1、2.3等比数列2.3.1等比数列课时过关能力提升1在等比数列an中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于()A.216B.-216C.217D.-217解析a1a17=a2a16=a92,a1a2a17=(a9)17=(-2)17=-217.答案D2已知在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,a1+a2+a3=21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析设公比为q,由题意知a1=3,a1+a1q+a1q2=21,解得q=2或q=-30,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=.解析由a2a4+2a3a5+a4a6=25,得a32+2a3a5+
2、a52=25,即(a3+a5)2=25.又an0,故a3+a5=5.答案59已知数列x,2x+2,3x+3,为等比数列,求这个数列的通项公式.解由已知,得(2x+2)2=x(3x+3),解这个方程得x=-1或x=-4.当x=-1时,a1=-1,a2=0,a3=0,不能构成等比数列.当x=-4时,a1=-4,a2=-6,a3=-9,q=32.an=-432n-1(nN+).综上,数列的通项公式为an=-432n-1(nN+).10有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.解方法一:设所求的四个数为(x-d)2x,x-d,x,x+d,根据
3、题意,得(x-d)2x+(x+d)=21,(x-d)+x=18.解得x=12,d=6或x=274,d=-92.所求四个数为3,6,12,18或754,454,274,94.方法二:设前三个数为xq,x,xq,则第四个数为2xq-x,由题意,得xq+2xq-x=21,x+xq=18,解得x=6,q=2或x=454,q=35.故所求的四个数为3,6,12,18或754,454,274,94.方法三:设欲求的四个数为x,y,18-y,21-x,由已知,得y2=x(18-y),2(18-y)=y+(21-x).解得x=3,y=6或x=754,y=454.所求四数为3,6,12,18或754,454,2
4、74,94.11在公差不为0的等差数列an和等比数列bn中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求数列an的公差和数列bn的公比;(2)是否存在a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.解(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q(q0),由a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q.由a8=b3,得1+7d=q2,解得q=1,d=0(舍去)或q=6,d=5,即数列an的公差为5,数列bn的公比为6.(2)假设存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)5=loga6n-1+b,5n-4=(n-1
5、)loga6+b,(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.要使上式对于一切自然数n成立,必须且只需5-loga6=0,4+b-loga6=0.解得a=56,b=1.因此,存在a=56,b=1使得结论成立.12设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:当a123时,an-23是等比数列;(3)当a1=76时,求数列an的通项公式.分析本题是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题.根据题目条件列出等量关系,找到递推关系即可获解.(1)解根据根与系数的关系,有关系式+=an+1an,=1an.代入题设条件6(+)-2=3,得6an+1an-2an=3.an+1=12an+13.(2)证明an+1=12an+13,an+1-23=12an-23.当a123时,an-230,故数列an-23是以12为公比的等比数列.(3)解当a1=76时,a1-23=12.故数列an-23是首项为a1-23=12,公比为12的等比数列,an=23+12n,n=1,2,3,即数列an的通项公式为an=23+12n,n=1,2,3,.