1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等解析:棱柱的侧面为平行四边形,且各侧棱长都相等,故A不正确,易知C,D不正确.B正确.答案:B2.若一个几何体的三个视图都是面积为2的圆,则这个几何体的表面积是()A.4B.2C.8D.16解析:由题意知该几何体为球,设其半径为r,则S=r2,所以r=2.故S表=4r2=422=8.答案:C3.若一个几
2、何体的直观图如图所示,则下列给出的四个俯视图正确的是()解析:俯视图为几何体在底面上的正投影,应为B中图形.答案:B4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9B.200+18C.140+9D.140+18解析:与三视图对应的直观图是下面一个长、宽、高依次为10,4,5的长方体和上面是半径为3、高为2的半个圆柱的组合体.答案:A5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC上的一点,则三棱锥B1-C1D1E的体积等于()A.13B.512C.36D.16解析:三棱锥B1-C1D1E的体积即为三棱锥D1-B1C1E的体积,三棱锥D1-B1C1E的
3、底面积为S=12,高为1,所以所求体积为13121=16.答案:D6.如果圆锥的表面积是底面面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为()A.120B.150C.180D.240解析:设圆锥的底面半径为R,母线长为l.由题意知R2+Rl=3R2,所以l=2R,扇形的弧长为2R=l.而扇形所在圆的周长为2l,所以该扇形是半圆,即所求圆心角的度数为180.答案:C7.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器的高为8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.如果不计容器的厚度,那么球的体积为()A.5003 cm3 B.8663 cm
4、3C.1 3723 cm3 D.2 0483 cm3解析:设球的半径为R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm,球心到截面的距离为(R-2)cm,所以42+(R-2)2=R2,解得R=5,所以球的体积V=43R3=4353=5003(cm3).答案:A8.如图,已知ABC表示水平放置的ABC在斜二测画法下的直观图,AB在x轴上,BC与x轴垂直,且BC=3,则ABC的边AB上的高为()A.62 B.33 C.32 D.3解析:如图,过C作CDOy交x轴于点D,则2CD是ABC的边AB上的高.由于BCD是等腰直角三角形,则CD=2BC=32.所以ABC的边AB上的高
5、等于232=62.答案:A9.已知圆柱的侧面展开图(矩形)的面积为S,底面周长为C,则它的体积是()A.C34S B.4SC3 C.CS2 D.SC4解析:设圆柱的底面半径为r,母线长为l,2rl=S,2r=C,所以V=r2l=S2C2=SC4.答案:D10.若某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 D.1解析:由三视图可得,三棱锥的直观图如图所示,则该三棱锥的体积V=1312111=16,故选A.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图,若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆
6、柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的半径为R,则V柱=R2(2R)=2R3,V锥=13R22R=23R3,V球=43R3,故V柱V锥V球=2R323R343R3=312.答案:31212.已知三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,若AB=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是_.解析:由题意知该三棱锥为正方体的一部分,如图所示.因为AB=2,所以PA=PB=PC=1,即外接球的半径为32.故球的表面积为4r2=4322=3.答案:313.若把长、宽分别为2a,a的矩形卷成一个圆柱的侧面,且圆柱的体积为8,则a=_.解析:设圆柱的底面半径为r,母线长为l.当2r=a,l=2a时,则r=
7、a2,h=l=2a,所以V圆柱=r2h=a2422a=a32=8,解得a=316.当2r=2a,l=a时,则r=a,h=l=a,所以V圆柱=r2h=a22a=a3=8,解得a=2.故所求a的值为316或2.答案:316或214.在下列平面直角坐标系中,ABC都是边长为1的正三角形,它们的直观图不是全等三角形的一组是.(只填序号)解析:由于在直观图中原来平行于x轴(或在x轴上)的线段的长度不变,而原来平行于y轴(或在y轴上)的线段的长度变为原来的一半,故(3)中,第二个图中线段AB的长度改变了,而第一个图中线段AB的长度不变,所以两个三角形的直观图不是全等的.答案:(3)15.在三棱锥P-ABC
8、中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=_. 解析:如图,设点C到平面PAB的距离为h,PAB的面积为S,则V2=13Sh, V1= VE-ADB=1312S12h=112Sh,所以V1V2=14.答案:14三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.解:因为V半球=1243R3=124343=1283cm3,V圆锥=13r2h=134210=1603(cm3), 又因为V半
9、球V圆锥,所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.17.(8分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.解:(1)加上俯视图后的三视图如图所示.(2)所求多面体的体积V=V长方体-V三棱锥=446-1312222=2843(cm3).18.(9分)如图为一个几何体的表面展开图.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?画出它的直观图;(2)需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体?若图是棱长为6 cm的正方体,试在图中画出这几个几何体的一种
10、组合情况.图图解:(1)几何体是四棱锥,它的直观图如图所示.(2)需要3个这样的四棱锥才能拼成一个棱长为6 cm的正方体,四棱锥D1-ABCD,四棱锥D1-BCC1B1,四棱锥D1-ABB1A1,如图所示.19.(10分)已知三角形ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.解:如图,由题易知旋转体是由底面重合的两个圆锥拼接而成.设上面圆锥的母线长为l1,下面圆锥的母线长为l2,重合底面的半径为r.因为ABC为直角三角形,所以r=125,S表=rl1+rl2=r(l1+l2)=1257=845.设重合底面的面积为S,则V
11、=V上+V下=13S5=531252=485.20.(10分)若E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积.解:如图,连接AB1,AC1.由于B1E=CF,则梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,VA-BEFC=VA-B1EFC1=12VA-BB1C1C.设三棱柱的高为h,VA-A1B1C1=13SA1B1C1h,VABC-A1B1C1=SA1B1C1h=m,VA-A1B1C1=m3, VA-BB1C1C=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=23m, VA-BEFC=1223m=m3,即四棱锥A-BEFC的体积是m3.