1、专题3.11 寻图有道,破解有方函数的图象问题1(2013山东)函数yxcos xsin x的图象大致为()答案D解析函数yxcos xsin x为奇函数,排除B.取x,排除C;取x,排除A,故选D.2(2014课标全国)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则yf(x)在0,的图象大致为()答案B解析如图所示,当x(0,)时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0),作MMOP,M为垂足,则sin x,sin x,f(x)sin xcos xsin
2、 2x,则当x时,f(x)max;当x(,)时,有sin(x),f(x)sin xcos xsin 2x,当x时,f(x)max.只有B选项的图象符合3(2014山东)已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx,若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A(0,) B(,1) C(1,2) D(2,)答案B解析先作出函数f(x)|x2|1的图象,如图所示,当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)kx过A点时斜率为,故f(x)g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为(,1)4已知函数f(x)2x2,则函数y|f(x)|的图象可能是()答案B解析函数f(x)
3、2x2是把函数y2x的图象向下平移两个单位长度得到的,由2x20得x1,即在(,1)上,函数f(x)2x2的图象位于x轴下方,根据指数函数图象的特点,不难看出把x轴下方的部分对称到x轴上方后得到函数y|f(x)|的图象故选B.5(2014湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR,f(x1)f(x),则实数a的取值范围为()A, B,C, D,答案B解析因为当x0时,f(x)(|xa2|x2a2|3a2),所以当0xa2时,f(x)(a2x2a2x3a2)x;当a2x2a2时,f(x)(xa22a2x3a2)a2;当x2a2时,f(x)(
4、xa2x2a23a2)x3a2.综上,函数f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0时的解析式等价于f(x)因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使xR,f(x1)f(x),则需满足2a2(4a2)1,解得a.6(2013江西)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F、G两点,与三角形ABC两边相交于E、D两点设弧的长为x(0x),yEBBCCD,若l从l1平行移动到l2,则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析如图所示,连接OF,OG,过点O作OMFG,过点A作AHBC,交DE于点N.因
5、为弧的长度为x,所以FOGx,则ANOMcos ,所以cos ,则AEcos ,所以EBcos .所以yEBBCCDcos cos 2(0x)7已知定义在R上的函数f(x)满足:函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称;对xR,f(x)f(x)成立;当x(,时,f(x)log2(3x1)则f(2 014)_.答案2解析由知函数yf(x)的图象关于原点对称,即函数为奇函数(通过图象变换易推出),由知函数图象关于直线x对称,即f(x)f(x),由奇函数可得f(x)f(x),据此可推出f(x)f(3x),则有f(x)f(x3),故函数以3为周期,因此f(2 014)f(1)f(1)log242.8
6、已知函数f(x)x21的定义域为a,b(ab),值域为1,5,则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是_答案4解析由f(x)x211,得x0;由f(x)x215,得x24,即x2.如图所示,根据题意,得或所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形,其面积为4.9(2014江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)|x22x|.若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是_答案(0,)解析作出函数yf(x)在3,4上的图象,f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(
7、3)f(4),观察图象可得0a.10方程1的曲线即为函数yf(x)的图象,对于函数yf(x),有如下结论:f(x)在R上单调递减;函数F(x)4f(x)3x不存在零点;函数yf(x)的值域是R;f(x)的图象不经过第一象限其中正确的有_答案解析由方程1可知,x,y不可能同时大于0,分类讨论:当x0,y0时,1表示双曲线的一部分;当x0,y0时,1表示椭圆的一部分;当x0,y2a(x2)4.解(1)b0,kf(x).(2)设M(x,y)是曲线yg(x)上任意一点,由于函数g(x)与f(x)的图象关于直线yx对称,所以M(x,y)关于直线yx的对称点M(y,x)必在曲线yf(x)上,所以x,即yx
8、2,所以g(x)x2(x0),于是g(x)g(x2)2a(x2)4.若a2,则不等式的解集为x|x2;若a2,则不等式的解集为x|xa12已知函数yf(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2x)f(2x)(1)证明:函数yf(x)的图象关于直线x2对称;(2)若f(x)是偶函数,且x0,2时,f(x)2x1,求x4,0时f(x)的表达式(1)证明设P(x0,y0)是函数yf(x)图象上任一点,则y0f(x0),点P关于直线x2的对称点为P(4x0,y0)因为f(4x0)f2(2x0)f2(2x0)f(x0)y0,所以P也在yf(x)的图象上,所以函数yf(x)的图象关于直线x2对称(2)解当x2,0时,x0,2,所以f(x)2x1.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)f(x)2x1,x2,0当x4,2时,4x0,2,所以f(4x)2(4x)12x7,而f(4x)f(x)f(x),所以f(x)2x7,x4,2所以f(x)