1、24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时，共3课时。四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教
2、学过程（一）导入新课教师问：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的（二）探索新知探究一 切线的判定方法教师问：如图，在O中经过半径OA的外端点A作直线lOA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和O有什么位置关系?（出示课件4）学生答：这时圆心O到直线l的距离就是O的半径由d=r得到直线l是O的切线教师问：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）教师作图，学生观察并思考：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？出示课件6：教师归纳:切
3、线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:OA为O的半径，BCOA于A，BC为O的切线.教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？（出示课件7）学生观察交流后口答：(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.教师强调：在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判
4、定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1 如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，且AB=AC.求证：AC是O的切线. 教师分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答：证明：AB=AC，ABC45，ACBABC45. BAC=180-ABC-ACB=90. AB是O的直径， AC是O的切线.巩固练习：（出示课件10）如图所示，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BADB30，边BD交圆于点D.BD是O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：解：BD是O 的切线连接OD,ODOA，A30，DOB60.B30，ODB90.BD是O 的切
5、线出示课件11：例2 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明：连接OC(如图).OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.ABOC.OC是O的半径,AB是O的切线.巩固练习：（出示课件12-13）如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E. 求证：AC 是O 的切线教师分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明OF=OE.证明：连接OE，OA,过O作OFAC.O与AB相切于E，
6、 OEAB.又ABC中，ABAC，O是BC的中点AO平分BAC，又OEAB，OFAC.OEOF.OE是O半径，OFOE，OFAC.AC是O的切线出示课件14：学生对比思考.1.如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线AB是O的切线.学生答：连接OC.2.如图，OAOB=5，AB8,O的直径为6.求证：直线AB是O的切线.学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经
7、过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二 切线的性质定理教师问：如图，如果直线l是O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？（出示课件16）学生思考后教师总结：切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径应用格式：直线l是O的切线，A是切点.直线lOA.出示课件17-18，教师引导学生进行证明.证法1：反证法.证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于O的半径,因此,CD与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2：构造法.作出小O的同心圆大O，CD切小O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理，
8、则CDOA,即圆的切线垂直于经过切点的半径教师总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）出示课件20：例1 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于B、C两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO；(2)若AP，求O的半径教师分析：(1)根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，则C=30=P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得ACBAPO；(2)由已知条件可得AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答：（出示课件21
9、-22）(1)证明：PA为O的切线，A为切点，OAP90.又P30，AOB60，又OAOB，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.又BC为O的直径，BAC90.在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO（ASA）.(2)解：在RtAOP中，P30，AP=，AO1，CBOP2，OB1，即O的半径为1.巩固练习：（出示课件23）如图所示，点A是O外一点，OA交O于点B，AC是O的切线，切点是C，且A30，BC1.求O的半径学生独立思考后自主解决.解：连接OC.AC是O的切线，OCA90.又A30，COB60，OBC是等边三角形OBBC1，即O的半径为1.（三）课堂练习
10、（出示课件24-33）1.如图，在O中，AB为直径，AC为弦过BC延长线上一点G，作GDAO于点D，交AC于点E，交O于点F，M是GE的中点，连接CF、CM判断CM与O的位置关系，并说明理由.2.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（ ） 3.如下图所示，A是O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与O的位置关系是 .4.如图，在O的内接四边形ABCD中，A
11、B是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（ ）A40 B35 C30 D455.如图,O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？ 6.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P，PEAC于E. 求证:PE是O的切线.7.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.求证：CD与O相切8.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：_； _.（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.参考答案
12、：1.解：CM与O相切理由如下：连接OC，如图， GDAO于点D，G+GBD=90，AB为直径，ACB=90，M点为GE的中点，MC=MG=ME，G=1，OB=OC，B=2，1+2=90，OCM=90，OCCM，CM为O的切线.2.3.相切4.C5.解：连接OB，则OBP=90.设O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r. 在RtOBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即O的半径为3.6.证明：连接OP. AB=AC,B=C.OB=OP，B=OPB.OBP=C.OPAC.PEAC，PEOP.PE为O的切线.7.证明：连接OM，过点O作ONCD于
13、点N， O与BC相切于点M，OMBC.又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，OMON，CD与O相切8.解：BAEF；CAE=B.证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径.D+DAC=90 ,D与B同对,D=B,又CAE=B,D=CAE,DAC+EAC=90,EF是O的切线.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .（五）课前预习预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
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