1、2021-2022学年第二学期期中考试（线上）高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. 110B. 65C. 55D. 100【答案】B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式求值即可.【详解】故选：B2. 物体的运动位移方程是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（ ）A. 2m/sB. 4m/sC. 6m/sD. 8m/s【答案】C【解析】【分析】根据物理量位移与速度的关系知：，得到速度关于时间的解析式，代入求值即可.【详解】由物体运动速度为位移对时间的导数，即，时，m/s.故选：C.3. 6位同学报名
2、参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ）A. 15种B. 30种C. 36种D. 64种【答案】D【解析】【分析】根据分步计数原理可得答案.【详解】因为每位同学都有两种选择，所以共有种不同的报名方法，故选：D4. 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ）245682040607080A. 210B. 210.5C. 211D. 211.5【答案】D【解析】【分析】首先算出样本中心点，然后求出，然后可算出答案.【详解】因为，所以，所以回归直线方程为当
3、时，故选：D5. 设随机变量，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项分布求解即可【详解】解得故选：A6. 已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，求得，求得函数单调性，得到且，把有三个不同的零点，转化为函数和的图象有三个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，当时，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以且，当时，可得，所以函数的图象如图所示，又由有三个不同的零点，即函数和的图象有三个公共点，结合图象，可得实数的取值范围.故选：C.7. 甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每
4、人只去一个景点，设事件=“四位同学去景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；所以.故选：A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档
5、题.8. 已知曲线C1：y2tx(y0，t0)在点M处的切线与曲线C2：yex11也相切，则t的值为()A. 4e2B. 4eC. D. 【答案】A【解析】【详解】由y，得y，则切线斜率为k，所以切线方程为y2 ，即yx1.设切线与曲线yex11的切点为(x0，y0)由yex11，得yex1，则由ex01，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y1，即yxln1，所以由题意，得ln11，即ln2，解得t4e2，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.分.9. A、B、C、D、E五个人并排
6、站在一起，则下列说法正确的有（ ）A. 若A、B两人站在一起有24种方法B. 若A、B不相邻共有72种方法C. 若A在B左边有48种排法D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法【答案】BD【解析】【分析】利用捆绑法可判断A，利用插空法可判断B，C属于定序问题，利用间接法可判断D.【详解】对于A，将看成一个整体，与全排列，有种排法，A错误；对于B，将排好，然后将安排在空位中，有种排法，B正确；对于C，5人全排列，有种排法，在左边与在右边的情况数目相同，则在左边的排法有60种，C错误；对于D，不考虑限制条件，5人有种不同的排法，站在最左边的排法有种，站在最右边的排法有种，站在最左边且站在
7、最右边的排法种，则有种不同的排法，D正确；故选：BD10. 设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（ ）0123A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】根据概率和为1，可得，解得.对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率和、数学期望和方差的计算，属于基础题11. 为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的22列联表（个别数据暂用字母表示）：幸福感强幸福
8、感弱总计阅读量多1872阅读量少3678总计9060150计算得：，参照下表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828对于下面的选项，正确的为（ ）A. 根据小概率值的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”B. C. 根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”D. 【答案】CD【解析】【分析】根据独立性检验的思想，可判断A,C;根据列联表的数据，算出,m,n的值，判断B,C.【详解】对于A，小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下
9、认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” ，故A错误；对于B， ，故B错误；对于C，根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” ，故C正确；对于D，正确，故选：CD12. 下列说法正确的是（ ）A. 若函数满足，则函数在处切线斜率为1B. 函数在区间上存在增区间，则C. 函数在区间上有极值点，则D. 若任意，都有，则有实数的最大值为【答案】AD【解析】【分析】利用导数的几何意义可判断A，利用二次函数的性质可判断B，利用导数和极值的关系可判断C，构造函数，利用函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由
10、函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B错误；对于C，由，可得，则在区间上有变号零点，即在区间上有解，又，当时，函数没有极值，当时，令则或，不满足在区间上有极值点，故，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、二次函数的单调性、利用导数分析函数的极值问题与构造函数分析不等式的问题，属于中档题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20.分.13. 已知随机变量服从正态分布，若，则_.【答案】#0.75【解析】【分析】利用正态分布的对称性有，即可求概率.【详解】由题设，正态分布
11、曲线关于对称，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性应用，属于基础题14. 计算_.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.15. 甲罐中有5个红球，1个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，2个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则_.【答案】【解析】【分析】根据互斥事件概率的乘法公式和条件概率的计算公式，带值计算即可.【详解】由甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示取出的球是红球，白球和黑球的事件，则是两两互斥的事件，且，则故答案
12、为：.【点睛】本题主要考查了互斥事件概率的乘法公式和条件概率的计算，需要分三种情况分析，属于基础题16. 设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，则使得成立的的取值范围_【答案】【解析】【分析】先构造新函数，通过求导，再结合已知条件可判断出当 时， ，当 时， ，最后分情况解不等式可得答案.【详解】令 则当 时，得 ，进而得，故原函数单调递增，又因为 ，当 时， ，此时，所以,当时，此时，所以，所以，当 时， ，又因为 是奇函数，当 时， ，求 ，分两种情况求解，当 时， 0 ，只需 ，解得 ，当 时， ，只需 ，解得 ， 所以 的范围是 . 故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70
13、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.（1）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）【答案】（1）9 （2）16 （3）150【解析】【分析】（1）先分析摸出的3个球中全是红球的再求摸出的三个球中至少有1个白球的情况数；（2）先把A安放在中间位置，从
14、A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列即可；（3）先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，再按3，1，1和2，2，1两种情况计算即可【小问1详解】将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，摸出的3个球中全是红球的不同摸法有 种，则摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为种【小问2详解】先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列，方法有种【小问3详解】先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，若按3个盒子分别3，1，1个小球分配，有种；若按3个盒子分别2，2，1个小球分配，有种；故共有种【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常
15、见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.18. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知_.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设，求的值；（3）求的展开式中的系数.【答案】（1）答案见解析 （2）0 （3）560【解析】【分析】（1）选择，由，得，选择，由，得；（2）利用赋值法可求解；（3）分两个部分
16、求解后再求和即可.【小问1详解】选择，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为选择，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为【小问2详解】令，则，令，则，所以，【小问3详解】因为所以的展开式中含的项为：所以展开式中的系数为560.19. 甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.（1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数的分布列；（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由.【答案】（1） （2）X234P （3）甲平
17、均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.【解析】【分析】（1）根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列.（3）由（2）计算出乙平均答对题目数的期望值.利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值.由此得到两人平均答对的题目数的大小.【小问1详解】甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.【小问2详解】由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，X的分布列为：X234P【小问3详解】乙平均答对的题目数，甲答对题目，甲平均答对的题目数.甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.【点睛】本小
18、题主要考查二项分布的概率计算，考查利用超几何分布概率计算公式计算分布列，考查期望值的计算，属于中档题.20. 某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生4道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛.若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为.（1）求甲在初赛中恰好正确解答3道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分的概率分布，并求数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，.
19、【解析】【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得解；（2）列出决赛中积分的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列，计算期望即可【小问1详解】甲在初赛中恰好正确解答3道试题的概率为，【小问2详解】甲的积分的可能的取值为80，50，20，则，所以的概率分布列为：805020所以数学期望21. 已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减. （2）6【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.【小问1详解
20、】的定义域为，求导得：，令，则，令，则，所以上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】，令，则，由（1）知，在上单调递增，且，则在区间内存在唯一的零点，使，即，则当时，有在上单调递减，当时，在上单调递增，于是得，因此，所以整数的最大值为6.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题关键.22. 已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数在内有且只有一个极值点；（3）求函数在区间上的最小值.【答案】（1）在区间上为增函数. （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；（3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值.【小问1详解】因为，所以，又，所以，所以函数在区间上为增函数.【小问2详解】设，则，当时，所以在上为减函数，又，所以存在唯一，使得，即存在唯一，使得，与在区间内的变化情况如下：+0增函数极大值减函数所以函数在内有且只有一个极值点.【小问3详解】由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，又因为，所以当时，又因为当时，所以，当且仅当时等号成立，所以在上的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性、极值点个数的判定，同时也考查了函数单调性求最值的问题，属于难题
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