1、第 1 页/共 20 页初中数学 9 年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题 4.9 第 4 章 图形的相似单元测试（基础卷）姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 120 分，试题共 26 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020毕节市）已知 ，则 的值为（）A B C D 【分析】直接利用同一未知数表示出 a，b 的值，进而代入化简即可【解析】，设 a2x，b5x，故选：C2（2020余干县模拟）如图
2、，ABCACP，若A75，APC65，则B 的大小为（）A40B50C65D75【分析】根据三角形的内角和得到ACP40，然后根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】A75，APC65，ACP40，ABCACP，BACP40，故选：A3（2019 秋雁塔区校级月考）下列四组线段中，是成比例线段的是（）A2cm，3cm，4cm，5cmB3cm，6cm，0.2dm，5cm第 2 页/共 20 页C2cm，4cm，6cm，8cmD12cm，8cm，15cm，10cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解析】A、3452，故选项错误
3、；B、0.2dm2cm，3562，故选项错误；C、2846，故选项错误；D、1210815，故选项正确故选：D4（2020营口）如图，在ABC 中，DEAB，且 ，则 的值为（）A B C D 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论【解析】DEAB，的值为 ，故选：A5（2020金昌）生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b的高度比值接近 0.618，可以增加视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为（）A1.24 米B1.38 米C1.42 米D1.62 米第 3 页/共 20 页【分析】根据雕像的腰部以下 a
4、与全身 b 的高度比值接近 0.618，因为图中 b 为 2 米，即可求出 a 的值【解析】雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，0.618，b 为 2 米，a 约为 1.24 米故选：A6（2020 春招远市期末）如图所示，长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A28cm2B27cm2C21cm2D20cm2【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得【解析】依题意，在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE，则矩形 ABDC矩形 FDCE，则 ，设 DFxcm，得到：
5、解得：x4.5，则剩下的矩形面积是：4.5627cm2故选：B7（2019 秋桂林期末）某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树 AB 的高度时，发现树 AB 的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上经测量，落在墙壁上影高 CD 为 2 米，落在地面上的影长 BC 为 5 米，同一时间测得 8 米高的国旗杆影长是 4 米，则树高为（）第 4 页/共 20 页A8 米B10 米C12 米D14 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似本题中：经过树在墙上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角
6、形，与国旗杆，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高【解析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是 x 米根据题意可得：，解得：x10树高是 2+1012（米），故选：C8（2020 春工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB2m，它的影子 BC1.5m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，它的影子 QN1.8m，MN0.8m，木竿 PQ 的长度为（）第 5 页/共 20 页A3mB3.2mC3.4mD3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案【解析】连接 AC，过点 M 作 MFP
7、F，同一时刻物体影子与实际高度成比例，解得：PF2.4，PQPF+FQPF+MN2.4+0.83.2（m），故选：B9（2020 春恩平市期末）如图，RtOAB 的直角边 OA2，AB1，OA 在数轴上，在 OB 上截取 BCBA，以原点 O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点 P，则 OP 的中点 D 对应的实数是（）A B C 1D 1【分析】根据勾股定理求出 OB，求出 BCAB1，求出 OCOP 1，再根据线段的中点定义求出OD 即可【解析】在 RtOAB 中，OAB90，AB1，OA2，由勾股定理得：OB ，BCAB，AB1，BC1，OCOBBC 1，即 OP 1，OP 的中点是
8、D，OD OP （1），第 6 页/共 20 页即点 D 表示的数是 ，故选：A10（2019 春岱岳区期末）如图，CBCA，ACB90，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四边形 ADEF 为正方形过点 F 作 FGCA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，对于下列结论：ACFG；四边形 CBFG 是矩形；ACDFEQ其中正确的是（）ABCD【分析】由正方形的性质得出FAD90，ADAFEF，证出CADAFG，由 AAS 证明FGAACD，得出 ACFG，正确；由AFGDAC，推出四边形 BCGF 是矩形，正确；由矩形的性质和相似三角形的判定定理证出ACDF
9、EQ，正确【解析】四边形 ADEF 为正方形，FAD90，ADAFEF，CAD+FAG90，FGCA，GAF+AFG90，CADAFG，在FGA 和ACD 中，FGAACD（AAS），ACFG故正确；BCAC，FGBC，第 7 页/共 20 页ACB90，FGCA，FGBC，四边形 CBFG 是矩形故正确；FQEDQBADC，EC90，ACDFEQ故正确综上所述，正确的结论是故选：A二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在横线上11（2019 秋海州区校级期末）已知 ，则 2【分析】设 k，得出 x2k，y3k，z4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答
10、案【解析】设 k，则 x2k，y3k，z4k，2；故答案为：212如图，利用镜子 M 的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆 CD 的长度，在镜子上作一个标记，观测者 AB 看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者 AB 的身高为 1.6m，量得 BM：DM2：11，则旗杆的高度为 8.8 m第 8 页/共 20 页【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解析】根据题意得：ABMCDM，AB：CDBM：DM，AB1.6m，BM：DM2：11，1.6：CD2：11，解得：CD8.8m，故答案为：8.813（2020百色
11、模拟）如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 F 与点 C 是一对对应点，点 F 的坐标是（1，1），点 C 的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是（2，0）【分析】利用待定系数法求出直线 CF 的解析式，根据位似变换的性质解答即可【解析】正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点 F 与点 C 是一对对应点，点 B 与点 E 是对应点，它们的位似中心在 x 轴上，且与直线 CF 相交，设直线 CF 的解析式为 ykx+b，则 ，解得，直线 CF 的解析式为 y x ，当 y0 时，x2，第 9 页/共 20 页它们的位似中心的坐标是（2，0），故答案为：
12、（2，0）14（2013杭州模拟）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，D90，AB3，DC7，AD15，点 P在线段 AD 上，若PAB 和PDC 相似，则 AP 的长为 ，【分析】当PAB 和PDC 相似，根据相似三角形的对应边的比相等可以求出，但应分分 PA：PDAB：DC 和 PA：CDAB：DP 两种情况进行讨论【解析】设 APx，则 DP15x，ABCD，D90，A90AD（1）当 PA：PDAB：DC 时，PABPDC，x：（15x）3：7，解得 x ；（2）当 PA：CDAB：DP 时，APDBCP，x：73：（15x），x 综上可知，所求的 AP 长为 或 故答案为 或 第
13、10 页/共 20 页15（2020浦城县一模）如图，D 是 BC 的中点，M 是 AD 的中点，BM 的延长线交 AC 于 N，则 AN：NC 1：2【分析】作 DEBN 交 AC 于 E，根据平行线分线段成比例定理得到 N 是 AE 的中点，E 是 NC 的中点，得到答案【解析】作 DEBN 交 AC 于 E，DEBN，M 是 AD 的中点，N 是 AE 的中点，DEBN，D 是 BC 的中点，E 是 NC 的中点，AN：NC1：2，故答案为：1：216（2020河池三模）圆桌面（桌面中间有一个直径为 0.4m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形
14、成如图所示的圆环形阴影已知桌面直径为 1.2m，桌面离地面 1m，若灯泡离地面 3m，则地面圆环形阴影的面积是 0.72 m2第 11 页/共 20 页【分析】直接利用相似图形的性质进而结合已知得出底面圆的半径和空白圆的半径，进而得出圆环面积【解析】桌面离地面 1m，灯泡离地面 3m，桌面直径为 1.2m，解得：x0.9，解得：y0.3，故地面圆环形阴影的面积是：0.920.320.72（m2）故答案为：0.7217（2018桓台县一模）如图，ABCADE，BACDAE90，AB6，AC8，F 为 DE 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 CF，则在点 D 运动过程中，线段 CF 的最
15、小值是 4【分析】连接 CE，根据DCE90，F 是 DE 的中点，可得 CF DE，再根据当 ADBC 时，AD 最短，此时 DE 最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得 DE 的最小值，即可得出 CF 的最小值【解析】如图，连接 CE，第 12 页/共 20 页ABCADE，ACDAEG，又AGEDGC，AGEDGC，又AGDEGC，AGDEGC，ADGECG，又RtADE 中，ADG+AEG90，ECG+ACD90，即DCE90，F 是 DE 的中点，CF DE，ABCADE，当 ADBC 时，AD 最短，此时 DE 最短，当 ADBC 时，AD 4.8，即 ，DE8，CF
16、 84故答案为：418（2020淮安区一模）如图，已知一组平行线 abc，被直线 m、n 所截，交点分别为 A、B、C 和 D、E、F，且 AB3，BC4，EF4.8，则 DE 的长为 3.6 第 13 页/共 20 页【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案【解析】abc，即 ，DE3.6，故答案为：3.6三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020徐汇区一模）已知：a：b：c2：3：5（1）求代数式 的值；（2）如果 3ab+c24，求 a，b，c 的值【分析】（1）根据比例设 a2k，b3k，c5k
17、（k0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设 a2k，b3k，c5k（k0），然后将其代入 3ab+c24，即可求得 a、b、c 的值【解析】（1）a：b：c2：3：5，设 a2k，b3k，c5k（k0），则 1；（2）设 a2k，b3k，c5k（k0），则6k3k+5k24，解得 k3则 a2k6，b3k9，c5k1520（2020 春芝罘区期中）如图，abc，直线 m，n 交于点 O，且分别与直线 a，b，c 交于点 A、B、C 和点 D、E、F，已知 OA1，OB2，BC4，EF5，求 DE 的长度是？第 14 页/共 20 页【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出
18、结果【解析】bc，OE EF ，ac，DO OF （5），DEDO+OE 21（2019 秋萍乡期末）如图，是规格为 88 的正方形网格，请在所给的网格中按下列要求操作（1）在网格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（2，4），点 B 的坐标为（4，2）（2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数求点 C 的坐标及ABC 的周长（结果保留根号）；（3）将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后得到A1B1C，以点 B1 为位似中心将A1B1C 放大，使放大前后的位似比为 1：2，画出放大后的A2B1C1 的图形【分析】（1）根
19、据 A，B 两点坐标确定平面直角坐标系即可第 15 页/共 20 页（2）根据等腰三角形的性质以及已知条件作出ACB 即可（3）延长 B1C 到 C1，使得 B1CCC1，延长 B1A1 到 A2，使得 B1A1A1A2 即可【解析】（1）平面直角坐标系如图所示（2）C（1，1），AB2，ACBC ，ABC 周长为 2 2 ；（3）B1C1A2 如图所示22（2019 秋宜兴市期中）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、DC 上，ABEDEF，AB6，AE9，DE2，求 EF 的长【分析】先根据相似三角形的性质求出 DF 的长，再由勾股定理即可得出结论【解析】ABEDEF，A
20、B6，AE9，DE2，即 ，解得 DF3，四边形 ABCD 为矩形，D90，由勾股定理得：EF 23（2017 秋临清市期末）如图，在ABC 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经几秒钟PBQ 与ABC 相似？试说明理由第 16 页/共 20 页【分析】首先设经 x 秒钟PBQ 与ABC 相似，由题意可得 AP2xcm，BQ4xcm，BPABAP（82x）cm，又由B 是公共角，分别从 与 分析，即可求得答案【解析】
21、设经 x 秒钟PBQ 与ABC 相似，则 AP2xcm，BQ4xcm，AB8cm，BC16cm，BPABAP（82x）cm，B 是公共角，当 ，即 时，PBQABC，解得：x2；当 ，即 时，QBPABC，解得：x0.8，经 2 或 0.8 秒钟PBQ 与ABC 相似24（2020雁塔区校级模拟）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度 AB，但是他没有带任何测量工具于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯 AB 下的影长 DF 为 2 步，离路灯
22、较远的网杆在路灯 AB 下的影长 EC 为 5 步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高 DMNE1.55 米长 MN61 米，同时测得 1 步1 米，求路灯的高度（结果保留一位小数）【分析】设 ABx 米，BDy 米，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】设 ABx 米，BDy 米，ABBC，DMBC，ENBC，DMABNE，第 17 页/共 20 页FDMFBA，CENCBA，解得：x33.1，路灯的高度为 33.1 米25（2018 秋铁西区期中）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，延长 AB 至点 P、延长 BC 至点 Q，使 BPCQ，连接 AQ，DP 交于点 O，相 Q 交 C
23、D 于点 F，DP 交 BC 于点 E，连接 AE（1）求证：AQDP；（2）求证：SAODS 四边形 OECF；（3）当 BP1 时，请直接写出 OE：OA 的值【分析】（1）由四边形 ABCD 是正方形，得到 ADBC，DABABC90，根据全等三角形的性质得到PQ，根据余角的性质得到 AQDP；（2）证明CQFBPE，根据全等三角形的性质得到 CFBE，DFCE，于是得到 SADFSDFOSDCESDOF，即 SAODS 四边形 OECF；（3）证明PBEPAD，根据相似三角形的性质得到 BE ，由三角函数的定义，求出 ，OQ ，OE ，即可求出 OE：OA 的值【解答】（1）证明：四边
24、形 ABCD 是正方形，ADBC，DABABC90，BPCQ，第 18 页/共 20 页APBQ，在DAP 与ABQ 中，DAPABQ（SAS），PQ，Q+QAB90，P+QAB90，AOP90，AQDP；（2）证明：在CQF 与BPE 中，CQFBPE（ASA），CFBE，DFCE，在ADF 与DCE 中，ADFDCE（SAS），SADFSDFOSDCESDOF，SAODS 四边形 OECF；（3）解：BP1，AB3，PA4，PBEPAD，QECQ+BCCE1+3 ，第 19 页/共 20 页ADQE，QOEPAD，OQ ，OE ，26（2020雁塔区校级一模）如图，在 RtABC 中，AC
25、B90，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O，O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点 G（1）求证：FGAB；（2）若 AC6，BC8，求 FG 的长【分析】（1）连接 OF，利用已知条件证明BFG+B90，即可得到 FGAB；（2）连接 DF，先利用勾股定理求出 AB10，进而求出 CDBD5，再求出 CF4，进而求出 DF3，利用面积法即可得出结论【解析】（1）证明：连接 OF，OCOD，CFBF，OF 是CDB 的中位线，OFBD，OFCB，FG 是O 的切线，OFG90，OFC+BFG90，BFG+B90，FGB90，第 20 页/共 20 页FGAB；（2）解：连接 DF，在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB10，点 D 是 AB 中点，CDBD AB5，CD 是O 的直径，CFD90，BFCF BC4，DF 3，SBDF DFBF BDFG，FG