1、2021-2022 学年度第二学期高二期末模拟测试数学注意事项：2022.06.041.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21|1,|log()1AxBxxx，则 AB （）A.(2,0B.0,2)C.(0,2)D.2,0)【答案】D【
2、解析】【分析】解不等式后由交集的概念判断【详解】由 11x 得01xx或，由2log()1x 得 20 x，故 2,0)AB ，故选：D2.已知|2a，b 在a 上的投影为 1，则ab在 a 上的投影为（）A.-1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用向量投影的定义进行计算即可.【详解】b 在 a 上的投影为1b aa，即2b aa，ab在 a 上的投影为24232abaab aaa，故选：C3.某地区安排 A，B，C，D，E，F 六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且 A，B 两人安排在同一个社区，C，D 两人不安排在同一个社区，
3、则不同的分配方法总数为（）A.72B.84C.90D.96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区 1 人，一个社区 2 人，一个社区 3 人两种分配方式，第二种分配方式再分 AB 两人一组去一个社区，AB 加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则 CE 一组，DF 一组，或 CF 一组，DE 一组，由 2 种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有332A12种；第二种分配方式为一个社区 1 人，一个社区 2 人，一个社区 3 人，当 AB 两人一组去一个社区，则剩下的 4 人，1 人为一组，3 人为一组，则必
4、有 C 或 D 为一组，有1323C C 种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有133233C C A12种分配方法；当 AB 加上另一人三人去一个社区，若选择的是 C 或 D，则有12C 种选择，再将剩余 3 人分为两组，有1232C C 种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有11232323C C C A36种分配方法；若选择的不是 C 或 D，即从 E 或 F 中选择 1 人和 AB 一起，有12C 种分配方法，再将 CD 和剩余的 1 人共 3 人分为两组，有 2 种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有13232C A24种分配方法，综上共有 12+12+36+24
5、=84 种不同的分配方式故选：B4.从 0，1，2，9 这十个数字中随机抽取 3 个不同的数字，记 A 为事件：“恰好抽的是 2，4，6”，记 B 为事件：“恰好抽取的是 6，7，8”，记 C 为事件：“抽取的数字里含有 6”.则下列说法正确的是（）A.P ABP A P BB.110P C C.P CP ABD.|(|P A CP B C）【答案】D【解析】分析】由题得事件 A 与事件 B 互斥，进而 0P AB，再根据题意，依次讨论求解即可.【详解】解：由题知，从 10 个数中随机的抽取 3 个数，共有310C=120 种可能情况，对于 A 选项，“恰好抽的是 2，4，6”和“恰好抽取的是
6、 6，7，8”为互斥事件，0,0P ABP A P B，故 A 选项错误；对于 B 选项，29310C363C12010P C，故 B 选项错误；对于 C 选项，30,10P ABP C，故 C 选项错误；对于 D 选项，由于 2911C36P ACP BC，故由条件概率公式得|(|P A CP B C），故 D 选项正确.故选：D5.若函数21121xfxxx，则函数 4g xf xx的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先利用配凑法求出()f x 的解析式，则可求出()g x 的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为22221122111xxxxfxxxxx，
7、所以 21f xxx.从而 22424g xxxx，当2x 时，g x 取得最小值，且最小值为 4.故选：D6.若二项式72axx的展开式中31x的系数是84，则实数aA.2B.5 4C.1D.24【答案】C【解析】【详解】试题分析：二项式72axx的通项公式为777 2177C2C 2rrrrrrrraxa xx，令723r ，得=5r故展开式中31x的系数是5257C 2 a，解得1a 考点：二项式定理7.已知sin1sin11eea，tan2tan21eeb，cos3cos31eec，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cab【答案】B【解析】【分析】构造函数 ee1xxf x，利用
8、导数得出单调性，比较sin1,tan2,cos3的大小即可求出.【详解】设函数 ee1xxf x，则 f x 为偶函数，且当0 x 时，1e0exxfx，所以 f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，因为3sin12，3tan 21cos32 ，所以3tan 21cos3sin102 ，又sin1af，tan2tan2bff，cos3cos3cff，所以bca.故选：B.8.已知定义在 D 的上函数 f x 满足下列条件：函数 f x 为偶函数，存在00 x，()f x在0,)x 上为单调函数.则函数()f x 可以是（）A.22ln(1)()xxf xxB.()sin(2)(22)xxf
9、 xxC.3log(01)af xxaxaD.2()ln(e)ln(e)f xxxx【答案】C【解析】【分析】分析函数()f x 的奇偶性判断 A；求出函数()f x 的零点判断 B；分析函数()f x 的奇偶性，借助导数求出单调区间判断 C；求出函数()f x 的定义域判断 D 作答.【详解】对于 A，()f x 定义域为0 x x，22221lnln(1)1()()xxxxfxf xxx ，即()f x 为奇函数，A 不是；对于 B，()f x 定义域为 R，由()0f x 得(Z)2kxk，即对任意的正整数 k，2k 都是 f x的零点，显然不能满足条件，B 不是；对于 C，3logaf
10、 xxax，必有30 xax，则0 x 且 xa，即()f x 定义域为|0 x x 且xa，33loglogaaxaxxff xaxx，则函数3logayxax为偶函数，满足条件，设 3g xxax，其导数 23g xxa，由 0gx得33ax ，令3()ug xxax，当 xa时，0g x，即 g x 在(,)a 上为增函数，而 01a，loga u 在0,上为减函数，因此 f x 在(,)a 上为减函数，即存在00 xa，()f x 在0,)x 上为减函数，满足条件，C 是；对于 D，()f x 定义域为(e,e)，不能满足条件，D 不是.故选：C二、选择题：本大题共 4 小题，每小题
11、5 分，共计 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分.9.袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个黑球，4 个白球，现从中任取 4 个球，记随机变量 X为其中白球的个数，随机变量 Y 为其中黑球的个数，若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得1 分，随机变量 Z 为取出 4 个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A.97(|6|1)105P Z B.()()E XE YC.()()D XD YD.285E Z【答案】ACD【解析】【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知 X，Y
12、 均服从于超几何分布，且4XY，2ZXY，故446410()(0,1,2,3,4)kkC CP XkkC；从而97(61)1(4)(8)1(X4)P(X0)105P ZP ZP ZP ，故选项 A 正确；48()4 105E X，12()4()5E YE X，()(4)()D XDYD Y，故选项 B 错误，C正确；28(Z)2()()5EE XE Y，故选项 D 正确；故选：ACD.10.某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其 200 名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中的0.04m B.成绩不低于 80 分的职工约 80 人C.200 名
13、职工的平均成绩是 80 分D.若单位要表扬成绩由高到低前 25%职工，则成绩 87 分的职工 A 肯定能受到表扬【答案】AB【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于 A，(0.01 0.010.02 0.02)101m，得0.04m，故 A 正确；对于 B，成绩不低于 80 分职工人数为(0.02 0.02)10 20080，故 B 正确；对于 C，平均成绩为55 0.1 65 0.1 75 0.485 0.295 0.278，故 C 错误；第75%分位数为0.750.6801087.5870.80.6，故 D 错误.故选：AB.11.双曲线具有如下光学性
14、质：如图1F，2F 是双曲线的左、右焦点，从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射光线 n 的反向延长线过左焦点1F 若双曲线 C的方程为221916xy，下列结论正确的是（）A.若mn，则1216PFPFB.当 n 过7,5Q时，光由2FPQ所经过的路程为 13C.射线 n 所在直线的斜率为 k，则40,3kD.若 1,0T，直线 PT 与 C 相切，则212PF【答案】CD【解析】【分析】对于 A：判断出1290F PF，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于 B：利用双曲线的定义直接求得；对于 C：先求出双曲线的渐近线方程，由 P 在双曲线右支上，即可得到
15、 n 所在直线的斜率的范围；对于 D：设直线 PT 的方程为 1,0yk xk.利用相切解得2k，进而求出 9,8 2P.即可求出2F P.【详解】对于 A：若mn，则1290F PF.因为 P 在双曲线右支上，所以126F PF P.由勾股定理得：2221212FPF PFF二者联立解得：22121122100363222PFPFF FF PF P.故 A 错误；对于 B：光由2FPQ所经过的路程为222111222755 067F PPQFPaPQFPPQaFQa.故 B 错误；对于 C：双曲线221916xy 的方程为43yx.设左、右顶点分别为 A、B.如图示：当 m 与2F B 同向
16、共线时，n 的方向为2BF，此时 k=0，最小.因为 P 在双曲线右支上，所以 n 所在直线的斜率为43k.即40,3k.故 C 正确.对于 D：设直线 PT 的方程为 1,0yk xk.2211916yk xxy，消去 y 可得：222216 91891440kxk xk.其中2222184 16991440kkk，即211522304k，解得2k 代入222216 91891440kxk xk，有22361620 xx，解得：x=9.由 P 在双曲线右支上，即2291916y，解得：8 2y（8 2y 舍去），所以 9,8 2P.所以222958 2012F P.故 D 正确故选：CD12
17、.若2lnlnbbaaa，则下列式子可能成立的是（）A.1abB.1baC.1baD.1ab【答案】BCD【解析】【分析】构造函数 lnf xxx，0 x，得到其单调性且零点情况，分 ab 与ab两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.【详解】令 lnf xxx，0 x 则 110fxx 恒成立，所以 lnf xxx单调递增，其中1110eef ，110f，则存在01,1xe，使得00f x当 ab 时，2lnlnlnaaabbaa即1 ln0aaa，若1a，则ln0aa，且10a ，则1 ln0aaa，不满足1 ln0aaa，故1a，且 0f a，所以01xa又因为 ab，所以1a
18、b，D 正确；当ab时，2lnlnlnaaabbaa，即1 ln0aaa（1）当1a 时，10a ，ln0aa，则1 ln0aaa成立，故1ba，B 正确；（2）当1a 时，10a ，若1 ln0aaa，则ln0aa，因为00f x，且 lnf xxx在0,上单调递增，所以当00ax时，ln0aa，则2ln0aaa，所以ln0bb，所以1b ，又因为ab，所以1ba，选项 C 正确.故选：BCD【点睛】对于多元方程或不等式问题，要根据方程或不等式特征构造函数，利用函数单调性进行求解，注意分类讨论.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.若112nxxxx展开式中各项的系
19、数之和为 96，则展开式中2x 的系数为_.【答案】25【解析】【分析】由题意可得2 1 296n，从而可求出n，则展开式中2x 的系数等于1nxx展开式中 x 一次项系数的 2 倍加上 x 的 3 次项系数【详解】由题意可知2 1 296n，得5n，则5111122nxxxxxxxx，51xx展开式的通项公式为55 2551CCrrrrrxxx，所以5112xxxx展开式中2x 的系数为21552CC25.故答案：2514.若圆22:20C xyDxy的圆心在直线210 xy 上，则 C 的半径为_【答案】10【解析】【分析】先求得参数 D，再去求 C 的半径即可解决.【详解】圆22:20C
20、 xyDxy的圆心为,12D则有21102D，则6D，则 C 的半径为22162102故答案为：1015.已知正方体 ABCD1111DCBA的棱长为 4，M 在棱11A B 上，且13A MMB1，则直线 BM与平面11A B CD 所成角的正弦值为_【答案】2 25【解析】【分析】作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面11A B CD 的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.【详解】如图所示，以 D 为原点，DA方向为 x 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，所以有，0,0,0D，1 4,0,4A，0,4,0C，,B 4 4 0，4,1,4M，则14,0,4DA，0,4,0DC，0,3,4
21、MB，设平面1A DC 的法向量,nx y z，则由140440n DCyn DAxz ，令1x，得1,0,1n，设直线 BM 与平面11A B CD 所成角为，则42 2sincos,525n MBn MBn MB，故答案为：2 25.16.若函数 2 lnf xxx，2e xg xx，则 f x 的最小值为_；若,0a b，且 f ag b，则2ab的最小值为_【答案】.12e.22ln2【解析】【分析】求函数 2 ln,0f xxx x的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；由 f ag b可得22lne baab，变形为2ln2ln eeabab，结合函数 2e xg xx的单调性可
22、得到ln ab，从而表示出2ab，构造函数，利用导数求得最小值.【详解】由题意可得 2 ln,0f xxx x，则(2ln1)fxxx，当120ex时，(2ln1)0fxxx，函数 f x 递减，当12ex时，(2ln1)0fxxx，函数 f x 递增，故12ex时函数的极小值点，也是最小值点，故 f x 的最小值为111221ee lne2ef ；由,0a b，且 f ag b可得22lne baab，则ln0,1aa，即有2ln2ln eeabab，由于 22e,e21xxg xxg xx，当0 x 时，2(22e1)0 xgxx，()g x单调递增，故由1,0ab，2ln2ln eeab
23、ab可得ln ab，故22ln,1abaa a，令()2ln,1h xxx x，则22()1xh xxx，当12x时，()0h x，()2lnh xxx递减，当2x 时，()0h x，()2lnh xxx递增，故min()(2)22ln 2h xh，即2ab得最小值为22ln2，故答案为：12e；22ln2【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将22lne baab变形为2ln2ln eeabab，从而 可以为后面构造函数，利用导数解决问题创造条件.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.一
24、机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸 z（单位：mm）服从正态分布2200,N，且 2100.9P z.（1）求190z 的概率；（2）若从该条生产线上随机选取 2 个零件，设 X 表示零件尺寸小于190mm的零件个数，求 X的分布列与数学期望.【答案】（1）0.1（2）分布列见解析，数学期望为 0.2【解析】【分析】（1）由正态分布的对称性求解；（2）X 服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望.【小问 1 详解】因为零件尺寸服从正态分布2200,N.所以 21012100.1P zP z，因为 210 1902002，所以 1902100.1P zP z.【小问
25、 2 详解】依题意可得2,0.1XB，所以 201 0.10.81P X.1210.11 0.10.18P XC，220.10.01P X，所以 X 的分布列为X012P0 810.180.01所以 1 0.182 0.010.2E X （或 2 0.10.2E X ）18.已知 f(x)是定义在区间1，1上的奇函数，且 f(1)1，当 a，b1，1，ab0 时，有()()f af bab0 成立.（1）判断 f(x)在区间1，1上的单调性，并证明；（2）若 f(x)m22am1 对所有的 a1，1恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）m|m0，或 m2，或
26、m2【解析】【分析】（1）任取 x1，x21，1，且 x1x2，再根据题意分析 f(x1)f(x2)的正负即可；（2）由（1）有 f(x)1，再将题意转化为 m22am0 对所有的 a1，1恒成立，进而构造函数 g(a)2mam2，分类讨论分析即可【小问 1 详解】f(x)在区间1，1上单调递增.证明如下：任取 x1，x21，1，且 x1x2，则x21，1.f(x)为奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)121212f xfxxxxx.由已知条件得 12120f xfxxx.又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2).f(x)在区间1，1上单调递增.【小问 2
27、详解】f(1)1，f(x)在区间1，1上单调递增，在区间1，1上，f(x)1.f(x)m22am1 对所有的 a1，1恒成立，m22am11，即 m22am0 对所有的 a1，1恒成立.设 g(a)2mam2.若 m0，则 g(a)00，对 a1，1恒成立.若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)0，对 a1，1恒成立，必须有 g(1)0，且 g(1)0，m2 或 m2.综上所述，实数 m 的取值范围是m|m0，或 m2，或 m2.19.已知椭圆2222:1xyC ab（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，焦距为2，点3(3,)2在曲线C 上.（1）求C 的标准方程；（2）若0
28、00(,)(0)P xyy 是曲线C 上一点，Q为 y 轴上一点，22PFPQ.设直线l 与椭圆C交于 MN、两点，且满足 PMN 的内切圆的圆心落在直线0 xx上，求直线 MN 的斜率【答案】（1）22143xy（2）12【解析】【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点 P 坐标，然后可得直线,PM PN 的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得.【小问 1 详解】易知22c，223314ab，又222bac，所以224,3ab.所以22143xy；【小问 2 详解】因为22PFPQ，所以Q是2PF 的中点.结合QOx轴，所以1PFx轴，
29、所以 P(31,2).因为 PMN 的内切圆的圆心落在直线=1x 上，所以直线,PM PN 关于直线=1x 对称.所以,PM PN 的倾斜角互补，所以0PMPNkk显然直线l 的斜率存在，设l：ykxm，由22143ykxmxy得2224384120kxkmxm，由0 得2243mk.设11,M x y，22,N xy，则1228+43kmxxk，212241243mx xk，由PMPNkk11321yx+22321yx0，整理得1212322302kx xkmxxm，所以2483 420kkkmm，即21 2320kkm 若 232km 0，则32mk，所以直线 MN 的方程为3+12yk
30、x，此时，直线 MN 过 P 点，舍去.所以 21k 0，即12k .所以 MN 的斜率为1220.手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞现从小华的朋友圈内随机选取了 100 人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：02000200150005001800080011000010001 以上男58121213女10121369若某人一天的行走步数超过 8000 则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”（1）根据题意完成下面的 2 2 列联表，并据此判断能否有 95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；积极型懈怠型总计男女总计附：20
31、Px 0.1000.0500.0100.0050.0010 x2.7063.8416.6357.87910.82822()()()()()n adbcab cd ac bd，其中nabcd ；（2）在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取 8 人，再从中随机抽取 3人，求抽到女性“积极型”人数 X 的概率分布列和数学期望【答案】（1）表格见解析，有 95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列见解析，98【解析】【分析】（1）首先根据题意完成下面的 2 2 列联表，再计算2，即可得到答案.（2）利用超几何分布求解即可【小问 1 详解】2 2 列联表如下：积极型懈怠型总
32、计男252550女153550总计406010022100 25 3525 154.1673.84150 50 40 60有 95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关【小问 2 详解】100 人中男生“积极型”有 25 人，女生“积极型”有 15 人抽取比例为 53，抽取男生 5 人，女生 3 人，X 的所有可能取值为 0，1，2，335385028CP XC，12353815128C CP XC21353815256CCP XC，33381356CP XCX 的分布列如下X0123P52815281556156515151639012328285656568E X .21.在矩形 ABCD
33、中，22 2ADAB，点 E是线段 AD的中点，将ABE 沿 BE 折起到PBE位置（如图），点 F 是线段 CP 的中点（1）求证：DF平面 PBE：（2）若二面角 PBEC的大小为 2，求点 A 到平面 PCD 的距离【答案】（1）证明见解析；（2）4 1111.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.【小问 1 详解】设 PB 的中点为 G 点，连接 GF 和 GE，因为点 G、点 F 分别为 PB 和 PC 的中点，所以GFBC且12GFBC，又 DEBC且12DEBC，所以GFDE且GFDE，所以四边形 GFD
34、E 为平行四边形，所以 DFGE，又 GE平面 PBE，DF平面 PBE，所以 DF平面 PBE；【小问 2 详解】由二面角 PBEC的大小为 2 可知，平面 PBE 平面 ABCD，取 BE 得中点 O，连接 PO，则 POBE，PO 平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系，则0,0,0O，0,1,0,0,0,1,1,2,0,2,1,0APCD，所以1,2,1211PCPD ，设平面 PCD 的法向量为,nx y zr，则2020PC nxyzPD nxyz ，令1x 则1,1,3n ，又2,2,0AD ，所以点 A 到平面 PCD 的距离为4 1111141AD ndn.22.已知函数 l
35、nf xxaxa，且 0f x 对0 x 恒成立（1）求 a 的值；（2）若关于 x 的方程 e xmf xxm有两个实根，求实数m 的取值范围【答案】（1）1a；（2）1,0e【解析】【分析】（1）由题意1x 是极值点，由此求得a 并证明满足题意；（2）方程化为 elnxmxxx，证明ln xx，即ln0 xx，则有elnxxmxx，设 elnxxxmxx，由导数求得函数的单调性，函数的变化趋势后可得参数范围【详解】解：（1）因为 0f x，且 10f，故1x 是函数 f x 的极值点，因为 1fxax，所以 110fa，故1a，又因当1a 时，ln1f xxx ，且 11fxx，故 f x
36、 在0,1 上增函数，在1,上减函数，故 10f xf，故1a；（2）因为 e xmf xxm，则 elnxmxxx，设 lnh xxx，则 11h xx，故 h x 在0,1 上增函数，在1,上减函数，所以 110h xh ，ln xx，因为ln xx，所以elnxxmxx，设 elnxxxmxx，则 2e1ln1lnxxxxxm xx，因为ln xx，所以ln1xxx，故函数 m x 在0,1 上减函数，在1,上增函数，所以 11xemm，又当 x 无限增大或无限接近 0 时，m x 都趋近于 0，故 10em x，所以实数m 的取值范围是1,0e【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值，方程的根，解题关键是在于转化，方程根的个数用分离参数法转化为确定函数的性质（单调性，极值，变化趋势等）利用函数性质得出参数范围
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