1、第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数11+i=()A.12-12i B.12+12iC.1-iD.1+i解析:11+i=1-i(1+i)(1-i)=1-i2=12-12i,故选A.答案:A2.下列命题中,正确的是()A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.如果与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析:复数的模大于或等于0,故选项A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一
2、一对应,因此选项B不正确;同理选项C也不正确,选项D正确.答案:D3.1(3-2i)2-1(3+2i)2的值是()A.2413iB.1213iC.24169iD.12169i解析:原式=(3+2i)2-(3-2i)2(3-2i)2(3+2i)2=(3+2i+3-2i)(3+2i-3+2i)(3-2i)(3+2i)2=24i169.答案:C4.复数2-2aia+2i的模为2,则实数a的值是()A.3B.3C.3D.3解析:2-2aia+2i=2,2+4a2a2+4=2.a=3.答案:C5.若复数z满足z-1=3(1+z)i,则z+z2的值是()A.1B.0C.-1D.-12+32i解析:由题意,
3、z=1+3i1-3i=(1+3i)24=-12+32i,所以z2+z+1=0,即z2+z=-1.答案:C6.已知(3+3i)z=-23i,那么复数z的虚部为()A.32B.32iC.-32D.-32i解析:(3+3i)z=-23i,z=-23i3+3i=-32i-12.故复数z的虚部为-32.答案:C7.设z=1+i1-i+(1-i)2,则(1+z)7等于()A.8-8iB.8+8iC.-8+8iD.-8-8i解析:z=i+(-2i)=-i,(1+z)7=(1-i)7=(1-i)(1-i)23=(1-i)8i=8+8i.答案:B8.复数z满足条件:|2z+1|=|z-i|,那么z对应点的轨迹是
4、()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:设z=x+yi(x,yR),则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|, 即(2x+1)2+4y2=x2+(y-1)2,所以3x2+3y2+4x+2y=0.故z对应点的轨迹是圆.答案:A9.复数z=m-2i1+2i(mR,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=m-2i1+2i=m-45-2(m+1)5i.当m-1时,m-450,-2(m+1)50;当-1m4时,m-450,-2(m+1)54时,m-450,-2(m+1)50(m,n,pR)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位
5、于复平面内的第象限.解析:mx2-nx+p0(m,n,pR)的解集为(-1,2),m0,(-1)+2=nm,(-1)2=pm,即m0.故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.答案:二14.已知x2+ix+6=2i+5x,若xR,则x=;若xC,则x=.解析:当xR时,由复数相等的充要条件得x2-5x+6=0,x=2,解得x=2;当xC时,令x=a+bi(a,bR),则有a2-b2-b+6=5a,2ab+a=2+5b.解得a=2,b=0或a=3,b=-1.所以x=2或x=3-i.答案:23-i或215.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2为实数)
6、,定义运算“”:z1z2=x1x2+y1y2,设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,如果12=0,那么在P1OP2中,P1OP2的大小为.解析:设1=x1+y1i,2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2R),则OP1=(x1,y1),OP2=(x2,y2).12=0,x1x2+y1y2=0.OP1OP2.P1OP2=2.答案:2三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2bz=(a+2z)2.分析将z=1+i,z=1-i代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.解
7、:z=1+i,az+2bz=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.a,bR,由复数相等,得a+2b=a2+4a,a-2b=4(a+2).两式相加整理,得a=-2,b=-1或a=-4,b=2.所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.17.(8分)设O为坐标原点,已知向量OZ1,OZ2分别对应复数z1,z2,且z1=3a+5+(10-a2)i,z2=21-a+(2a-5)i(其中aR),若z1+z2可以与任意实数比较大小,求OZ1OZ2的值.解:依题意,z1+z2为实数,z1=3a+5-(10-a2)i,z1+z2=
8、3a+5+21-a+(a2-10)+(2a-5)i的虚部为0.a2+2a-15=0.解得a=-5或a=3.又分母不为零,a=3.此时z1=38+i,z2=-1+i,即OZ1=38,1,OZ2=(-1,1).OZ1OZ2=38(-1)+11=58.18.(9分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2,z所对应的点在第一象限.(1)求z;(2)若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cosABC.解:(1)设z=x+yi(x,yR).|z|=2,x2+y2=2.又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,2xy=2,xy=1.由可解得x=1,y=1或x=-1,y=-1.z=1+i或z=-1-i.又x0,y0,z=1+i.(2)z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i.如图所示,A(1,1),B(0,2),C(1,-1),BA=(1,-1),BC=(1,-3),cosABC=BABC|BA|BC|=1+3210=425=255.