1、数学高考资源网 数学能力训练（76）高考资源网【例1】是不共线的两个向量,已知若三点共线,求值.【思路分析】由于三点共线,因此必存在实数,使,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于的方程,从而求.解:略=-1.【点评】用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.【例2】证明三角形三条高线交于一点.0AxyPCB【思路分析】此题可利用“形”、“数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受.证明：如图建立直角坐标系，设 所以是上的高，故的三条高交于一点.【点评】本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题.【例3】已知向量满足
2、条件,求证:是正三角形.【思路分析】观察条件中的两个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图1.又据条件易知O为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图2.也可联想三角知识进行坐标选取.如使得选取具有任意性.且巧妙运用了三角变形.证明为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法.P3P2OP1证法一：如图1略.P1PP3P2O图1证法2如图2略. 证法三：据|=，令由得 可求得|=，所以为正三角形.证法四：设由已知得|=，所以为正三角形。证法五：同证法四求得，于是=所以，由此可证为正三角形.【点评】以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.【例4】如图，已知点 是的重心，求;若过的重心，且求证：AMBQOPG【思路分析】充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知向量表示即可.解：显然 因为是的重心，所以=由、三点共线,有共线,所以,有且只有一个实数, 而=-=,所以=.又因为、不共线,所以,消去,整理得3=,故.【点评】建立与的关系关键是由三点共线得出.为此要熟练运用已知向量表示未知向量.高考资源网高考资源网答案高考资源网
