1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评六十一圆锥曲线中的探究性问题1.已知椭圆C:+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线PF2斜率为k(k0),且PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当P为C的短轴顶点时,PF1F2的面积有最大值,所以 ,解得 ,故椭圆C的方程为:+=1.(2)设直线PQ的方程为
2、y=k(x-1),将y=k(x-1)代入+=1,得x2-8k2x+4k2-12=0;设P,Q,线段PQ的中点为N,x0=,y0=k=,即N,因为|TPTQ|,所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,所以TNPQ,则kTNkPQ=-1,即k=-1,所以t=,当k0时,因为4k+4(当且仅当k=时取等号),所以t,当kb0)的右焦点与抛物线E:y2=2px(p0)的焦点F重合,且点F到E的准线的距离为2.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与C交于M,N两点,与E交于A,B两点,且=-4(O为坐标原点),求MNF面积的最大值.【解析】(1)因为点F到E的准线的距离为2,所以p=2,F(1,0),由 解
3、得 所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=4x. 要使直线l与抛物线E交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,由 得y2-4my-4n=0 所以=(-4m)2+16n0,得m2+n0.设A,B 则 所以x1x2=n2,因为=-4,所以x1x2+y1y2=-4,所以n2-4n=-4,所以n=2, 所以直线l的方程为x=my+2,所以直线l过椭圆C的右顶点(2,0),不妨设M(2,0),N(x3,y3),-y3,且y30, 所以SMNF=|MF|y3|,当且仅当y3=时,(SMNF)max=.2.(2020杭州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0)
4、,F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.(1)求椭圆的方程.(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),由焦点坐标可得c=1.由|PQ|=3,可得=3.又a2-b2=1,得a=2,b=.故椭圆方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令y10,y20,所以f(t)在1,+)上单调递增,有f(t)f(1)=4,=3,当t=1,m=0时,=3,又=4R,所以Rmax=,这时所求内切圆面积的最大值为.故F1MN内切圆面积的最大值为,且此时直线l的方程为x=1.关闭Word文档返回原板块
