1、上海市浦东新区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题（每题3分）1.写出方程组的增广矩阵_【答案】【解析】【分析】由方程组增广矩阵的定义直接得到答案.【详解】解:方程组的增广矩阵为.故答案为:【点睛】本题考查方程组的增广矩阵,直接按照定义求解即可,要注意区分增广矩阵和系数矩阵.2.已知,则|_【答案】5【解析】【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】解:因为,故答案为:5【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.3._【答案】1【解析】【分析】在的分子分母上同时除以,可得,即可求极限.【详解】解: 故答案为:1【点睛】本题主要考
2、查了定义法求极限的解,解题的关键是在分式的分子分母上同时除以,属于基础试题.4.直线的倾斜角为,则m的值是_【答案】1【解析】【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得值.【详解】解：直线的倾斜角为.所以该直线的斜率为,所以,解得：.故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.5.已知点,则线段的垂直平分线的方程是_【答案】【解析】【分析】先求出的中点的坐标,再求出直线的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程.【详解】解:设的坐标为，则,所以.因为直线的斜率为,所以线段垂直平分线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为化简得
3、.故答案为：【点睛】本题考查求线段的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出的中点的坐标利用与的坐标求出直线的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率根据的坐标和求出的斜率写出的垂直平分线的方程即可.6.直线的一个方向向量，则与的夹角大小为_.（用反三角函数表示）【答案】【解析】【分析】求出的方向向量，直接利用夹角公式求解即可.【详解】的方向向量为，夹角满足，夹角为，故答案为.【点睛】平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求
4、向量 的模（平方后需求）.7.向量,若、三点共线,则_【答案】11【解析】分析】依题意求出,利用向量共线得到向量坐标的关系式,然后解方程得到参数的值.【详解】解:因为,所以,因为、三点共线,则,解得.故答案为:11【点睛】本题主要是考查了向量的共线的运用.向量共线,且有一个公共点时，则可以证明三点共线这个方法很重要.8.无穷等比数列各项和的值为2公比,则首项的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为2,得且,从而可得的范围.【详解】解:由题意可得,所以且,又因为,所以,所以,则.故答案为:【点睛】本题主要考查了等比数列的各项和,而无穷等比数列的各项和是指当且时前项和的极限,
5、解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前项和的极限存在则可得且,这也是考生常会漏掉的知识点.9.已知点,点的坐标 满足,则点与点距离的最小值为_【答案】【解析】【分析】先将转化为直线,再求点到直线的距离即可.【详解】解: 点的坐标 满足,则点在直线上,则点与点距离的最小值即为点到直线的距离:,故点与点距离的最小值为.故答案为: 【点睛】本题考查二阶行列式运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.10.已知,点为曲线上一个动点,为原点,则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意知,且,则,即可得出,得出 的取值范围.【详解】解:因为点为曲线上一个动点,所以,且,则,.,因为,则.,故 的取值
6、范围是.故答案为: 【点睛】本题主要考查平面向量的应用,考查平面向量数量积的运算,是基础题.11.已知满足,则为_【答案】【解析】【分析】将两边平方得: ,结合向量的数量积公式的逆应用,可得出的大小.【详解】解: 两边平方得:,所以所以.故答案为: 【点睛】本题考查向量夹角的运算,考查向量的数量积公式的逆应用,属于基础题.12.若实数满足,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】依题意,本题求圆上的点到点的距离的取值范围,先求出圆心到点,从而可得出圆上的点到点的最小距离和最大距离,进而得出取值范围.【详解】解: ,即求圆上的点到点的距离的取值范围.圆心 到点的距离为:,则圆上的点到点的最小距离
7、为,最大距离为.实数满足,则的取值范围为:故答案为: 【点睛】本题考查点到圆的最大最小距离,考查两点间的距离公式,是基础题.二、选择题（每题3分）13.直线与直线的位置关系是（）A. 相交B. 重合C. 平行D. 垂直【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般方程满足,则两直线平行.【详解】解: 直线与直线,满足,故直线与直线平行.故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足,则两直线平行.14.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点坐标，利用点到两坐标轴距离相等建立方程即可得到到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程【详解】解:设点的
8、坐标为,因为点到两坐标轴距离相等,所以,即.故到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是.故选:A.【点睛】本题考查轨迹方程,求轨迹方程的方法为:建立平面直角坐标系,设所求的点的坐标,找限制条件,代入限制条件,化简即可得到轨迹方程,可简记为:建设限代化.15.已知数列满,则（）A. 1B. 0C. 1或0D. 不存在【答案】B【解析】【分析】分别讨论时,和当时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案.【详解】解:因为数列满,当时, 当时, 当为奇数时,当为偶数时,综上所述,.故选:B【点睛】本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题.16.已知中,当每个 取遍时
9、, 的取值不可能是（）A. 0B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】将,分别取,逐一代入,结合,即可得出答案.【详解】解:当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,综上所述, 的取值不可能是1.故选:B【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的模的求法,属于基础题.三、简答题（8+10+10+12+12）17.已知二元一次方程组无解，求k的值：【答案】【解析】【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组无解,则与平行,由，解得：经过验证满足题意时方程组无解【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.18
10、.等差数列中,若,（1）求等差数列的通项公式和前项和（2）求【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得公差，由公式得出通项公式再根据前项和公式得出（2）根据（1）可得对分子分母同时除以 得即可得极限.【详解】解:（1）设等差数列的公差为d,，（2）由（1）知，【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式,求数列极限问题,是中档题.19.已知三个顶点分别为,（1）求边上的中线所在直线的一般式方程（2）求的面积【答案】（1）;（2）7【解析】【分析】（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.【详解】解:
11、（1）因为,则边上的中点：.可得中线所在直线的一般式方程：化简得：故边上的中线所在直线的一般式方程为.（2）,直线的方程为：,化为：点到直线的距离的面积.【点睛】本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.20.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中.（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）将向量用向量和表达，由三点共线，即可得到和的关系（2）由三角形面积公式，由（1）可知，由消元法，转化为的函数求最值即可试
12、题解析：（1）如图延长交与，是正三角形的中心为的中点，则有三点共线故（2）是边长为1的正三角形，由，即设则,易知在为减函数，在为增函数，即，时，取得最小值，即取得最小值又f（t）取得最大值是，则取得最大值，此时或考点：向量的实际应用，函数的最值【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法属中档题解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题，其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法，要注意构造新函数时定义域的问题21.已知直线与圆心为坐标原点的圆相切（1）求圆的方程;（2）过点的直线与圆交于 两点,若弦长,求直线的斜率的值;（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,
13、且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由【答案】（1）;（2）或;（3）共线,理由详见解析【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程（2）设直线的斜率为,得出点斜式方程,再求圆心到直线的距离,根据公式即可求出直线的斜率.（3）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,设,则,联立,得一元二次方程标代入方程可得, ,所以,得出结论.【详解】解（1）直线与圆心为坐标原点的圆相切圆半径,圆的方程为（2）设直线的斜率为则直线的方程为 ,即,圆心到直线的距离为,弦长,解得或（3）向量和共线,理由如下：由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,则,由,得.点的横坐标一定是该方程的解,故可得同理可得,向量和共线【点睛】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线平行的证明,是综合题.