1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。解答题专项练(三)数列与不等式综合问题1.已知等比数列an的公比q(0,1),前n项和为Sn.若S3+a3=1,且a2+是a1与a3的等差中项.(1)求an.(2)设数列bn满足b1=0,bn+1-bn=an(nN*),数列anbn的前n项和为Tn.求证:Tn(nN*).【解析】(1)由S3+a3=1,得a1+a2+2a3=1.再由a2+是a1,a3的等差中项,得a1+a3=2,即a1+a3-2a2=.由,得a1+a2+2a3=8(a1+a3-2a2),即6a3-17a2
2、+7a1=0,亦即6q2-17q+7=0,解得q=或,又q(0,1),故q=.代入,得a1=,所以an=a1qn-1=,即an=(nN*).(2)对任意nN*,Sn=1-=1-an,bn+1=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn+1-bn)=0+a1+a2+an=Sn=1-an,即bn+1=1-an.又b1=0,若规定a0=1,则b1=0满足bn=1-an-1,所以bn=1-an-1(nN*). 于是anbn=an-anan-1(nN*),从而 Tn=(a1+a2+an)-(a0a1+a1a2+an-1an)=-=-+=-,即Tn0,可得an+1-an-3=0,即an+1-an=3,所
3、以an是首项为1,公差为3的等差数列.所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)由an=3n-2,可得bn=-,故Tn=b1+b2+bn=1-=.因为Tn+1-Tn=-=0,所以Tn+1Tn,所以数列Tn是递增数列.所以t4Tn等价于Tn,所以T1=,解得t1,所以实数t的最大值是1.4.已知数列xn,满足x1=1,2xn+1=ln(1+xn),设数列xn的前n项和为Sn.求证:(1)0xn+1xn.(2)xn-2xn+1xnxn+1.(3)-Sn0, 且2xn+1=ln(1+xn)2xn+1xn+1,即0xn+1xn.(2)要证xn-2xn+1xnxn+1只需证xn-2xn+1-xnxn+1=xn-ln(1+xn)-xn0,即证2xn-(2+xn)ln(1+xn)0,即证-ln(1+xn)0,令g(x)=-ln(1+x)(0x1),g(x)=-0,所以g(x)在(0,1)上递减,所以g(x)g(0)=0.即xn-2xn+12xn+1得xn,由xn-2xn+1xnxn+1得+12,所以+1,所以xn,所以Sn2-(n2),所以Sn1+=-(当n=1时Sn=1).关闭Word文档返回原板块
