1、20142015学年度吉林一中“教与学”质量检测1高三数学试题(理科)(答题时间120分钟，满分150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知集合，则集合A B C D2已知向量，若，则等于 A BCD3 若命题：，则：A B C D4两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为Aa km B.a kmC2a km D.a km5某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为Ak5? Bk4? Ck7? Dk6? 6过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为A或 B C 或 D或7. 若，若的
2、最大值为，则的值是A B C D8函数，若，则下列不等式一定成立的是A B C D9已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A BC D10已知等比数列的公比且，又，则ABC D11已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率A B CD 12已知函数，其导函数为的单调减区间是； 的极小值是；当时，对任意的且，恒有函数有且只有一个零点其中真命题的个数为 A1个B2个C3个D4个二、填空题(每小题5分，共20分)13设 (其中e为自然对数的底数)，则的值为 _ 14在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为_.15设是不
3、等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为 16已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是 _三、解答题17(本小题满分10分)已知是函数图象的一条对称轴（）求的值；（）化简的解析式，并作出函数在上的图象简图（不要求写作图过程） 18(本小题满分12分)已知等差数列的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，（）求数列的通项公式；（）若数列的前n项和为，求证：19(本小题满分12分)在中，内角、所对的边分别为，其外接圆半径为6， ，（）求； （）求的面积的最大值20(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切（）求圆的方程；（）若已知点，过点作圆的
4、切线，求切线的方程21(本小题满分12分)已知函数的图象在点处的切线方程为.（）用表示出，； （）若在上恒成立，求的取值范围22(本小题满分12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交于，两点.（）求椭圆方程；（）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（）记与的面积分别为和，求的最大值.数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题1 D； 2 D；3 A；4 D； 5 B；6 D ；7. A；8 A ；9 C ；10 A ；11A ；12 C 二、填空题13；14 ；15 5 ；16（2,3） 三、解答题17 (本小题满分10分)解：（I）方法1：， 2分是函数图象一条对称
5、轴， 4分即，； 6分方法2：，最值是， 2分 是函数图象的一条对称轴， 4分 ， 整理得，； 6分（II） 7分在上的图象简图如下图所示 10分18(本小题满分12分)解：()由已知， 2分又成等比数列，由且可解得， 4分，故数列的通项公式为； 6分()证明：由()， 7分， 9分显然， 12分19(本小题满分12分)()解： ， 3分，6分() ，即. 又. 8分. 10分 而时，. 12分20(本小题满分12分)解：()设圆的方程为x2y2r2， 1分由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r2，3分圆的方程是x2y24； 4分() |OP|2，点P在圆外显然，斜率不存在时，直线与圆相离
6、6分故可设所求切线方程为y2k(x3)， 即kxy23k0. 8分又圆心为O(0,0)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|3k2|2, 9分k或k0， 11分故所求切线方程为12x5y260或y20 12分21(本小题满分12分) 解： ()， 1分由题设，则有， 3分解得. 4分 ()由()知，令， 则 ， 5分 7分当 ， 若 ，则，是减函数，所以，当时，有， 即，故在上不能恒成立 9分当时，有 若，则，在上为增函数所以，当时， 即，故当时， 11分 综上所述，所求的取值范围为12分22(本小题满分12分)解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又 所以所以椭圆方程为3分（）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到5分所以 所以 6分（）当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等， 7分 当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且 8分此时 10分因为,上式，（时等号成立） 所以的最大值为 12分另解：（）设直线的方程为：，则由 得，设，则， 8分所以， 10分当时，由，得 当时，从而，当时，取得最大值12分- 9 -
