1、3.2.3直线的一般式方程课时过关能力提升一、基础巩固1.直线x-3y+1=0的倾斜角为()A.30B.60C.120D.150解析:由已知可得直线的斜率k=33,所以直线的倾斜角为30.答案:A2.如果Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足的条件是()A.BC=0B.A0C.BC=0,且A0D.A0,且B=C=0解析:y轴所在直线的方程可表示为x=0,所以A,B,C满足条件为B=C=0,A0.答案:D3.若直线l经过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:
2、直线2x-3y+4=0的斜率为23,则l的斜率为-32,则l的方程是y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0.答案:A4.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是()A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1解析:将直线方程化成截距式为x2a+y2=1,所以2a=2,解得a=1.答案:A5.直线2x-4y-8=0的斜率k=,在y轴上的截距b=.答案:12-26.过点P(2,-1)且与直线y+2x-5=0平行的直线方程是.解析:设所求的直线方程为2x+y+m=0(m-5),把(2,-1)代入直线方程可得4-1+m=0,解得m=-3,故所求的直线方程为2x+y-3=
3、0.答案:2x+y-3=07.如图,直线l的一般式方程为.解析:由题图知直线l在x轴、y轴上的截距分别为-1,-2,则直线l的截距式方程为x-1+y-2=1,即2x+y+2=0.答案:2x+y+2=08.若直线l1:x-2y-3=0平行于直线l2:3x+my-1=0,则实数m=_.解析:直线l1的斜率k1=12,直线l2的斜率k2=-3m.l1l2,k1=k2,12=-3m,解得m=-6.答案:-69.已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线l的一般式方程和截距式方程,并画出图形.解:直线l经过A(-5,6),B(-4,8)两点,由两点式,得y-68-6=x+5-4+5,整理,
4、得2x-y+16=0.把2x-y=-16的两边同除以-16,得x-8+y16=1.故直线l的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为x-8+y16=1.图形如图所示.10.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)当a为何值时,直线l1与l2平行?(2)当l1l2时,求a的值.解:(1)当a=1时,显然两条直线不平行.当a1时,将方程ax+2y+6=0化为y=-a2x-3.将方程x+(a-1)y+a2-1=0化为y=11-ax-a-1.若直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则-a2=11-a,-3-a-1,解得
5、a=-1.故当a=-1时,直线l1与l2平行.(2)当l1l2时,a+2(a-1)=0,解得a=23.二、能力提升1.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是()A.1B.-1C.-2D.2解析:由题意知a0,直线l的方程可化为x2a+y2=1.由2a=2,得a=1,故选A.答案:A2.如图,直线l:mx+y-1=0经过第一、第二、第三象限,则实数m的取值范围是()A.RB.(0,+)C.(-,0)D.1,+)答案:C3.若直线l:(a2+4a+3)x+(a2+a-6)y-8=0与y轴垂直,则实数a的值是()A.-3B.-1或-3C.2D.-1解析:由已知可得a2+
6、4a+3=0,a2+a-60,解得a=-1.答案:D4.已知直线l的倾斜角为135,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于()A.-4B.-2C.0D.2解析:由题意知直线l的斜率为-1.l1l,l1的斜率为1,2-(-1)3-a=1,解得a=0.l1l2,l2的斜率为1,2-b=1,b=-2,a+b=-2.答案:B5.若直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45,则实数a=.解析:由题意知k=-2a2-7a+3a2-9=tan 45=1,解之,得a=-23或a=3
7、.因为当a=3时,2a2-7a+3=0,a2-9=0,所以a3.故a=-23.答案:-236.直线l:3x-5y+15=0与两坐标轴围成的图形的面积等于.解析:令x=0,得y=3;令y=0,得x=-5.则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(0,3),B(-5,0).过点A,B作直线即为直线l,l与两坐标轴围成的图形是直角三角形(如图所示的阴影部分).则该图形的面积S=12|OA|OB|=1235=152.答案:1527.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(mR).(1)若方程表示一条直线,求实数m的取值范围;(2)若方程表示的直线的斜率不存在,求实数m的值,并求出此
8、时的直线方程;(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为-3,求实数m的值.解:(1)当x,y的系数不同时为零时,方程表示一条直线.令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=12.所以若方程表示一条直线,则m-1.故实数m的取值范围为m-1.(2)由(1)知当m=12时,方程表示的直线的斜率不存在,且直线方程为x=43.(3)依题意,得2m-6m2-2m-3=-3,所以3m2-4m-15=0,所以m=3或m=-53.结合(1)知m=-53.8.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.(1)证明:(方法一)将直线l的方程整理为y-35=ax-15,所以l的斜率为a,且过定点A15,35.而点A15,35在第一象限,故不论a为何值,直线l总经过第一象限.(方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.由于上式对任意的a总成立,必有5x-1=0,5y-3=0,则有x=15,y=35,即l过定点A15,35,以下同方法一.(2)解:直线OA的斜率为k=35-015-0=3.要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=-a-350,故a3.