1、2021年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题）.1函数y的单调递减区间为 2已知（2，3），（4，x）且，则x 3已知cosx，则 4若从总体中随机抽取的样本为：2、2、1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是 （精确到0.1）5方程log2（x+14）+log2（x+2）3+log2（x+6）的解是 6在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为 7数列an的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（nN*）在函数ylog2（x+1）的反函数的图象上，则an 8若复数zx+yi（x，yR，
2、i为虚数单位）满足|x|+|y|1，则z在复平面上所对应的图形的面积是 9若直线3x+4y+m0与曲线（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 10设函数f（x）cosxm（x0，3）的零点为x1、x2、x3，若x1、x2、x3成等比数列，则实数m的值为 11已知函数f（x），若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）f（x0）成立，则实数a的取值范围是 12已知|1，若存在m，nR，使得m+与n+夹角为60，且|（m+）（n+）|，则|的最小值为 二、选择题13下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B三条相交直线确定一个平面C对于直线a、b、c，若ab，bc，则acD对于直线a、b、
3、c，若ab，bc，则ac14关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D0是该方程组有解的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15已知两定点A（1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tanPABtanPBA2，则点P的轨迹方程是（）Ax21Bx21（y0）Cx2+1Dx2+1（y0）16已知函数f（x）sinx，各项均不相等的数列an满足|ai|（i1，2，n），记G（n）若an（）n，则G（2000）0；若an是等差数列，且a1+a2+an0，则G（n）0对nN*恒成立关于上述两个命题，以下说法正确的是（）A均正确B均错误C对，错D错，对三、解答题17如图，
4、在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC2，ABC，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点C与平面AQC1的距离18已知函数f（x）Asin（x+）（0，0）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）2，a2，求ABC周长的取值范围19流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取
5、措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9k29，kN*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人（1）若k9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数20已知直线l：yx+t与椭圆C：1交于A、B两点（如图所示），且P（3，）在直线l的上方（1）求常数t的取值范围；（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；（3）若APB的面积最大，求APB的大小21已知an，bn为两非零有理数列（即对任意的iN*，ai，bi均为有理数），
6、dn为一无理数列（即对任意的iN*，di为无理数）（1）已知bn2an，并且（an+bndnandn2）（1+dn2）0对任意的nN*恒成立，试求dn的通项公式（2）若dn2为有理数列，试证明：对任意的nN*，（an+bndnandn2）（1+dn2）1+dn恒成立的充要条件为（3）已知sin2（0），dn，对任意的nN*，（an+bndnandn2）（1+dn2）1恒成立，试计算bn参考答案一、填空题1函数y的单调递减区间为（，1解：由题意，函数的定义域为（，11，+）令tx21，则在0，+）上单调递增tx21，在（，0上单调递减，在0，+）上单调递增函数y的单调递减区间为（，1，故答案为：
7、（，12已知（2，3），（4，x）且，则x6解：已知（2，3），（4，x）且，则由两个向量共线的性质可得2x340，解得x6，故答案为 63已知cosx，则解：cosx，sin2xcos2x12cos2x2故答案为：4若从总体中随机抽取的样本为：2、2、1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是2.1（精确到0.1）解：因为样本为数据为：2、2、1、1、1、3、2、2、4、2，所以样本的平均值为1，故该总体标准差的点估计值是2.1故答案为：2.15方程log2（x+14）+log2（x+2）3+log2（x+6）的解是x2解：由方程log2（x+14）+log2（x+2）3+l
8、og2（x+6），可得 log2 （x+14）（x+2）log2 8（x+6），即 ，解得 x2，故答案为x26在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为0.4解：5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，得到的五位数的总数是A55120五位数能被2整除的特征是个位数排2，4两个数，其排法种数是C21A4448故所得五位数能被2整除的概率是0.4故答案为：0.47数列an的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（nN*）在函数ylog2（x+1）的反函数的图象上，则an2n1解：由题意得nl
9、og2（Sn+1）sn2n1n2时，ansnsn12n2n12n1，当n1时，a1s12111也适合上式，数列an的通项公式为an2n1；故答案为：2n18若复数zx+yi（x，yR，i为虚数单位）满足|x|+|y|1，则z在复平面上所对应的图形的面积是2解：因为复数zx+yi（x，yR，i为虚数单位）满足|x|+|y|1，所以复数z在复平面上所对应的图形为边长为的正方形内部（包括边界），又正方形的面积为，所以z在复平面上所对应的图形的面积是2故答案为：29若直线3x+4y+m0与曲线（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是m10或m0解：曲线（为参数）表示的是以（1，2）为圆心，1为半径的
10、圆，由于直线3x+4y+m0与圆没有公共点，所以圆心（1，2）到直线的距离d，整理得：|m5|5，解得m10或m0，故答案为：m10或m010设函数f（x）cosxm（x0，3）的零点为x1、x2、x3，若x1、x2、x3成等比数列，则实数m的值为解：由题意得x22x1，x32+x1，由x1x3得（2x1）2x1（2+x1），解得x1，mcos故答案为：11已知函数f（x），若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）f（x0）成立，则实数a的取值范围是1，+）解：函数f（x），若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）f（x0）成立，即函数有最大值f（x0），又因为当xa时，f（x
11、）x+2，单调递减，且f（x）a+2，故当xa时，f（x）x22x（x+1）2+1，1a+2且a1，故a1，故答案为：1，+）12已知|1，若存在m，nR，使得m+与n+夹角为60，且|（m+）（n+）|，则|的最小值为解：由题意，令，故有A，A，B，B共线，为定值，在AOB中，由余弦定理可得，当且仅当时，取最大值，此时AOB面积最大，则O到AB距离最远，即当且仅当A、B关于y轴对称时，最小，此时O到AB的距离为，即故答案为：二、选择题13下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B三条相交直线确定一个平面C对于直线a、b、c，若ab，bc，则acD对于直线a、b、c，若ab，bc，则ac解：选项
12、A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；选项B，三条相交直线可确定一个平面，或三个平面，（三棱锥的三条侧棱），故B错误；选项C，对于直线a、b、c，若ab，bc，则ac，在平面几何中是正确的，在立体几何中不一定成立，故C错误；选项D，由平行公理可得：对已直线abc，若ab，bc，则ac，故D正确故选：D14关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D0是该方程组有解的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：系数行列式D0时，方程组有唯一的解，系数行列式D0时，方程组有无数个解或无解当系数行列式D0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，
13、也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0系数行列式D0是方程有解的既不充分也不必要条件故选：D15已知两定点A（1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tanPABtanPBA2，则点P的轨迹方程是（）Ax21Bx21（y0）Cx2+1Dx2+1（y0）解：两定点A（1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tanPABtanPBA2，则：2，其中y0，化简可得，x2+1（y0）故选：D16已知函数f（x）sinx，各项均不相等的数列an满足|ai|（i1，2，n），记G（n）若an（）n，则G（2000）0；若an是等差数列，且a1+a2+an0，则G（n）0对nN*恒成立关于
14、上述两个命题，以下说法正确的是（）A均正确B均错误C对，错D错，对解：f（x）sinx在上为奇函数且单调递增，：a2k1+a2k0（kN*）可得a2k1a2k，则f（a2k1）f（a2k）f（a2k）f（a2k），所以f（a2k1）+f（a2k）00，则a1+a2+.+a20000，f（a1）+f（a2）+.+f（a2000）+.+f（a2000）0，故G（2000）0，正确，：an为等差数列，当a1+a2+.+an0时，若n为偶数，a0，a1an可得f（a1）f（an）f（an），则f（a1）+f（an）0，同理可得：f（a2）+f（an1）0，.f（a）+f（a）0，所以G（n）0，若n为
15、奇数，a1+ana2+an1.2a0，f（a1）+f（an）0，f（a2）+f（an1）0，.，f（a）0，所以G（n）0，当a1+a2+.+an0时，同理可证G（n）0，正确，故选：A三、解答题17如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC2，ABC，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点C与平面AQC1的距离解：（1）C1C平面ABC，C1QC为C1Q与底面ABC所成角，即tanC1QC，C1C2以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐
16、标系，则B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），则（0，1，2），设异面直线PB与QC1所成角的大小为，cos，则异面直线PB与QC1所成角的大小为arccos；（2）设平面AQC1的法向量为，由（1）知，由，取y1，得又，点C与平面AQC1的距离d18已知函数f（x）Asin（x+）（0，0）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）2，a2，求ABC周长的取值范围解：（1）根据函数的图象，函数的周期T，故2由于点（）满足函数的图象，所以Asin（）0，由于0，所以由于点（0，1）在函数的图
17、象上，所以A2故函数f（x）2sin（2x+）（2）由于f（）2sin（A+）2，所以A由正弦定理：，整理得b，同理c，由于，所以，由于，所以，所以所以：lABC（4，619流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9k29，kN*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人（1）若k9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问1
18、1月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1n30），则数列an（1n9）是等差数列，a120，公差为50，又a10410，则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1+a2+a9）+a10（930+）+4102480人；（2）记11月n日新感染者人数为an（1n30），11月k日新感染者人数最多，当1nk时，an50n20，当k+1n30时，an（50k20）20（nk）20n+70k20，因为这30天内的新感染者总人数为11940人，所以11940，解得35k2+2135k990011940，即k261k+6240，解得k13或k
19、48（舍），此时a13501320630，所以11月13日新感染者人数最多为630人20已知直线l：yx+t与椭圆C：1交于A、B两点（如图所示），且P（3，）在直线l的上方（1）求常数t的取值范围；（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；（3）若APB的面积最大，求APB的大小解：（1）由题意知，+t，t0，联立方程，消去y得：2x2+6tx+9t2360，36t28（9t236）0，t28，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x23t，x1x2，又，k1+k2+，上式分子（）+（）6（t）+6（t）0，k1+k20（3）因为|AB|x1x2|3，且点
20、P到直线AB的距离d，SPAB|AB|d6，当且仅当8t2t2，即t2时，等号成立，此时点A（0，2），所以，又k1+k20，APB21已知an，bn为两非零有理数列（即对任意的iN*，ai，bi均为有理数），dn为一无理数列（即对任意的iN*，di为无理数）（1）已知bn2an，并且（an+bndnandn2）（1+dn2）0对任意的nN*恒成立，试求dn的通项公式（2）若dn2为有理数列，试证明：对任意的nN*，（an+bndnandn2）（1+dn2）1+dn恒成立的充要条件为（3）已知sin2（0），dn，对任意的nN*，（an+bndnandn2）（1+dn2）1恒成立，试计算bn解：（1），即，an0，（2）证明：，为有理数列，以上每一步可逆，即可证明（3），（0），25tan12+12tan2，或，当n2k（kN*）时，当n2k1（kN*）时，为有理数列，为有理数列，dn为无理数列，当n2k（kN*）时，当n2k1（kN*）时，
