1、南通市海门第一中学2021届高三第一次调研诊断测试数 学（考试时间120分钟 满分150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为 A B C D2.已知，则下列命题正确的是 A若，则 B若，则 C若，则 D若，则3.集合的非空子集个数是 A B C D4.已
2、知，则的大小关系是 A B C DyxOyxOyOxyxO5.函数在其定义域上的图象大致是 A B C D6.函数的单调减区间为 A B C D和 7.某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是，空气的温度是，那么min后物体的温度（单位：）满足：若将物体放在的空气中从分别冷却到和所用时间为，则的值为 （取，）A B C D8.已知函数，时，都有，则实数的取值范围是 A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是 A“”是“”的充分不必要条件 B“”是“”的必要不充
3、分条件 C命题“xR，”的否定是“xR，使得” D设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件10.设，则下列不等式一定成立的是 A B C D11.定义在上的奇函数满足，则 A函数的图象关于原点对称B函数的图象关于直线对称C函数是周期函数且对于任意，成立D当时，则函数在区间上单调递减（其中为自然对数的底数）12.已知函数（为正整数），则下列判断正确的是 A函数始终为奇函数B当为偶数时，函数的最小值为C当为奇数时，函数的极小值为D当时，函数的图象关于直线对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数,若,则实数 .14.若，则的最小值是 .15.已知偶函数（）的导函数
4、为，当时，则使成立的的取值范围是 .（其中为自然对数的底数）16.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一支架斜杆长为，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为 ；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为，面积也恰为，则此时斜杆长度应设计为 .（第一空2分，第二空3分.）斜杆墙面 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由问题：已知集合，是否存在实数，
5、使得 ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题满分12分）已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求函数的所有零点之积19（本小题满分12分）设函数，（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的最值；（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围20（本小题满分12分）经验表明，在室温下，开水冷至到（温水）饮用对身体更有益某研究人员每隔测量一次开水温度（如下表），经过后的温度为现给出以下2个函数模型：；，其中为温度衰减比例，计算公式为：（）开水温度变化时间/min012345水温/857975716865（1）请选择一个恰当的函数模型描述之间的关系，并求出；（2）求值（
6、保留0.01）；（3）在室温下，开水至少大约放置多长时间（单位：min，保留整数）才能冷至到对身体有益温度？（参考数据：）21（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）已知是函数的极值点，若，求证：（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）22（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，对恒成立，求实数的取值范围南通市海门第一中学2021届高三第一次诊断测试数学参考答案与评分细则一、单选题（每题5分）1. B；2. B；3. C；4. D；5. C；6. A；7. C；8. D；二、多选题（每题5分，漏选得3分，错选得0分）
7、9. AB；10. BC；11. ABD；12. BC三、填空题（每题5分，注意16题第一空2分，第二空3分）13.；14.；15.；16.（1） （2） .四、解答题17. 解：， 2分， 当时，； 3分当时，； 4分 当时， 5分 若选择，则， 6分当时，要使，则，所以； 7分当时，满足题意； 8分当时，不满足题意 9分所以选择，则实数的取值范围是 10分若选择，当时，满足题意； 6分 当时，不满足题意； 7分 当时，不满足题意 8分 所以选择，则实数的取值范围是 10分若选择， 当时，而，不满足题意；6分当时，而，满足题意； 7分当时，而，满足题意 8分所以选择，则实数的取值范围是 10
8、分（注意：若解答过程中不是先讨论集合，而是在求解过程中讨论，则每种情况2分）18解：（1）因为不等式的解集为，即的解集为，所以方程的解为和， 2分所以 4分解得 所以的值分别为和 6分（2）由（1）得，令，即，解得或， 8分即或，设方程的解为，方程的解为，所以， 10分函数的所有零点之积为 12分19解：（1）因为函数为奇函数，所以对成立，即对成立，1分即对成立，所以 2分 此时，令，则或，极大值极小值 5分 函数的极大值为，极小值为，而， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为 7分（2）因为， 所以， 令，得或， 9分 因为函数在区间内不单调，所以或， 11分解得或所以实数的取值范围为 12
9、分（注意：若（1）中直接利用，没有检验则得1分；判断单调性求最值，同样得分。）20解：（1）若选择， 把代入，得矛盾； 1分 若选择， 把代入，得 所以应该选择，其中的值为 3分（2） 5分 6分（3）由（1）（2）知，之间的关系为， 7分 因为开水冷至到（温水）饮用对身体更有益，所以， 9分即，所以，又因为，所以 11分所以在室温下，开水至少大约放置17min才能冷至到对身体有益温度. 12分21解：（1）因为， 所以， 1分 所以， 而， 所以曲线在点处的切线方程为 3分 （2）由（1）得， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 4分 而，所以当时，；当时，所以当函数在上单调递减，在上
10、单调递增， 所以函数在处取得极大值 6分因为，所以不妨设， 令，则， 因为，所以，所以， 所以，即函数在上单调递减， 8分 而， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 10分 因为，所以， 因为，所以，而函数在上单调递增， 所以，即 所以得证 12分22解：（1）因为，则， 1分当时，所以在上单调递增； 2分当时，令，得，所以在上单调递增，令，得，所以在上单调递减4分综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 5分（2）当时，对恒成立对恒成立，【方法1】条件对恒成立，令， 6分则，设，令，得，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减，所以 8分若，即
11、，当时，所以函数在上单调递增；当时，所以函数在上单调递减，所以成立所以 10分 当，即时，与矛盾； 11分综上，实数的取值范围为 12分【方法2】条件对恒成立， 6分 令，由得，所以当时，所以函数在上单调递增，当时，所以函数在上单调递减所以 8分令，则，则原问题等价于，对恒成立，等价于，对恒成立， 10分令，则，所以在上单调递增，所以， 所以，实数的取值范围为 12分【方法3】令，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以当且仅当时取等号 7分令，则由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当且仅当时取等号. 9分 因为，所以原条件等价于对恒成立， 10分令，因为，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，所以 综上，实数的取值范围为 12分第 9 页 共 9 页高三数学试卷
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