1、第 1 页/共 21 页初中数学 9 年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题 4.6 利用相似三角形测高姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，试题共 24 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020宛城区一模）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O 都在横格线上，且线段 AD、BC 交于点 O若线段 AB4
2、cm，则线段 CD 长为（）A4cmB5cmC6cmD8cm【分析】过点 O 作 OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，则由相似三角形（AOBDOC），根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答【解析】如图，过点 O 作 OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，则 OE、OF 分别是AOB、DOC 的高线，练习本中的横格线都平行，AOBDOC，即 ，CD6cm故选：C第 2 页/共 21 页2（2020新宾县四模）如图，有一块直角边 AB4cm，BC3cm 的 RtABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A B C D 【分析】过点 B 作
3、BPAC，垂足为 P，BP 交 DE 于 Q，三角形的面积公式求出 BP 的长度，由相似三角形的判定定理得出BDEBAC，设边长 DEx，根据相似三角形的对应边成比例求出 x 的长度可得【解析】如图，过点 B 作 BPAC，垂足为 P，BP 交 DE 于 QSABC ABBC ACBP，BP DEAC，BDEA，BEDC，BDEBAC，设 DEx，则有：，解得 x ，故选：D3（2020天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB1.2m，BC12.8m，则建筑物 CD 的高是（）第 3 页/共 21 页A17.5mB17mC16.
4、5mD18m【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出 CD 的长，从而可以解答本题【解析】EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，BE1.5m，AB1.2m，BC12.8m，ACAB+BC14m，解得，DC17.5，即建筑物 CD 的高是 17.5m，故选：A4（2019 秋南岸区期末）如图，在一块斜边长 60cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 CD：CB1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为（）A202.5cm2B320cm2C400cm2D405cm2
5、【分析】设 AFx，根据正方形的性质用 x 表示出 EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性质求出 BC，根据勾股定理列式求出 x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】四边形 CDEF 为正方形，EFBC，AEFABC，第 4 页/共 21 页CD：CB1：3，设 AFx，则 AC3x，EFCF2x，BC6x，在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 602（3x）2+（6x）2，解得，x4，AC12，BC24，剩余部分的面积 24 12 8 8 400（cm2），故选：C5（2019 秋鹿城区校级月考）如图，AB 和 CD 表示两根直立于地面的柱子，AC 和 B
6、D 表示起固定作用的两根钢筋，AC 与 BD 相交于点 M，已知 AB8m，CD12m，则点 M 离地面的高度 MH 为（）A4 mB mC5mD m【分析】根据已知易得ABMDCM，可得对应高 BH 与 HD 之比，易得 MHAB，可得MDHADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可【解析】ABCD，ABMDCM，（相似三角形对应高的比等于相似比），MHAB，MCHACB，解得 MH 第 5 页/共 21 页故选：B6（2018 秋嘉兴期末）如图，有一块三角形余料 ABC，BC120mm，高线 AD80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，点 P，M 分别
7、在 AB，AC 上，若满足 PM：PQ3：2，则 PM 的长为（）A60mmB mmC20mmD mm【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题【解析】如图，设 AD 交 PN 于点 KPM：PQ3：2，可以假设 MP3k，PQ2k四边形 PQNM 是矩形，PMBC，APMABC，ADBC，BCPM，ADPM，第 6 页/共 21 页 ，解得 k20mm，PM3k60mm，故选：A7（2019 秋永春县期中）我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北
8、方向走 40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810 步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步A360B270C180D90【分析】设正方形城池的边长为 x 步，则 AECE x，证明 RtBEARtEDC，利用相似比得到 ，然后利用比例性质求出 x 即可【解析】如图，设正方形城池的边长为 x 步，则 AECE x，AECD，BEAEDC，RtBEARtEDC，即 ，x360，即正方形城池的边长为 360 步故选：A8（2020成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上 A，D 两个端点之间的距离为10m，则容器的内径是（）第 7 页/共 21 页A5cmB10cmC15
9、cmD20cm【分析】首先连接 AD、BC，然后判定AODBOC，根据相似三角形的性质可得 ，进而可得答案【解析】连接 AD、BC，AODBOC，AODBOC，A，D 两个端点之间的距离为 10m，BC15m，故选：C9（2020 春武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆 25m 的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上 14cm 的长度恰好遮住电线杆已知臂长为 70cm，则电线杆的高是（）第 8 页/共 21 页A5mB6mC125mD4m【分析】先求出ABCAEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆 EF的高【解析】作 ANEF
10、 于 N，交 BC 于 M，BCEF，AMBC 于 M，ABCAEF，AM0.7m，AN25m，BC0.14m，EF 5（m）故选：A10（2019毕节市）如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF后，剩余部分的面积为（）A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【分析】设 AFx，根据正方形的性质用 x 表示出 EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性质求出 BC，根据勾股定理列式求出 x，根据三角形
11、的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】设 AFx，则 AC3x，四边形 CDEF 为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，第 9 页/共 21 页 ，BC6x，在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面积 12 6 4 4 100（cm2），故选：A二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在横线上11（2017 秋嘉兴期末）某公司门口的栏杆如图，AB1.2m，BC15m要使栏杆 C 端从栏杆水平位置上升到垂直距离（CE）5m 处，栏杆 A 应下降的垂直距离（AD）为
12、0.4 m【分析】证明BADBCE，然后利用相似比计算 AD 的长【解析】ADCE，BADBCE，AD：CEBA：BC，即 AD：51.2：15，解得 AD0.4（m）故答案为 0.412（2020衡阳模拟）如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF后，剩余部分的面积为 100cm2【分析】设 AFx，根据正方形的性质用 x 表示出 EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性质求出 BC，根据勾股定理列式求出 x，根据
13、三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】设 AFx，则 AC3x，第 10 页/共 21 页四边形 CDEF 为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，BC6x，在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面积 12 6 4 4 100（cm2），故答案为：100cm213（2020晋安区一模）如图，利用镜子 M 的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆 CD 的长度，在镜子上作一个标记，观测者 AB 看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者 AB 的身高为 1.6m，量得
14、 BM：DM2：11，则旗杆的高度为 8.8 m【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解析】根据题意得：ABMCDM，AB：CDBM：DM，AB1.6m，BM：DM2：11，1.6：CD2：11，解得：CD8.8m，故答案为：8.8第 11 页/共 21 页14（2019 秋山西期末）太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 AB 绕定点 O 旋转到 DC 位置，已知栏杆 AB 的长为 3.5m，OA 的长为 3m，C 点到 AB 的距离为 0.3m支柱 OE 的高为 0.5m，则栏杆 D 端离地面的距离为 2.3m【分析】过 D 作 DGAB
15、 于 G，过 C 作 CHAB 于 H，则 DGCH，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】过 D 作 DGAB 于 G，过 C 作 CHAB 于 H，则 DGCH，ODGOCH，栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，CDAB3.5m，ODOA3m，CH0.3m，OC0.5m，DG1.8m，OE0.5m，栏杆 D 端离地面的距离为 1.8+0.52.3m故答案是：2.3m15（2019 秋西城区期末）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示若 a11 米，a210 米，h1.5 米，则这个学校教学楼的高度为 15 米第 12 页/共 2
16、1 页【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度【解析】由镜面反射原理可得，12，ACBADE，故 ，则 ，解得：ED15（m），即这个学校教学楼的高度为 15 米故答案为：1516（2020 春沙坪坝区校级期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有 Y 国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示若此时眼睛到食指距离 l 约为 63cm，食指 AB 长约为 7cm，旗杆 CD 高度为 28 米，则对方与我军距离 d 约为 252 米第 13 页/共 21 页【分析】将实际问题转化为
17、三角形相似问题求解进而得出答案【解析】63cm0.63m，AB7cm0.07m，ABCD，ABOCDO，即 ，d252（m），故答案为：25217（2020上海）九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.6米，BD1 米，BE0.2 米，那么 AC 为 7 米【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】BDAB，ACAB，BDAC，ACEBDE，第 14 页/共 21 页 ，AC7（米），故答案为：718（2020温州）如图，在河对岸有一
18、矩形场地 ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸 l 上依次取点 E，F，N，使 AEl，BFl，点 N，A，B 在同一直线上在 F 点观测 A 点后，沿 FN 方向走到 M 点，观测C 点发现12测得 EF15 米，FM2 米，MN8 米，ANE45，则场地的边 AB 为 15 米，BC 为 20 米【分析】根据已知条件得到ANE 和BNF 是等腰直角三角形，求得 AEEN15+2+825（米），BFFN2+810（米），于是得到 ABANBN15（米）；过 C 作 CHl 于 H，过 B 作 PQl 交AE 于 P，交 CH 于 Q，根据矩形的性质得到 PEBFQH10，PBEF15，B
19、QFH，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】AEl，BFl，ANE45，ANE 和BNF 是等腰直角三角形，AEEN，BFFN，EF15 米，FM2 米，MN8 米，AEEN15+2+825（米），BFFN2+810（米），AN25，BN10，ABANBN15（米）；过 C 作 CHl 于 H，过 B 作 PQl 交 AE 于 P，交 CH 于 Q，AECH，四边形 PEHQ 和四边形 PEFB 是矩形，第 15 页/共 21 页PEBFQH10，PBEF15，BQFH，12，AEFCHM90，AEFCHM，设 MH3x，CH5x，CQ5x10，BQFH3x+2，APBABCCQB90，A
20、BP+PABABP+CBQ90，PABCBQ，APBBQC，x6，BQCQ20，BC20，故答案为：15，20 三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020雁塔区校级模拟）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于 A 处第
21、16 页/共 21 页的树木（即点 D 在直线 AC 上）【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得 ，然后利用比例性质可求出 CK 的长【解析】DH100，DK100，AH15，AHDK，CDKA，而CKDAHD，CDKDAH，即 ，CK 答：出南门 步恰好看一到位于 A 处的树木20（2020 春莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE40cm，EF30cm，测得 AM10m，边 DF 离地面的高度 DM1.5m，求树高 AB第 17 页/共 2
22、1 页【分析】利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB【解析】DEFBCD90，DD，DEFDCB，DE40cm0.4m，EF30cm0.3m，AC1.5m，CD10m，BC7.5 米，ABAC+BC1.5+7.59 米，树高为 9 米21（2020山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树 AB 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点 F 处，将镜子放在点 M 处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走 2.8 米，到达点 D处，将镜
23、子放在点 N 处时，刚好看到大树的顶端（点 F，M，D，N，B 在同一条直线上）若测得 FM1.5 米，DN1.1 米，测量者眼睛到地面的距离为 1.6 米，求大树 AB 的高度【分析】设 NB 的长为 x 米，则 MBx+1.1+2.81.5（x+2.4）米通过CNDANB 和EMFAMB 的性质求得 x 的值，然后结合 求得大树的高【解析】设 NB 的长为 x 米，则 MBx+1.1+2.81.5（x+2.4）米由题意，得CNDANB，CDNABN90，第 18 页/共 21 页CNDANB，同理，EMFAMB，EFCD，即 解得 x6.6，解得 AB9.6答：大树 AB 的高度为 9.6
24、 米22（2019 春西湖区校级月考）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知两条边 DE0.4m，EF0.2m，测得边 DF 离地面 AC1.5m，CD8m，求树高【分析】利用 RtDEF 和 RtBCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB【解析】DEFDCB90，DD，DEFDCB ，DE0.4m，EF0.2m，CD8m，CB4（m），第 19 页/共 21 页ABAC+BC1.5+45.5（米）答：树高为 5.5 米23（2019 秋绥德县期末）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度
25、：将一根 3 米高的标杆（CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在 F 处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成一条直线，此时他看到标杆顶端 C 与旗杆顶端 A 重合，另外一名同学测得站立（EF）的同学离标杆（CD）3米，离旗杆（AB）30 米如果站立（EF）的同学的眼睛距地面 1.6 米，过点 E 作 EHAB 于点 H，交CD 于点 G（EFAB，CDAB，EHFB），求旗杆 AB 的高度【分析】过点 E 作 EHAB 于点 H，交 CD 于点 G 得出EGCEHA，进而求出 AH 的长，进而求出AB 的长【解析】过点 E 作 EHAB 于点 H，交 CD 于点 G由题意可得，四边形 EFDG、
26、GDHB 都是矩形，ABCDEFECGEAH 由题意可得：EGFD3m，EHBF30m，CGCDGDCDEF31.61.4（m），AH14（米），ABAH+HB14+1.615.6（米）答：旗杆的高度为 15.6 米第 20 页/共 21 页24（2012茂南区校级一模）在 RtABC 中，C90，AC20cm，BC15cm现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 也向点 B 方向运动如果点 P 的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为 t 秒求：（1）用
27、含 t 的代数式表示 RtCPQ 的面积 S；（2）当 t3 时，P、Q 两点之间的距离是多少？（3）当 t 为多少时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？【分析】（1）由点 P，点 Q 的运动速度和运动时间，又知 AC，BC 的长，可将 CP、CQ 用含 t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式 SCPQ CPCQ 求解；（2）在 RtCPQ 中，由（1）可知 CP、CQ 的长，运用勾股定理可将 PQ 的长求出；（3）应分两种情况，当 RtCPQRtCAB 时，根据 ，可将时间 t 求出；当 RtCPQRtCBA 时，根据 ，可求出时间 t【解析】（1）由题意得 AP4t，CQ2t，则 CP204t，因此 RtCPQ 的面积为 S cm2；（2）当 t3 时，CP204t8cm，CQ2t6cm，由勾股定理得 PQ ；第 21 页/共 21 页（3）分两种情况：当 RtCPQRtCAB 时，即 ，解得 t3；当 RtCPQRtCBA 时，即 ，解得 t 因此 t3 或 t 时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似