1、第2课时柱体、锥体、台体的体积课时过关能力提升一、基础巩固1.已知圆台OO的上、下底面半径分别为2和4,高为9,则圆台OO的体积是()A.84B.60C.54D.40解析:V=13(22+24+42)9=84.答案:A2.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为()A.14B.12C.36D.34解析:因为三棱锥B1-ABC的高h=3,底面面积S=SABC=3412=34,所以VB1-ABC=13Sh=13343=34.答案:D3.若将半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为()A.33B.3C.53D.5解析:设卷成圆锥的底面半径为
2、r,母线长为l,则l=2,2r=2,所以r=1,卷成圆锥的体积V=13r2h=131222-12=33,故选A.答案:A4.已知一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12,则它的体积缩小为原来的()A.12B.14C.18D.24解析:设原三棱锥和缩小后的三棱锥的底面积分别为S和S,高分别为h和h,体积分别为V和V.由已知得S=14S,h=12h,V=13Sh=1318Sh=18V.答案:C5.已知一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A.233B.476C.6D.7解析:由三视图知该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则V=V正方体-2V锥体=8-21312111=2
3、33.答案:A6.已知圆锥SO的高为4,体积为4,则底面半径r=.解析:设底面半径为r,则13r24=4,解得r=3,即底面半径为3.答案:37.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.解析:由三视图可知,四棱柱的高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=12(1+2)1=32,故四棱柱的体积V=Sh=32.答案:328.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩余部分的体积是.解析:两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=r2(a+b),所以所求几何体的体积为r2(a+b)2.答案:r2(a+b)29
4、.已知某圆台的上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,则这个圆台的体积是.解析:设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底=r2=,S下底=R2=4,r=1,R=2,S侧=(r+R)l=6,l=2,h=3,V=13(12+22+12)3=733.答案:73310.如图,已知四棱台的两底面均为正方形,且边长分别为20 cm和10 cm,侧面积为780 cm2,求其体积.解:如图,取A1B1的中点E1,AB的中点E,上、下底面的中心O1,O,则E1E为斜高,四边形EOO1E1为直角梯形.S侧=41210+20E E1=780,E E1=13 cm.在直角梯形EOO1E1中,O1
5、E1=12A1B1=5 cm,OE=12AB=10 cm,O1O=132-(10-5)2=12(cm).故该四棱台的体积为V=1312(102+202+1020)=2 800(cm3).二、能力提升1.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是()A.332+3225B.33+3225C.93+3225D.93+12825解析:该螺栓的上部是圆柱,下部是六棱柱,圆柱的底面半径为0.8,高为2,则圆柱的体积是0.822=3225,六棱柱的体积是6342232=93,故螺栓的体积是93+3225.答案:C2.在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120.若将ABC绕直线
6、BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A.6B.5C.4D.3解析:如图,所形成的几何体是从一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60=232=3,小圆锥的高BD=ABcos 60=212=1,大圆锥的高CD=BD+BC=1+3=4,故所形成的几何体的体积是13(3) 24-13(3) 21=3.答案:D3.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体水平放置时,液面高度为20 cm(轴截面如图),当这个几何体倒立放置时,液面高度为28 cm(轴截面如图),则这个几何体的总高度为
7、()A.29 cmB.30 cmC.32 cmD.48 cm解析:在题图和题图中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个几何体的总高度为h cm,则有12(h-20)=32(h-28),解得h=29.答案:A4.如图,在三棱柱ABC-ABC中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-ACB的体积)、V2的两部分,则V1V2=.解析:设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以SAEF=14S,所以V1=13hS+14S+SS4=712Sh,V2=V-V1=512Sh.所以V1V2=75.答案:7
8、55.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是33,则a=_.解析:由三视图可以推断,该几何体是放倒的三棱柱,其底面是底边为2的等腰三角形(底边上的高为a),高为3.由题意知,V=122a3=33,所以a=3.答案:36.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.解析:由三视图知四棱锥的高为3 m,底面平行四边形的底为2 m,高为1 m,因此该四棱锥的体积为V=13(21)3=2(m3).故答案为2.答案:27.降水量是指水平平面上单位面积降水的深度,现用上口直径为38 cm、底面直径为24 cm、深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示
9、)来测量降水量.如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的17,求本次降雨的降水量是多少毫米?(精确到1 mm)解:因为这次降雨的雨水正好是桶深的17,所以水深为1735=5(cm).如图,设水面半径为 r cm,在ABC中,ACAC=CBCB,所以7r-12=7,r=13.所以V水=13(122+122132+132)5=2 3453(cm3).水桶的上口面积是S=192=361(cm2),所以V水S=2 34533611022 (mm).故此次降雨的降水量约是22 mm.8.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形、高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD,如图所示,则AB=8,BC=6,高VO=4.(1)V=13(86)4=64.(2)四棱锥的侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形.在VBC中,BC边上的高h1=VO2+AB22=42+822=42.在VAB中,AB边上的高h2=VO2+BC22=42+622=5.所以此几何体的侧面积S=212642+1285=40+242.