1、5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第2课时)复习导入 以公式()为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.()=.()()=.()()=.()新知探索 思考1：试利用公式()，()，()推导出 2，2，2的公式？2=(+)=+=2 ；2=(+)=2 2；2=(+)=+1=212.=，=，=.()()()新知探索 思考2：如果要求二倍角的余弦公式(2)仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：=.证明：因为2+2=1，所以 2=2 2=(1 2)2=1 22；2=2 2=2 (1 2)=22 1.以上这些公式都叫做倍角公式.倍角
2、公式给出了的三角函数与2的三角函数之间的关系.例析 例5.已知 2=513，4 2，求 4，4，4的值.解：由4 2，得2 2 .又 2=513，所以 2=1 (513)2=1213.于是 4=2 (2)=2 2 2=2 513 (1213)=120169；4=2 (2)=1 222=1 2 (513)2=119169;4=4 4=120169119169=120119.例析 例6.在中，=45，=2，求(2+2)的值.解法1：在中，由 =45，0 ，得 =1 2=1 (45)2=35，所以 =35 54=34，2=2 12=2341(34)2=247.又 =2，所以 2=2 12=221(2
3、)2=43.于是(2+2)=2+21 2 2=247 431247(43)=44117.例析 例6.在中，=45，=2，求(2+2)的值.解法2：在中，由 =45，0 ，得 =1 2=1 (45)2=35，所以 =35 54=34.又 =2，所以(+)=+1 =34+21342=112，所以(2+2)=2(+)=2(+)12(+)=2(112)1(112)2=44117.练习 例1.化简求值：(1)4 2 4 2；(2)24 24 12；解：(1)原式=(2 2+2 2)(2 2 2 2)=(2 2+2 2)=.(2)原式=12(224 24)12=12 12 12=14(212 12)=14
4、 6=18.题型一：给角求值 练习 例1.化简求值：(3)1 22750；(4)150+1321502150.解：(3)原式=(2 750)=1500=(4 360+60)=60=12.(4)原式=22150+1321502150=121502150=1(2150)=1300=1(36060)=160=33.题型一：给角求值 练习 变1.化简求值：(1)12 12；(2)212012120；(3)110 310；(4)204080.解：(1)原式=12 6=12 12=14.(2)原式=240=(180+60)=60=3.(3)原式=10 3101010=2(1210 32 10)1010=4
5、(30103010)21010=4(3010)20=42020=4.(4)原式=820204080820=4404080820=28080820=160820=(18020)820=20820=18.练习 方法技巧：对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、运用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数值相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.练习 例2.已知(3)=3(6)，则2=_.答案：4 3.解：由于(3
6、)=3(6)，12 32 =3 32 32 ，整理得：3 =2，=，则2=2 12=4 3.题型二：条件求值 练习 变2.已知(4)=513，0 4，求 2(4+)的值.解：(4 )+(4+)=2，(4+)=(4 )=513.又 2=(2 2)=2(4 )=2(4 )(4 )，2(4+)=2(4)(4)(4+)=2(4+)=2 1 2(4+)=2 1213=2413.练习 方法技巧：解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明确化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结
7、论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值.2=(2 2)=2(4 )(4 ).类似的变换还有：2=(2+2)=2(4+)(4+)，2=(2 2)=22(4 )1，2=(2+2)=1 22(4+)等.练习 例3.(1)化简：22 (1+2)；(2)求证：34 2+43+4 2+4=4.解：(1)原式=22 (1+2 2)=22 2+2 2=22 2 2=.(2)证明：左边=34 2+24213+4 2+2421=(1 21+2)2=(2222)2=(2)2=4=右边.34 2+43+4 2+4=4.题型三：利用倍角公式解化简与证明问题 练习 变3.求证：(1)2(+)2()=22；(2)1+1+1+
8、1+=2 .证明：(1)左边=1+(2+2)21(22)2=(2+2)+(22)2=(22 22+22+22)=22=右边，等式成立.(2)原式=2 2(2+2)2 2(2+2)+2 2(2+2)2 2(2+2)=2 2+2 2=1 2 2=2 .练习 方法技巧：证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两边的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低、复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.课堂小结&作业 课堂小结：(1)理解记忆两倍角公式及其变形；(2)了解两倍角公式的推导过程.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P223的练习15题.