1、25.2.2 用列举法求概率（彭小永）一、教学目标（一）学习目标1会用列表法求随机事件的概率2会用树状图法随机事件的概率3能根据问题的具体情境选择合理的方法求随机事件发生的概率. （二）学习重点用树状图法求随机事件的概率（三）学习难点包含两步以上的随机事件的概率二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）当一次试验包含两步完成时，用 列表 法求概率比较方便，当然此时也可用 画树状图 的方法. （2）当一次试验包含 三步或三步以上 才能完成时，用 画树状图 的方法更加方便，因为表格难以表达含三个维度的事件的发生情况. （3）某校八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学
2、每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是(B)A. B. C. D.2.预习自测（1）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为结果，那么所得结果之和为8的概率是()A. B. C. D.【知识点】用列举法求随机事件的概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：根据题意，可列出下表：第1枚第2枚1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4
3、（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）共有36种情况，满足条件的有5种情况，所以，P（和为8）= . 【思路点拨】用列举法将所有可能的情况排列出来，指出符合条件的情况即可得解. 特别注意的是，当某个随机事件涉及的数据太多时，不宜用树状图法，因为纸面上可能画不下，或者画得太挤，不美观. 【答案】D（2）某校九年级共有四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是()A. B. C. D.【知识点】随机事件的概率【解题过
4、程】解：根据题意，可画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共12种，分别是（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），且这些结果都是等可能性的，其中只有（1，2）和（2，1）才符合题意，所以，P（选中1班和2班）. 【思路点拨】用树状图排列出所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率. 【答案】B（3）学校开设航模、彩绘、泥塑三个社团，如果小明和小亮两名同学每人随机选择参加一个社团，那么两人选到同一社团的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：记航模、彩绘、泥塑三个
5、社团为A、B、C，则可列出下表：小明小亮ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）从表中可以看出，在总共9种情况中，只有3种符合要求，所以，所求的概率为.【思路点拨】用列表的方法便可轻松地求出答案. 此题用树状图也可. 【答案】 . （4）若我们把十位数字比个位和百位数字都大的三位数称为“凸数”，如786、465. 那么由1、2、3这三个数字构成的不重复的三位数中是凸数的概率是 .【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题意，可得到如下树状图：共有6种等可能的情况，它们分别是：123、132、213、231、312、321，其中，
6、只有132和231满足条件，所以，P（构成凸数） . 【思路点拨】画好树状图，找出符合条件的数，便可轻松得概率. 特别注意的是，当一个事件需要三步或三步以上才能完成时，用表格已经不太适宜. 【答案】 (二)课堂设计1.知识回顾（1）古典概型试验的两个主要特点是：在一次试验中，可能出现的结果是有限 个；同时，各个结果发生的可能性 相同 . （2）如果在一次试验可以分两步完成时，可以用 列表 法 不重不漏 地排列出所有可能的结果，并找出符合条件的结果，求出其概率. （3）将正面分别标有6、7、8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，随机地抽取一张作为个位数字（不放回），再抽取一张作为十
7、位数字，则组成的这个数恰好为68的概率是（ C ）. A B C D2.问题探究探究一 温故知新，初识树状图活动 温故知新，引出树状图（1）某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，若从这5名学生中，选取2名同学参加跳绳比赛，恰好选中一男一女的概率是_师问上述问题，由学生思考后，举手回答. 生答：有20种等可能的情况，共有12种情况符合要求，所以恰好选中“一男一女”的概率为 . 【设计意图】让学生通过回顾与思考，进一步熟悉列表法，为树状图的学习铺路. 活动 逐步深入，试用树状图示例：某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，准备从指定的3女2男中随
8、机地选取3人参加PK赛. （1）你能用列表法求出“选定的人为2男1女”的概率吗？ （2）你能用预习中学到的树状图的方法求出“选定的人为2男1女”的概率吗？请你试一试. 师问上述两个问题，让学生举手抢答第（1）问，并试着让学生完成张（2）问. 当所有学生都不能独立完成第（2）问时，老师可以将它作为一个例题向学生展示. 生答：（1）表格只有横、竖两个方向，无法用列表法较好反映需要三步才能完成的事件的整体情况；（2）可用树状图求出其概率. 其余步骤让学生上台讲解，或将其作为例题，由老师讲解. 主要是引入树状图这一做法. 探究二 用树状图求随机事件的概率活动 对比讲解，引出树状图例1 在“阳光体育”活
9、动期间，班主任将全班同学随机分成了3组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是_【知识点】用画树状图的方法求概率【数学思想】模型思想【解题过程】小明小亮1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）解：若将组别分别记为1、2、3，则小明和小亮的组别选择情况可以用如下表格排列出来： 由上表可以看出，共有9种等可能的情况，其中只有3种情况是两人分在同一组，所以，P（两人同组） . 还可用如下树状图的方法将所有情况罗列出来：由树状图可以看出，共有9种等可能的情况，其中只有3种情况是两人分在同一组，所以，P（两人同组） . 【思路点拨】当一
10、个随机事件分两步完成时，用表格或树状图都能将所有情况罗列出来. 【答案】 . 练习：商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同(1)若该同学去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是_；(2)若该同学两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）在雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料中买到奶汁的概率为 . （2）分别将雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料记为A、B、C、D，根据题意，可画出如下树状图： 由树状图可知，共有12种等可
11、能的情况，其中只有2种符合要求，所以，P（买到雪碧和奶汁） . 【思路点拨】用列表法或树状图法均可轻松得解.“每次买到的饮料品种不一样”就相当于在摸球实验中，摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出第2个. 【答案】（1）买到奶汁的概率为 ；（2）P（买到雪碧和奶汁） . 活动 用树状图法求概率例2 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有 3个相同的小球，它们分别写有字母C、D、E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别精心有字母H和I. 从三个口袋中各随机地取出一个小球. （1）取出的三个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率是多少？（2）取出的三个小球全是辅音字母
12、的概率是多少？【知识点】用画树状图的方法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：根据题意，可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，它们分别是：ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI，且这些结果出现的可能性相等. （1）只有一个元音字母的有五种情况，分别是：ACH、ADH、BCI、BDI、BEH，所以，P（1个元音） . 有两个元音字母的有4种情况，即ACI、ADI、AEH、BEI，所以，P（2个元音） . 全部都是元音字母的只有 1 个，即AEI，所以，P（3个元音）=. （2）全部都是辅音字母的只有两
13、种，它们分别是BCH、BDH，所以，P（3个辅音） . 【思路点拨】在26个英文字母中，元音字母只有A、E、I、O、U五个，其余为辅音；此题中的元音字母有A、E、I三个，辅音字母有B、C、D、H四个，用树状图排出后，找出符合题意的，即可计算出相应的概率. 【答案】（1）P（1个元音） ；P（2个元音） ；P（3个元音）；（2）P（3个辅音） . 练习：A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B或C中的某一人，以后每一次传球都是由上次的接球者随机地传给其他两人中的某一人. （1）两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）三次传球后，球恰在A手中的概率【知识点】用画树状图
14、的方法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：根据题意，可画出如下树状图：（1）通过两次传球后，有四种等可能的结果，即球分别在A、C、A、B手中，只有一种情况会让球在B手中，所以，P（两次传球后球在B手中） . （2）解：通过三次传球后，有8种等可能的结果，即球分别在B、C、A、B、B、C、A、C手中，A手中有球的情况出现了2次，所以，P（三次传球后球在A手中） . 【思路点拨】用画树状图的方法得出所有可能的结果，找出符合条件的，问题便迎刃而解. 第（1）问也可用列表法. 【答案】（1）P（两次传球后球在B手中）；（2）P（三次传球后球在A手中） . 【设计意图】让学生熟练使用树状图解决
15、问题. 活动 拓展提高，解答概率综合题例3 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大，为什么？【知识点】用列举法
16、求概率顺序甲乙上中下上下上下中上中中上下中上中下上中上下上中下上下中上下中【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）三辆车开来的先后顺序共有6种情况，分别是上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上 . （2）根据题意，可以列出右表. 从表中可以看出，甲乘上、中、下三种车的概率都是；乙乘上等车的概率为 . 所以，乙的方案乘坐上等车的可能性比甲大. 【思路点拨】用表格将所有情况列举出来，然后找出符合条件的即可轻松得解. 根据不同的情境，选择合理的解题方法可以节省较多的时间. 【答案】（1）三辆车开来的先后顺序共有6种情况，分别是上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上；（2）乙的方
17、案乘坐上等车的可能性比甲大. 练习：某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求：(1)第二个出场为甲的概率；(2)丙比乙先出场的概率【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题意，可画出如下树状图：从图中可以看出，共有6种等可能的情况. （1）因为甲第二个出场的只有2种情况，所以，P（甲第二个出场） . （2）由图中可以看出，有3种情况是丙比乙先出场的，所以，P（丙比乙先出场）. 【思路点拨】树状图可以是纵向的，还可以是这种横向的. 【答案】（1）P（甲第二个出场）；（2）P（丙比乙先出场）. 【设计意图】强化列举法求概率，使其能灵活运用.
18、3. 课堂总结知识梳理（1）当某个随机事件 需要两步完成 时，用 列表法和树状图 都可以. （2）当某个随机事件 需要3步或3步以上 才能完成时， 树状图 是不错的选择 . （3）使用列举法求概率时，必须做到 不重不漏 . 重难点归纳（1）会灵活地用列表法或树状图法求随机事件的概率； （2）当某个随机事件需要3步或3步以上才能完成时，用树状图. （3）当某个随机事件只需要两步完成，宜用列表法；但若出现的等可能情况太多，不宜用列表法. （三）课后作业基础型 自主突破1.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）A B. C. D.【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题
19、意，可得到如下表格：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）从上表可以看出，共有4种等可能的情况，其中只有1种符合题意，所以，P（两次正面朝上） . 【思路点拨】用列表法或树状图都能轻松解决此题. 【答案】D2. 一个不透明的袋子里有4个完全一样的小球，分别标有数字2、3、4、5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，则抽取的两个小球数字之和大于6的概率是()A. B. C. D.【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题意，可列出如下表格：第1次和第2次2345245673567846789578910由上表可以看出，共有16种等可能的情况，有10种符合题意，所以，P(和大于6
20、) . 【思路点拨】摸出后是否放回对结果的影响很大，这一点特别重要. 列表或画树状图都可以. 【答案】C3.某班需从3名最优秀的学生中选2人参加数学竞赛，这3 人中有两男一女，则刚好选中两位男生的概率是_【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：将两个男生分别记作男1和男2，根据题意，可得到如下树状图： 由图中可知，共有6种等可能的情况，其中只有2种情况能选出两个男生，所以，P（两人都是男生） . 【思路点拨】用树状图或表格都可得到答案. 【答案】. 4.在一个不透明的口袋中有三支水粉颜料，1红2蓝，现需要从中选取两支调出紫色（红色与蓝色搭配得到紫色）颜料，则能成功的概率是_. 【知识点】用列举
21、法求概率【解题过程】将两个蓝色分别记作蓝1和蓝2，根据题意，可得到如下树状图：由图中可知，共有6种等可能的情况，其中有4种情况能配成紫色，所以，P（配成紫色） . 【思路点拨】用树状图或表格都可得到答案. 【答案】. 5.三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机抽出两张，这两张卡片上的数字都小于3的概率是_【知识点】用列举法求概率【解题过程】根据题意，可以得到如下树状图：从图中可以看出，共有6种等可能的情况，只有2种符合要求，所以，两次摸到的数字都恰好都小于3的概率为 . 【思路点拨】用树状图或表格都可解答此题. 【答案】 . 6. 小球从A点入口往下落，在每个交叉口都有向左向右的可
22、能，且可能性相等则小球最终从E点落出的概率为（）【知识点】用列举法求概率【思想方法】数形结合思想，分类讨论思想【解题过程】解：根据题意，可以画出如下树状图：从图中可以看出，共有四个出口，从出口E落出的概率为 . 【思路点拨】利用树状图解决问题，很直观. 【答案】从出口E落出的概率为 . 能力型 师生共研7. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1、2、3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长，正好构成等边三角形的概率是 . A. B. C. D.【知识点】用列举法求概率【解题过程】根据题意，
23、可画出如下树状图：从图中可知，共有27种等可能的情况，其中只有3种情况能构成等边三角形，所以，构成等边三角形的概率为. 【思路点拨】需三步或三步以上才能完成的随机事件，用树状图来解答. 【答案】8. 2019年6月5日是中国第一个“文化遗产日”，某校承办了“责任与使命亲近文化遗产，传承文明火炬”的活动，其中有一项“抖空竹”的表演已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种空竹求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：设塑料空竹为A，木质空竹为B，根据题意，可得到如下树状图：从图中可以看出，共有8种等可能的情况，只有两种符合题意，所
24、以，P（三人选到同种空竹） . 【思路点拨】遇到分三步或三步以上才能完成的随机事件，画树状图是不错的选择. 【答案】P（三人选到同种空竹） . 探究型 多维突破9. 在四张编号为A、B、C、D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取一张. （1）请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；（卡片用A、B、C、D表示）（2）我们知道，满足的三个正整数a，b，c称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率. 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题意，可得到如下树状图：（1）从图
25、中可以看出，共有12种等可能的情况，分别是AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC. （2）在12种等可能的情况中，有6种符合题意，所以，P（两次抽到勾股数） . 【思路点拨】用树状图和表格都能解答此问题. 【答案】（1）共有12种等可能的情况；（2）P（两次抽到勾股数） . 10. 在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为.(1)计算由确定的点()在函数的图象上的概率；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若满足则小明胜，若满足
26、则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想，函数思想【解题过程】解：根据题意，可画如下出树状图：(1)共有12种等可能的结果，在函数5的图象上的点有：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，点()在函数5的图象上的概率为P(2)满足6有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)共4种情况，满足6有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)共6种情况，P(小明胜)，P(小红胜)，P(小明胜)P(小红胜)，不公平；公平的游戏规则为：若满足6则小明胜，若满足6则小红胜. 【思路点拨】用树
27、状图找出所有的等可能情况，再找出符合条件的点便可计算出概率. 【答案】（1）点()在函数5的图象上的概率为P；（2）不公平；公平的游戏规则为：若满足6则小明胜，若满足6则小红胜. 自助餐1.掷两枚质地均匀的正方体骰子，所得点数之和为11 的概率为（ ）. A B C D【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】根据题意，可列出如下表格：第1枚和第2枚123456123456723456783456789456789105678910116789101112从上表可以看出，共有36种等可能的情况，其中只有2种符合题意，所以， P（和为11）. 【思路点拨】分两步完成的随机事件，
28、用树状图和表格均可. 【答案】A 2.经过十字路口的汽车，可以直行、左转或右转，若三个方向的可能性相同，则经过十字路口的两辆汽车一个左转、一个右转的概率为（ ）A B C D【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】根据题意，可画出如下树状图：从图中可以看出，共有9种等可能的情况，只有2种符合题意，所以，两车一个左转、一个右转的概率为 . 【思路点拨】用列表法或树状图都能表示出两车的行驶方向. 【答案】C . 3.从1、2、-3中任选两数相乘，积为正数的概率为 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：根据题意，可画出如下树状图：由上图可知，共有6种等可能的情况，其中只有2
29、种符合题意，所以，P(积为正数). 【思路点拨】“选两个数”等价于“先选一个，不放回，再选另一个”. 【答案】 . 4.在平面直角坐标系中，从五个点A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能够构成三角形的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：在平面直角坐标系中，描出这五个点，任取三个点，共有10种等可能的情况，其中能构成三角形的有8种情况（树状图略）所以，P（三个点可构成三角形） . 【思路点拨】借助树状图，描出点，数形结合，轻松得解. 【答案】 . 5.在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室
30、打乒乓球，当时只有一副空的乒乓球桌，他们只能选两人打第一场. （1）如果确定小亮打第一场，再从其他三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时随机地伸出“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始. 请用画树状图的方法，求小莹和小芳打第一场的概率. 【知识点】用列举法求概率【思想方法】分类讨论【解题过程】解：（1）从三个人中选一人打第一场，选到小刚的概率为 . （2）根据题意，可以得到如下的树状图：从图中可以看出，共有8种不同的等可能情况，只有两种符合
31、题意，所以，小莹和小芳打第一场的概率为. 【思路点拨】用树状图求随机事件的概率是一种重要的辅助手段. 【答案】（1）选到小刚的概率为；（2）小莹和小芳打第一场的概率为. 6甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次(1)若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？(2)若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由【知识点】用列举法求概率【数学思想】类比分析思想【解题过程】解：(1)画树状图如下：可看出：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲手中的有2种，所以，P(传球三次回到甲手中). (2)由(1)可知：从甲开始传球，传球三次后球传到甲手中的概率为，球传到乙，丙手中的概率均为，即最开始传球的人经过三次传球后，拿到球的概率最低，所以，乙会让球开始时在甲手中或丙手中. 【思路点拨】树状图可以是纵向的，也可以是这种横向的. 【答案】（1）P(传球三次回到甲手中)； （2）乙会让球开始时在甲手中或丙手中.
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