1、第2讲函数的应用考情解读1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题1函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在
2、c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解2函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的区间是()A(，1
3、) B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)(2)(2014辽宁)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)则不等式f(x1)的解集为()A，B，C，D，思维启迪(1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决答案(1)C(2)A解析(1)因为f()ln40，f(1)ln 220，f(e1)10，故零点在区间(e1,2)内(2)先画出y轴右边的图象，如图所示f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，可画出y轴左边的图象，再画直线y.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标令cos x，x0，x，x.令2x1，x，xA，xB.根据对称性可知直线y与曲线另外两个
4、交点的横坐标为xC，xD.f(x1)，则在直线y上及其下方的图象满足，x1或x1，x或x.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(1)已知函数f(x)()xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数是()A1 B2C3 D4(2)(2014绵阳模拟)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案(1)C(2)C解析(1)f(x)在0
5、,2上的零点个数就是函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点个数，而函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点有3个，故选C.(2)f(x)2x在(0，)上是增函数，又a是函数f(x)2x的零点，即f(a)0，当0x0a时，f(x0)0.热点二函数的零点与参数的范围例2对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)思维启迪先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围答案D解析解不等式：x21(4x)1，得：x2或x3，所以，f(x)函数yf
6、(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点如图，所以1k2，故2k1.思维升华已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解(2014郑州第一次预测试题)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间为(1,1)，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是_答案a解析函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间为(1,1)，1和1是f(x)0的根，f(x)3ax22bxc，b0，c3a，f(x)ax33ax，3
7、a(f(x)22bf(x)c0，3a(f(x)23a0，f2(x)1，f(x)1，即，a.热点三函数的实际应用问题例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪(1)分x0和x0两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解(2)利用换元法把函数f(
8、x)转化成g(t)|ta|2a，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)解(1)当x0时，t0；当0x24时，x2(当x1时取等号)，t(0，即t的取值范围是0，(2)当a0，时，记g(t)|ta|2a，则g(t)g(t)在0，a上单调递减，在(a，上单调递增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)当0a时，M(a)a2显然成立；由得a，当且仅当0a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求
9、最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同现将全部工人分为两组，分别加工A型和B型零件，且同时开始加工设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(kN*)个，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x)(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间f(x)的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需时间最少？解(1)由题意，知A型零件共需要生产4 500个，B型零件共需要生产1 500个，加
10、工B型零件的工人有(214x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个，所以g(x)，h(x).则g(x)h(x).因为0xh(x)；当138x213时，g(x)h(x)所以f(x)其中xN*.(2)求完成总任务所需时间最少，即求当x为何值时，f(x)最小因为f(x)(1x137)为减函数，f(x)(138x213)为增函数，而1，所以当x137时，f(x)最小即当有137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少1函数与方程(1)函数f(x)有零点方程f(x)0有根函数f(x)的图象与x轴有交点(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间a，b上的图象是
11、连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点2函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决3应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值
12、、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1(2014重庆)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2)因为直线ymxmm(x1)恒过定点C(1,0)，故当直线ym(x1)在AC位置时，m，可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m，g(x)有两
13、个不同的零点当直线ym(x1)过点B时，m2；当直线ym(x1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2(2m3)xm20，由(2m3)24m(m2)0，解得m，可知当ym(x1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时m2，g(x)有两个不同的零点综上，m的取值范围为(，2(0，故选A.2(2014北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(
14、)A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟答案B解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟押题精练1已知函数f(x)则函数yff(x)1的零点有_个答案4解析当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x)11，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有四个不同的零点2函数f(x)xexa有
15、两个零点，则实数a的取值范围是_答案(，0)解析令f(x)(x1)ex0，得x1，则当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，要使f(x)有两个零点，则极小值f(1)0，即e1a，又x时，f(x)0，则a0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元(推荐时间：60分钟)一、选择题1函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2,3)答案C解析函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数f()log21230，f(1)log21010，f(3)log2310，即f(1)f(2)0
16、，函数f(x)log2x的零点在区间(1,2)内2函数f(x)ln，下列区间中，可能存在零点的是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(1,2)与(2,3)答案B解析f(x)lnln(x1)，函数f(x)的定义域为(1，)，且为递减函数，当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数在(1,2)上没有零点；f(2)ln 110，f(3)ln 2，因为22.828，所以e，故ln eln ，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，f(4)ln 3ln 30时，f(x)x2x(x)2，所以要使函数f(x)m有三个不同的零点，则m0，即m的取值范围为(，0)5(2013江西)如图，半
17、径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点设弧的长为x(0x)，yEBBCCD，若l从l1平行移动到l2，则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析如图所示，连接OF，OG，过点O作OMFG，过点A作AHBC，交DE于点N.因为弧的长度为x，所以FOGx，则ANOMcos ，所以cos ，则AEcos ，EBcos .yEBBCCDcos cos 2(0x)6已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A5 B6C7 D8答
18、案C解析由题意知g(x)2，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：由图形可知函数f(x)，g(x)在区间5,1上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t(0t0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.8(2014课标全国)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_答案(，8解析当x1时，x10，ex1e012，当x1解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根
19、m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：01.10我们把形如y(a0，b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.答案4解析由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点三、解答题11设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1
20、.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)12随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x人，可获得的
21、经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a70)x2ab.依题意得2ax2a，所以0x.又1402a420，即70a210.(1)当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值故当70a140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大，当140a0，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a1.