1、第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个平面与圆柱面轴的夹角为75,则该平面与圆柱面的交线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B2.下列轨迹不是圆锥曲线的是()A.平面上到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹B.平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于定长(定长小于两定点间的距离)的点的轨迹C.平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹D.到角的两边距离相等的点的轨迹解析:选项A,B,C分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线,选项D描述的是角平分线.答案
2、:D3.用一个平面截一个圆柱面,其交线是()A.圆B.椭圆C.两条平行线段D.以上都有可能解析:当截面与轴平行时,交线是两条平行线段;当截面与轴垂直时,交线是圆;当截面与轴相交且不垂直时,交线是椭圆.答案:D4. 如图所示,圆柱形玻璃杯中的水面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.33 B.12C.22 D.32解析:设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意得sin 60=2b2a=32,即b=32a,即b2=34a2.则c2=a2-b2=14a2.所以该椭圆的离心率e=12.故选B.答案:B5.方程x2-3x+2=0的两根可作为()A.两个椭圆的离心率B.一个双曲线、一条抛物线
3、的离心率C.两个双曲线的离心率D.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,由椭圆0e1,抛物线e=1可知,应选B.答案:B6.如图所示,球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切,用一平面去截圆柱和球,得到的截面图有可能是()A.B.C.D.解析:当平面与AB垂直且过AB中点时,截得的图形是图;当平面与AB垂直不过AB中点时,截得的图形是两个同心圆,为图;当平面经过轴AB时,截得的图形是图;当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时,截得的图形是图.故有可能的图形是.答案:D7.P,Q是直线l上的两点,球O的半径r=3,且OP=OQ=3,POQ=60,则直线l与球O
4、的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析:过球心O作OMl于点M(图略),则在等边三角形OPQ中,OM=32.OM30,故交线是椭圆.答案:椭圆三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作长轴的垂线交椭圆于点P,PF1F2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.解设椭圆长轴长为2a,焦距为2c.PF1F2是等腰直角三角形,PF2=F1F2=2c,PF1=22c.由椭圆的定义,得PF1+PF2=2a,e=2c2a=2c2c+22c=11+2=2-1.即椭圆的离心率为2-1.18.(本小
5、题满分12分)如图所示,动圆M经过定点F,且与定直线l相切,试判断动圆M的圆心M的轨迹.若轨迹是圆锥曲线,再求其离心率.解如图所示,连接MF,设动圆M与l的切点为A,连接MA,则MAl.因为l与动圆M相切,所以MF=MA,即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等.所以动点M的轨迹是以点F为焦点,以l为准线的抛物线,其离心率e=1.19.(本小题满分12分)双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P到右焦点F2的距离为4,双曲线的实轴长2a=16,虚轴长2b=12,求点P到双曲线左准线的距离.解由题意知|PF1-PF2|=16.PF2=4,|PF1-4|=16,PF1=20或PF1
6、=-12(舍去).设点P到左准线的距离为d,则PF1d=e. a=8,b=6,c=10,e=108=54.d=PF1e=2054=16,即点P到双曲线左准线的距离为16.20.(本小题满分12分)如图所示,圆柱被平面所截.已知AC是圆柱上底面在平面上最长的投影线,BD是最短的投影线,EG=FH,EFAB,垂足在圆柱的轴上,EG和FH都是投影线,分别与平面交于点G,H.(1)比较EF,GH的大小;(2)若圆柱的底面半径为r,平面与母线的夹角为,求CD的长.解(1)EG和FH都是投影线,EGFH.又EG=FH,四边形EFHG是平行四边形,EF=GH.(2)如图所示,过点D作DPAC于点P.则在Rt
7、CDP中,有sinDCP=DPCD,又DCP=,DP=2r,CD=2rsin.21.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点F,准线l,设点F到l的距离EF=p(p0),一定点A(位于抛物线内部)到直线EF的距离也为p,在抛物线上找一点B,使点B到点A,F的距离之和最小,求此时BEF的面积.解如图所示,过点B作准线l的垂线,垂足为C.由抛物线定义,知BC=BF,欲使BA+BF最小,只要AB+BC最小即可.而当A,B,C三点共线时,AB+BC最小,此时,直线ABEF.因为点A到直线EF的距离也为p,所以点B到直线EF的距离也为p.此时SBEF=12pp=12p2.22.(本小题满分12分)如图所示,
8、已知圆锥母线与轴的夹角为,平面与轴线夹角为,Dandelin球的半径分别为R,r,且r,求平面与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.分析由知平面与圆锥面的交线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.解如图所示,连接O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O.在RtO1F1O中,OF1=O1F1tanO1OF1=rtan.在RtO2F2O中,OF2=O2F2tanO2OF2=Rtan.则F1F2=OF1+OF2=R+rtan.同理,O1O2=R+rsin.连接O1A1,O2A2,过点O1作O1HO2A2.在RtO1O2H中,O1H=O1O2cos =R+rsincos .又O1H=A1A2,由切线长定理,容易验证G1G2=A1A2,故G1G2=R+rsincos .