1、初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.7相似三角形的性质姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020余干县模拟）已知ABCDEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A4：9B16：81C3：5D2：3【分析】利用相似三角形的性质，可求出ACDF=49，此题得解【解析】ABCDEF，ACDF=CABCCDEF=49故选：A2（2018秋渝中区校级期末）
2、如图，ABC与DEF形状完全相同，且AB3.6，BC6，AC8，EF2，则DE的长度为（）A1.2B1.8C3D7.2【分析】根据ABC与DEF形状完全相同，可得ABCDEF，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得出DE的长【解析】ABC与DEF形状完全相同，ABCDEF，DEAB=EFBC，即DE3.6=26，解得DE1.2，故选：A3（2020春沙坪坝区校级期末）若ABCDEF，AB：DE9：4，则ABC与DEF的面积之比为（）A3：2B9：4C4：9D81：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案【解析】ABCDEF，且相似比为9：4，其面积之
3、比为81：16故选：D4（2020铜仁市）已知FHBEAD，它们的周长分别为30和15，且FH6，则EA的长为（）A3B2C4D5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答【解析】FHB和EAD的周长分别为30和15，FHB和EAD的周长比为2：1，FHBEAD，FHEA=2，即6EA=2，解得，EA3，故选：A5（2020新昌县模拟）如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐ABBC，横梁EFAC，点E为AB的中点，且BDEF，屋架高BD4m，横梁AC12m，则支架DF长为（）A210B25C13D213【分析】直接利用等腰三角形的性质得出ADDC，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形中
4、位线的性质得出答案【解析】ABBC，BDEF，ADDC6m，AB=AD2+BD2=62+42=213（m），EFAC，BEFBAC，BEAB=BFBC，点E为AB的中点，F是BC的中点，FD是ABC的中位线，DF=12AB=13（m）故选：C6（2020春相城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC3；1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与DAF的面积之比为（）A9：16B3：4C9：4D3：2【分析】先根据平行四边形的性质得到ABCD，ABCD，则DE：AB3：4，再证明DEFBAF，利用相似比得到EFAF=34，然后根据三角形面积公式求DEF的面积与DAF的面积
5、之比【解析】四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD，DE：EC3：1，DE：ABDE：DC3：4，DEAB，DEFBAF，EFAF=DEAB=34，DEF的面积与DAF的面积之比EF：AF3：4故选：B7（2020河北模拟）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（）A22B24C26D28【分析】利用AFHADE得到SAFHSADE=（FHDE）2=916，所以SAFH9x，SADE16x，则16x9x7，解得x1，从而得到SADE16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积【解析】
6、如图，由题意根据题意得AFHADE，所有三角形均相似，可得FH：DE3：4，SAFHSADE=（FHDE）2=916，设SAFH9x，则SADE16x，16x9x7，解得x1，SADE16，四边形DBCE的面积441628故选：D8（2019秋青龙县期末）如图，在矩形ABCD中，AB1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC（EFDF）与矩形ABCD相似，则DF的长为（）A12B5+12C5-12D1【分析】可设ADx，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可【解析】AB1，设ADx，则FDx1，FE1，
7、四边形EFDC与矩形ABCD相似，EFDF=ADAB，即1x-1=x1，解得：x1=1+52，x2=1-52（不合题意舍去），经检验x1=1+52是原方程的解FD=1+52-1=5-12故选：C9（2019秋诸暨市期末）如图，ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若ADE与ABC相似，则下列结论一定成立的是（）AE为AC的中点BDEBC或BDE+C180CADECDDE是中位线或ADACAEAB【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】A、ADE与ABC相似，ADEB或ADEC，当ADEC时，DE与BC不平行，点E不一定为AC中点，故A错误；B、当ADEABC时，ADEB，D
8、EBC，当ADEACB时，ADEC，BDE+C180，故B正确；C、当ADEC时，DE与BC不平行，DE不一定是中位线，当ADEACB时，ADABAEAC，故C错误；D、当ADEABC时，ADEB，故D错误；故选：B10如图，矩形ABCD矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出BIJ面积的条件是（）A矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差【分析】根据相似多边形的性质即可解答【解析】设矩形的边AHx，GHy，EGa，DCb，则BJx，
9、JCa，JICDJIDC=BJBC即JI=xbx+a矩形ABCD矩形FAHG，FGGH=ADDC，即xy=x+ab，x+a=xbyS阴影=12BJJI=12xxbx+a=12xyS矩形ABJHS矩形HDEGxbayxy(x+a)x-ayxyS阴影BIJ=12S矩形ABJHS矩形HDEG所以一定能求出BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差故选：B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm【分析】根据相似三角形周长比等于相似
10、比列式计算【解析】设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100x）cm，两个相似三角形的相似比为2：3，两个相似三角形的周长比为2：3，x100-x=23，解得，x40，故答案为：4012（2019秋大东区期末）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为3：5【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案【解析】两个相似三角形的面积比是9：25，两个相似三角形的相似比是3：5，对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：513（2020开福区模拟）两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积
11、是16或1【分析】由两个相似三角形的相似比为1：2，可得它们的面积面积比为：1：4，然后分别从若小三角形的面积为4与若大三角形的面积为4去分析求解即可求得答案【解析】两个相似三角形的相似比为1：2，它们的面积面积比为：1：4，其中一个三角形的面积为4，若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1另一个三角形的面积为16或1故答案为：16或114（2020岳麓区校级二模）若ABCDEF，且相似比为3：1，ABC的面积为54，则DEF的面积为6【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【解析】ABCDEF，相似比为3：1，SAB
12、CSDEF=32，即54SDEF=9，解得，DEF的面积6，故答案为：615（2019秋南岸区校级期末）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们对应角的角平分线之比为1：2【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案【解析】两个相似三角形的面积比为1：4，它们对应角的角平分线之比为1：4=1：2，故答案为：1：216（2019秋阜阳期末）已知ABCDEF，且SABC6，SDEF3，则对应边ABDE=2【分析】直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得出答案【解析】ABCDEF，且SABC6，SDEF3，其对应边ABDE=63=2故答案为：217（2019秋富平县期末）如图，O为R
13、tABC斜边中点，AB10，BC6，M，N在AC边上，若OMNBOC，点M的对应点是O，则CM258【分析】直接利用相似三角形的性质得出AOCCMO，进而得出OCMACO，求出答案即可【解析】OMNBOC，NMOBOC，AOCCMO，BOCOMN，又MCOOCA，OCMACO，OC2CMCA，25CM8，CM=258故答案为：25818（2019秋雨花台区期末）如图，RtABC中，C90，AC4，BC3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与ABC相似，并且平分ABC的周长，则AD的长为103或54或83【分析】利用勾股定理计算出AB5，则ABC的周长为12，设AD
14、x，讨论：（1）作DEAC于E，如图1，则AE6x，利用ADEABC得到x：5（6x）：4；（2）作DFBC于E，如图2，则BD5x，BF1+x，利用BDFBAC得到（5x）：5（1+x）：3；（3）作DGAC于G，如图3，则AG6x，利用RtADGRtACB得到x：4（6x）：5，然后分别解关于x的方程即可【解析】RtABC中，C90，AC4，BC3，AB=32+42=5，ABC的周长为3+4+512，设ADx，（1）作DEAC于E，如图1，则AE6x，DEBC，ADEABC，AD：ABAE：AC，即x：5（6x）：4，解得x=103；（2）作DFBC于E，如图2，则BD5x，BF6（5x）
15、1+x，DFAC，BDFBAC，BD：BABF：BC，即（5x）：5（1+x）：3，解得x=54；（3）作DGAB，交BC于G，如图3，则AG6x，DAGCAB，ADGC90，RtADGRtACB，AD：ACAG：AB，即x：4（6x）：5，解得x=83，综上所述，AD的长为103或54或83故答案为103或54或83三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020恩施市校级模拟）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比要求：分别在给出的ABC与DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；在完成作图的基础上，写出已知、求证，并
16、加以证明【分析】根据题意画出图形即可；根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得BB1，BACB1A1C1，再根据角平分线的定义求出BADB1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可【解析】如图所示，AG，DH分别是BAC与EDF的角平分线；已知：如图，ABCDEF，ABDE=BCEF=ACDF=k，AG，DH分别是BAC与EDF的角平分线求证：AGDH=k；证明：AG，DH分别是ABC与DEF的角平分线，BAG=12BAC，EDH=12EDF，ABCDEF，BACEDF，BE，BAGEDH，ABGCDEH，AGDH=ABDE=
17、k20（2020春海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为20cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案【解析】设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（20x）cm，面积为（y+15）cm2，两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，两个相似多边形的相似比为2：3，两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，x20-x=23，yy+15=49，解得，x8，y12，经检验，x8，y12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为8cm，面积
18、为12cm221（2019秋赣榆区期末）如图1，RtABC中，ACB90，AC6cm，BC8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分BPQBAC、BPQBCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB5t，PM3t，BQ84t，根据ACQCMP，得出AC：CMCQ：MP，代入计
19、算即可【解析】（1）当BPQBAC时，BPBA=BQBC，BP3t，QC2t，AB10cm，BC8cm，3t10=8-2t8，t=2011，当BPQBCA时，BPBC=BQBA，8-2t10=3t8，t=3223；t=3223或2011时，BPQ与ABC相似；（2）如图所示，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB3t，PM=95t，BM=125t，MC=8-125t，NAC+NCA90，PCM+NCA90，NACPCM且ACQPMC90，ACQCMP，ACCM=CQMP，68-125t=2t95t解得：t=1312；22（2018春杜尔伯特县期中）如图，在ABC中，ABAC，BAC
20、120，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=12BC吗？（3）DG5cm，试求AEF的周长【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算BC30，再利用垂直平分线的性质得BEAE，AFCF，则EABB30，FACC30，然后根据三角形的外角性质可求出AEFAFE60，于是可判断AEF为等边三角形；（2）由D是AB中点、G是AC中点知DG是ABC中位线，据此可得DGBC，从而得出ADGABC，利用相似三角形的性质可以得出答案（3）利用AE
21、BE，AFCF可得AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm，从而可确定AEF的周长【解析】（1）AEF为等边三角形理由如下：ABAC，BAC120，BC30，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BEAE，AFCF，EABB30，FACC30，AEF2B60，AFE2C60，AEF为等边三角形；（2）D是AB中点、G是AC中点，DG是ABC中位线，DGBC，ADGABC，DGBC=ADAB=12，DG=12BC；（3）DG5，BC2DG10，AEBE，AFCF，AE+EF+AFBE+EF+CFBC10cm，AEF的周长为10cm23（2020淮安模拟）在RtABC中，C90，AC20cm，B
22、C15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒求：（1）当t3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？【分析】（1）在RtCPQ中，当t3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式SC
23、PQ=12CPCQ求解；（3）应分两种情况：当RtCPQRtCAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当RtCPQRtCBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t【解析】由题意得AP4t，CQ2t，则CP204t，（1）当t3秒时，CP204t8cm，CQ2t6cm，由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；（2）由题意得AP4t，CQ2t，则CP204t，因此RtCPQ的面积为S=12(20-4t)2t=20t-4t2cm2；（3）分两种情况：当RtCPQRtCAB时，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得t3秒；当RtCPQRtCBA时，CPCB=CQ
24、CA，即20-4t15=2t20，解得t=4011秒因此t3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似24（2019秋雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，A40，B60，当BCD40时，CD为ABC的完美分割线；（2）如图2，ABC中，AC2，BC=2，CD是ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长【分析】（1）根据已知条件得到ABC不是等腰三角形，求得ACDBCDACB40
25、，得到ACDA40，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】（1）当BCD40时，A40，B60，ACB80，ABC不是等腰三角形，ACDBCDACB40，ACDA40，ACD是等腰三角形，BCDA40，CBDABCBCDBAC，CD是BAC的完美分割线；故答案为：40；（2）BCDBAC，BCBA=BDBC，ACAD2，BC=2，设BDx，则AB2+x，2x+2=x2，解得x13，x0，BDx1+3，BCDBAC，CDAC=BDBC，AC2，BC=2，BD1+3CD23-12=6-2，如图3，ADCACB，ACAB=ADAC，2AD+2=AD2，AD=2，AB22，ADCACB，ACAB=CDBC，222=CD2，CD1，如图4，CDBACB，CDAC=BCAB，CD2=2AD+DB=DB2，即CD2=2CD+DB=DB2，CD=2DB，CD2+DBCD22，CDBD+DB22，CD2DB222-2，DB=22-2，CD22-1；如图5，ACDABC，ADAC=CDBC=ACAB，AD2=CD2=ACAB，CD=AD2，同理解得：CD=4-22，如图6，ADCACB，CDBC=2综上所述，CD的长为6-2或1或2或4-22或22-1 第 18 页 / 共 18 页
