0a1a3a5的值为()A122 B123 C243 D244答案B解析在已知等式中分别取x0、x1与x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123，故选B.5(2014四川)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C15 D10答案C解析因为(1x)6的展开式的第r1项为Tr1Cxr，x(1x)6的展开式中含x3的项为Cx315x3，所以系数为15.6计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、
7、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()AAA BAAACCAA DAAA答案D解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有AAA种7二项式()n的展开式中第4项为常数项，则常数项为()A10 B10C20 D20答案B解析由题意可知二项式()n的展开式的常数项为T4C()n3()3(1)3C，令3n150，可得n5.故所求常数项为T4(1)3C10，故选B.8有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出
8、了第一到第五的名次A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A6 B18C20 D24答案B解析由题意知，名次排列的种数为CA18.9在二项式(x2)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1答案C解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，令x1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12)50，故选C.10用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法
9、的种数为()A60 B80C120 D260答案D解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是CA60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C3260；如果使用4种颜色，方法种数是CA120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是206060120260，故选D.二、填空题11“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注
10、的五个焦点小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为_答案72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点选出3个，有C种不同的选法；在调查时，“雾霾治理”安排的调查顺序有A种可能情况，其余三个热点调查顺序有A种，故不同调查顺序的总数为CAA72.12(x1)(4x24)3的展开式中的常数项为_答案160解析(x1)(4x24)3(x1)(2x)6，其中(2x)6展开式的第r1项为Tr1C(2x)6r()r(1)rC26rx62
11、r，令r3，可得T4(1)3C23160，所以二项式(x1)(4x24)3的展开式中常数项为(1)(160)160.13(2014北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法于是符合题意的排法共有AAAA36(种)14(2014课标全国)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析设通项为Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7的系数为Ca315
12、，a3，a.15某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为_答案36解析若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有CAC18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3CA18种所以满足题意的分法共有181836种16已知(x)6(a0)的展开式中常数项为240，则(xa)(x2a)2的展开式中x2项的系数为_答案6解析(x)6的二项展开式的通项为Tr1Cx6r()rCa，令60，得r4，则其常数项为Ca415a4240，则a416，由a0，故a2.又(xa)(x2a)2的展开式中，x2项为3ax2.故x2项的系数为(3)26.