1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),则(bc)a=()A.(-2,4)B.(-10,-20)C.(2,-4)D.(10,20)解析:a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),(bc)a=-10a=(-10,-20).答案:B2.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,|OC|=22,且AOC=4,设OC=OA+OB(R),则的值为()A.1B.13C.12D.23解析:过C作CEx轴
2、于点E.由AOC=4,得|OE|=|CE|=2,所以OC=OE+OB=OA+OB,即OE=OA,所以(-2,0)=(-3,0),故=23.答案:D3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且|AB|=2|AP|,则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1)D.无数多个解析:设P(x,y),由|AB|=2|AP|得AB=2AP或AB=-2AP.AB=(2,2),AP=(x-2,y),由AB=2AP,得(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,得P(3,1).由AB=-2AP,得(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,得P(1,-1).答
3、案:C4.在ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA(PB+PC)等于()A.-49B.-43C.43D.49解析:由题意可知点P是ABC的重心,PA+PB+PC=0,PA(PB+PC)=-PA2=-23MA2=-49.答案:A5.已知AB,AC不共线,AM=mAB,AN=nAC,其中mn1.设点P是直线BN,CM的交点,则()A.AP=mn-mmn-1AB+mn-nmn-1ACB.AP=mn+mmn-1AB+mn+nmn-1ACC.AP=mn-nmn-1AB+mn-mmn-1ACD.AP=mn+nmn-1AB+mn+mmn-1AC解析:根据题中所给的条件
4、,可知AP=AB+(1-)AN=AB+(1-)nAC,AP=AC+(1-)AM=AC+(1-)mAB,根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的,得到=(1-)n,=(1-)m,解得=mn-mmn-1,=mn-nmn-1,代入可得AP=mn-mmn-1AB+mn-nmn-1AC,故选A.答案:A6.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=2CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12B.0,13C.-12,0D.-13,0解析:由AO=xAB+(1-x)AC,得AO-AC=x(AB-AC),CO=xCB=-2xCD.又点
5、O在线段CD上(与点C,D不重合),0-2x1,-12x0.答案:C7.已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若AEAF=1,CECF=-23,则+=()A.12B.23C.56D.712解析:因为菱形的边长为2,所以BE=BC=2,DF=DC=2,从而CE=2-2,CF=2-2.由AEAF=1,得(AB+BE)(AD+DF)=ABAD+ABDF+BEAD+BEDF=22cos 120+2(2)+22+22cos 120=-2+4(+)-2=1,所以4(+)-2=3.由CECF=-23,得(2-2)(2-2)-12=-23,所以=+-
6、23,因此有4(+)-2(+)+43=3,解得+=56,故选C.答案:C8.在ABC中,已知向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0,且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析:因为AB|AB|,AC|AC|分别为AB,AC方向上的单位向量,故由AB|AB|+AC|AC|BC=0可得BCAM(M是BAC的平分线与BC的交点),所以ABC是以BC为底边的等腰三角形,又AB|AB|AC|AC|=12,所以BAC=60,所以ABC为等边三角形.答案:A9.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b的起点相同,已
7、知a,tb,13(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,则t=()A.13B.12C.23D.1解析:设OA=a,OB=tb,OC=13(a+b)=13OA+13tOB.A,B,C三点共线,13+13t=1,t=12.答案:B10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,且实数x满足x2OA+xOB+AC=0,则由实数x组成的集合为()A.B.-1C.-1-52,-1+52D.-1,0解析:由于AB=OB-OA,又ABAC,则存在实数,使AC=AB,则AC=(OB-OA)=OB-OA,所以有OA-OB+AC=0.因为OA和OB不共线,又x2OA+xOB+AC=0,所以x2=,x=
8、-.由于AC是任意非零向量,则实数是任意实数,则等式2=不一定成立,所以实数x满足x2OA+xOB+AC=0的集合为.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120时,合力的大小为N.解析:当两个力的夹角为90时,合力的大小为20 N,根据平行四边形法则,知|F1|=|F2|=102 N.(如图)当两个力的夹角为120时,如图,根据平行四边形法则知,合力的大小为102 N.答案:10212.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3
9、,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是.解析:设动点D(x,y),则由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1,D点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.又OA+OB+OD=(x-1,y+3),所以|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2,故|OA+OB+OD|的最大值为点(3,0)与(1,-3)之间的距离与1的和,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.答案:1+713.如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且与对角线AC交于点K,其中,AE=25AB,AF=12AD,AK=AC,则的值为.解析:AE=25AB,AF=12A
10、D,AB=52AE,AD=2AF.由向量加法的平行四边形法则可知,AC=AB+AD,AK=AC=(AB+AD)=52AE+2AF=52AE+2AF.E,F,K三点共线,52+2=1,=29.答案:2914.如图,点A,B是圆O上的两点,AOB=60,点D是圆O上异于A,B的任意一点,若OD=OA+OB,则与的关系是.解析:设圆的半径为r,则OA=OB=OD=r.OD=OA+OB,OD2=(OA+OB)2,即r2=2r2+2r2cos 60+2r2,整理得2+2+=1.答案:2+2+=115.如图,在平面斜坐标系xOy中,xOy=60,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP=xe
11、1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).若点P的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|PO|=.解析:|OP|2=(3e1-4e2)2=9|e1|2-24e1e2+16|e2|2=9-24cos 60+16=13,所以|OP|=13,所以点P到原点O的距离|PO|=13.答案:13三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在四边形ABCD(A,B,C,D为顺时针排列)中,AB=(6,1),CD=(-2,-3),若BCAD,且ACBD,求BC的坐标.解:设BC=(x,y),则A
12、D=AB+BC+CD=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2).因为BCAD,所以y(x+4)-x(y-2)=0,整理得x=-2y.AC=AB+BC=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3).又因为ACBD,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x2+4x+y2-2y-15=0,由得x=2,y=-1或x=-6,y=3.所以BC的坐标为(2,-1)或(-6,3).17.(8分)已知向量a=(cos(-),sin(-),b=cos2-,sin2-.(1)求证:ab;(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)
13、b,y=-ka+tb满足xy,试求此时k+t2t的最小值.(1)证明a=(cos(-),sin(-)=(cos ,-sin ),b=cos2-,sin2-=(sin ,cos ),ab=(cos ,-sin )(sin ,cos )=cos sin -sin cos =0.ab.(2)解由xy,得xy=0,即a+(t2+3)b(-ka+tb)=0,-ka2+(t3+3t)b2+t-k(t2+3)ab=0,-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.又|a|2=1,|b|2=1,-k+t3+3t=0,k=t3+3t,k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3=t+122+114.故当t=-12时
14、,k+t2t有最小值114.18.(9分)如图,在OAB中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示OM;(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE=pOA,OF=qOB,求证:17p+37q=1.(1)解设OM=ma+nb,则AM=(m-1)a+nb,AD=-a+12b.点A,M,D共线,AM与AD共线,12(m-1)-(-1)n=0,m+2n=1.而CM=OM-OC=m-14a+nb,CB=-14a+b.C,M,B共线,CM与CB共线,-14n-m-14=0.4m+n=1.联立可得m=17,n=37,OM=17
15、a+37b.(2)证明EM=17-pa+37b,EF=-pa+qb,EF与EM共线,17-pq-37(-p)=0.17q+37p=pq,即17p+37q=1.19.(10分)已知O为坐标原点,直线y=x+a与圆x2+y2=4分别交于A,B两点.若OAOB=-2,求实数a的值.解:由x2+y2=4,y=x+a,消去y,得2x2+2ax+a2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程2x2+2ax+a2-4=0的解.由根与系数的关系,得x1+x2=-a,x1x2=a2-42.所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+a)(x2+a)=2x1x2+a(x1+x2)+
16、a2=a2-4-a2+a2=-2,所以a2=2,即a=2.20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=13OA+23OB.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求|AC|CB|的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x0,2,f(x)=OAOC-2m+23|AB|的最小值为-32,求实数m的值.(1)证明OC=13OA+23OB,OC-OA=23(OB-OA),即AC=23AB.ACAB.又AC,AB有公共点A,A,B,C三点共线.(2)解由(1)得AC=23AB=23(AC+CB),13AC=23CB,AC=2CB,|AC|CB|
17、=2.(3)解AB=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).x0,2,cos x0,1.|AB|=|cos x|=cos x.AC=2CB,OC-OA=2(OB-OC).3OC=2OB+OA=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),OC=1+23cosx,cosx.f(x)=OAOC-2m+23|AB|=1+23cos x+cos2x-2m+23cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x0,1.当m0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-32相矛盾,即m1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-32,得m=741.综上所述,实数m的值为74.
