1、金陵中学20222023学年第一学期期中考试高一数学试卷2022.11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，且，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据即可求解参数【详解】集合，且，故选：B2. 已知命题p：，则命题p的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题p：，是全称量词命题，所以命题p的否定为，故选：D3. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
2、C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.【详解】解：函数在区间上单调递增，当时不符题意，当，即时，为单调减函数，不合题意；故，且，所以，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件故选：A4. 设函数，其中a，b为常数，若，则（ ）A. B. C. 2028D. 4041【答案】D【解析】【分析】构造，根据奇偶性即可求解.【详解】令，则是奇函数，故，所以,所以，故选:D5. 已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据作差法即可比较大小.【详解】解：由，所以
3、由，得所以，因此故选：C6. 在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数，当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径，假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到N个新人（），这N人中有V个人接种过疫苗（为接种率），那么1个感染者可传染的平均新感染人数已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的平均新感染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）A. 90%B. 80%C. 70%D. 60%【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得出关于的不
4、等式，解之即可得出结果.【详解】因为，由题意，解得，故选：D7. 设函数若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围.【详解】当时，对称轴为，当，即时，此时存在，使得，满足题意；当，即时，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，要想存在，且，使得，则，解得：，与取交集得：综上：的取值范圃为.故选：A8. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】由韦达定理结合基本不等式即可求解.【详解】有一根为
5、，故若，恒成立，则有一根为，由韦达定理知，另一根，所以，即，当且仅当 即取等号,所以的最小值是.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设，若，则实数a的值可以是（ ）A. 0B. C. 4D. 1【答案】ABD【解析】【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a.【详解】，因为，所以，所以或或或，若，则；若，则；若，则；若，无解故选：ABD10. 设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的值域为B. C. 是偶函数
6、D. 是单调函数【答案】BC【解析】【分析】由分段函数的定义作出判断AB，由偶函数的定义可判断C，由，可知函数不是单调函数.【详解】的值域为，A错误；，所以B正确；定义域关于数0对称，当时，则；当时，则，所以是偶函数，所以C正确；，所以不是单调函数，所以D错误故选：BC11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）A. B. 不等式的解集为C. 不等式的解集为D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题意可得，且，然后对选项逐一判断即可.【详解】关于x的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确；因为是方程的根，所以，解得，所以 也即，解得，故选项B错误；不
7、等式等价于，也即，解得或，故选项C正确，因为或，所以，故选项D错误，故选:AC12. 图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据的奇偶性，以及分分别根据定义域以及图象的变化趋势即可求解.【详解】由，所以是奇函数，故排除A,当时，经过坐标原点，且当值越来越大时，的值越来越小，最终趋向于0，此时B符合，当时，此时D满足当时，不经过坐标原点，当值越来越大时，的值越来越小，最终趋向于0，此时C不符合，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数则的值为_【答案】12【解析】【分析】根据解析式，由内而外，逐步计算，即可得结果【详解】因为，所以，
8、所以，故答案为：1214. 不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可求解.【详解】，解得故答案为：15. 若正实数a满足，则a的值为_【答案】1000【解析】【分析】由题意可得，再根据对数运算性质即可得出答案.【详解】解：因为正数a满足，所以，即，所以，解得.故答案为：1000.16. 已知函数，若，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】判断出偶函数，且在上单调递增，然后可得，解出即可【详解】因为的定义域为，又所以是偶函数，且在上单调递增，由于，即，所以，即，解得故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.
9、 （1）计算：；（2）已知且，求的值【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】(1)利用对数运算法则以及换底公式即可求解；(2)结合已知条件求出，然后代入即可求解.【详解】（1）（2）因为，所以，18. 设集合，或，全集（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数b的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据，可得，解之即可；（2）由，可得，列出不等式组，解之即可.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以a的取值范围是；【小问2详解】解：，因为，所以，所以，解得，所以b的取值范围是19. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为（1）求函数的解析式；（2）画
10、出函数在区间上的图象【答案】（1） （2）作图见解析【解析】【分析】（1）分、三种情况讨论，分别求出函数的解析式，再写出分段函数形式；（2）由（1）中解析式得到函数图象.【小问1详解】解：当时，；当时，；当时，所以【小问2详解】解：由（1）可得函数图象如下所示：20. 已知定义域为的奇函数满足：当时，（1）当时，求函数的解析式；（2）指出在区间上的单调性，并证明【答案】（1）； （2）在区间上单调递增，证明见解析.【解析】【分析】(1)奇函数若x=0时有意义，则f(0)=0；x0，利用x0时f(x)解析式可求x0时解析式；(2)根据单调性的定义即可判断并证明【小问1详解】，当时，又，综上，当时
11、，；【小问2详解】在区间上单调递增，证明如下：任取，且，即，在区间上单调递增21. 已知函数，a为常数（1）若，解关于x的不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）答案见解析； （2）【解析】【分析】(1)化简不等式，结合二次函数与二次不等式的关系即可求解该不等式；(2)将参变分离，将问题转化为求解即可【小问1详解】，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为综上所述，当时的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为【小问2详解】对任意，令，则，当且仅当，即，时取“”，故实数a的取值范围为22. 设函数的定义域为D，若存在区间，使得，则称区间为函数的“H区间”（1）
12、写出函数所有的“H区间”；（2）若为函数的一个“H区间”，求m的值；（3）求函数的“H区间”【答案】（1），和 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据题意可知a，b是方程的根，且，从而可求出的值，从而可求出“H区间”；（2）分，两种情况结合“H区间”求解即可；（3）根据“H区间”的定义分，两种情况求解即可.【小问1详解】函数是上的递增函数，则，所以a，b是方程的根，且，解得，或，或，故函数所有“H区间”为，和【小问2详解】当时，在上单调递减，所以，解得；当时，不可能综上，【小问3详解】设“H区间”为，由“H区间”定义知：，所以或，所以，又，所以，当时，在区间上单调递减，所以即由得：，因为，所以，又因为，所以，当且仅当，时取“=”此时，舍去；当时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以函数的“H区间”为.
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