1、南京市2020-2021学年第二学期六校联合体期末调研试题高二数学一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1已知i是虚数单位，则复数z所对应的点所在的象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表相关系数甲乙丙丁r0.920.780.690.887则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性? ( )A甲 B乙 C丙 D丁3设xR，则“x2x0”是“|x1|1”的 ( )A充分不必要条
2、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4(4x)n(nN*)展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为( )A6 B10 C15 D205已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是 ( )Ax，y，z Bx，y，zCx，y，z Dx，y，z6用数字0，1，2，34，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A144个 B120个 C96个 D72个7若曲线f(x)lnxx在点(x0，f(x0)处的切线方程为ykxb，则kb的最小值为(
3、 )A1 B C D18已知双曲线C：4y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y110和l2：x1的距离之和的最小值为 ( )A1 B2 C3 D4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9下列说法正确的有 ( ) A若随机变量XN(1，2)，P(X4)0.79，则P(X2)0.21 B若随机变量XB(10，)，则方差D(3X2)22C从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D
4、已如随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3)，则P(X2)10设复数z1，z2满足到z1z20则下列结论正确的是 ( )A |z1|z2| Bz2C若z1(2i)3i，则z1z22i D若|z1(1i)|1则1|z2|311已知函数f(x)xsinx，下列说法正确的是 ( )A函数f(x)在(0，)上不单调 B函数f(x)在(，)内有两个极值点C函数f(x)在2，2内有4个零点D函数g(x)在区间(1，上的最小值为：12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( ) A
5、若PD平面MAC，则M为PB的中点B若M为PB的中点，则三棱锥MPAC的体积为C锐二面角BPDA的大小为D若4，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为PMABEDC三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分请把答案填写在答题卡相应位置上)13点A是椭圆C1：与双曲线C2：的一个交点，点F1，F2是椭圆C1的两个交点，则|AF1|AF2| 14为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方
6、法共有 种(用数字作答)15已知(2mx)(1)3的展开式中的常数项为8，则实数m 16购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元已知该保险每一份保单需要赔付的概率为10，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 (保留两位有效数字)；一年度内盈利的期望为 万元(参考数据：(110)0.37)四、解答题(本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区城内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个
7、城市的销售量x，y的数据如下：东部城市A东部城市B东部城市C西部城市D西部城市Ex4050602030y1101802103070(1)根据上述数据补全下列22联表：(2)判断是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关参考公式：K2，其中nabcd临界值表：P(K2k0)0.150.010.050.0250.0100.0050.001k02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82822列联表：东部城市西部城市总计甲50乙600总计65080018已知函数f(x)x3x2ax1(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)当a2时，若函数f(x
8、)在区间a，2上单调递增，求实数a的取值范围19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上(1)若2，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；A1(2)若N是CC1的中点，直线A1B与平面PMN所成角的正弦值为，求线段BP的长度C1B1PNACBM20某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的
9、概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用甲、乙两人通过各个环节相互独立(1)求乙未能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘过程中通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；(3)若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职21在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为(1)求椭圆C的方程：(2)设直线l与交C于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由22已知函数f(x)a
10、lnxxa(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x21南京市2020-2021学年第二学期六校联合体期末调研试题高二数学 解析版一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1已知i是虚数单位，则复数z所对应的点所在的象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【考点】复数的运算、复数的几何意义2甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表相关系数甲乙丙丁r
11、0.920.780.690.887则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性? ( )A甲 B乙 C丙 D丁【答案】A【考点】线性回归分析3设xR，则“x2x0”是“|x1|1”的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【考点】逻辑用语中条件的判断4(4x)n(nN*)展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为( )A6 B10 C15 D20【答案】B【考点】二项式定理展开式的应用5已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的
12、值分别是 ( )Ax，y，z Bx，y，zCx，y，z Dx，y，z【答案】C【考点】空间向量基本定理的应用6用数字0，1，2，34，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A144个 B120个 C96个 D72个【答案】B【考点】排列组合7若曲线f(x)lnxx在点(x0，f(x0)处的切线方程为ykxb，则kb的最小值为( )A1 B C D1【答案】D【考点】函数的切线方程、导数的几何意义8已知双曲线C：4y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y110和l2：x1的距
13、离之和的最小值为 ( )A1 B2 C3 D4【答案】C【考点】圆锥曲线中双曲线与抛物线的几何性质综合应用二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9下列说法正确的有 ( ) A若随机变量XN(1，2)，P(X4)0.79，则P(X2)0.21 B若随机变量XB(10，)，则方差D(3X2)22C从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D已如随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3)，则P(X2)【答案】AD【考点】随机事件的概率问题：正态分布、二项分布、概率求解10设复
14、数z1，z2满足到z1z20则下列结论正确的是 ( )A |z1|z2| Bz2C若z1(2i)3i，则z1z22i D若|z1(1i)|1则1|z2|3【答案】ACD【考点】复数的综合应用11已知函数f(x)xsinx，下列说法正确的是 ( )A函数f(x)在(0，)上不单调 B函数f(x)在(，)内有两个极值点C函数f(x)在2，2内有4个零点D函数g(x)在区间(1，上的最小值为：【答案】AD【考点】函数的性质综合应用12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
15、A若PD平面MAC，则M为PB的中点B若M为PB的中点，则三棱锥MPAC的体积为C锐二面角BPDA的大小为D若4，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为PMABEDC【答案】ABD【考点】立体几何中的综合应用：位置关系判断、体积求解、线面角、二面角的求解三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分请把答案填写在答题卡相应位置上)13点A是椭圆C1：与双曲线C2：的一个交点，点F1，F2是椭圆C1的两个交点，则|AF1|AF2| 【答案】16【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用14为庆祝中国共产党成立100周年，某志
16、愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种(用数字作答)【答案】150【考点】排列组合：选派问题15已知(2mx)(1)3的展开式中的常数项为8，则实数m 【答案】2【考点】二项式定理展开式的应用：求参数问题16购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元已知该保险每一份保单需要赔付的概率为10，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 (保留两位有效
17、数字)；一年度内盈利的期望为 万元(参考数据：(110)0.37)【答案】0.63；180【考点】双空题：随机事件的概率求解、数学期望四、解答题(本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区城内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x，y的数据如下：东部城市A东部城市B东部城市C西部城市D西部城市Ex4050602030y1101802103070(1)根据上述数据补全下列22联表：(2)判断是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关参考公式：K2，其中nabcd临界值表：P(K2
18、k0)0.150.010.050.0250.0100.0050.001k02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82822列联表：东部城市西部城市总计甲50乙600总计650800【考点】独立性检验的应用【解析】(1) 22联表：东部城市西部城市总计甲15050200乙500100600总计650150800(2)由题意可知，K26.836.635则有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关18(12分)已知函数f(x)x3x2ax1(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)当a2时，若函数f(x)在区间a，2上单调递增，求实数a的取值范围【
19、考点】函数与导数：不含参函数的极值求解、含参函数的单调性应用【解析】(1)当a3时，f(x)x3x23x1，则f(x)x22x3(x3)(x1)，令f(x)0，解得x1或x3；令f(x)0，解得3x1，所以f(x)在(，3)上单调递增，在(3，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则f(x)的极大值为f(3)10，极小值为f(1)(2)因为f(x)x3x2ax1，所以f(x)x22xa，则当xa，2时，f(x)0恒成立，所以当a1时，f(x)minf(1)a10，不满足题意，故舍去；当1a2时，f(x)minf(a)a23a0，解得a0或a3(舍去)综上，实数a的取值范围为0，2)19(12分
20、)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上(1)若2，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；A1(2)若N是CC1的中点，直线A1B与平面PMN所成角的正弦值为，求线段BP的长度C1B1PNACBM【考点】立体几何中异面直线所成的角、利用线面角求长度问题【解析】以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，M(1，1，0)， (1)因为2，所以P(，0，)，则(，1，)，(0，2，0)，设直线MP与直线AC所成角为，则cos|，所以直线MP与直线AC所成角的
21、余弦值大小为，(2)由N(0，2，1)，得(1，1，1)，可设P(x，y，z)， (01)，则(x2，y，z)(2，0，2)，解得x22，y0，z2，所以P(22，0，2)，所以(12，1，2)，可设平面PMN的一个法向量为n(x1，y1，z1)，由n，n，可得，取n(1，1)，又因为2，0，2)，且设直线A1B与平面PMN所成角为，所以sin|cos|，解得，所以，所以BPBA120(12分)某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够
22、参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用甲、乙两人通过各个环节相互独立(1)求乙未能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘过程中通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；(3)若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职【考点】随机事件的概率、分布列与期望、解决实际问题【解析】(1)由题意可知，若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率为P；(2)由题意可知，X的取值可能为0，1，2，3
23、，4，5且P(X0)()3，P(X1)()2，P(X2)()2，P(X3)()3()2()，P(X4)()3()()2，P(X5)()3，则X的分布列为X012345P故E(X)012345(3)由(2)可知，甲成为在职教师的概率为P甲()2，乙成为在职教师的概率为P乙(1)，因为P甲P乙，所以甲更可能成为该校的在职教师21(12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与交C于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该定值；如果不是，
24、请说明理由【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中面积为定值问题【解析】(1)由题意知，可得a24b2，联立，得xa，所以|AB|a，解得a2所以椭圆的方程为y21(2)可设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由四边形OMDN为平行四边形，可得D(x1x2，y1y2)，又因为点D在椭圆C上，所以(y1y2)21，化简可得，x1x24y1y22，可令，代入上式，得2cos2cos4sinsin2，即为4cos()2，则cos()，所以sin()，则SOMDN2SOMN|x2y1x1y2|2cossin2cossin|2sin()|2，为定值22(12分)已知函数f(x)alnx
25、xa(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x21【考点】函数与导数：含参函数的单调性讨论、极值点偏移问题【解析】(1)因为f(x)alnxxa，所以f(x)1，则当a0时，f(x)0，即f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间；当a0时，令10，可解得xa，10，可解得xa，所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2) f(x)1(x0)，当a0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增，f(x)至多有一个零点，不合题意；当a0时，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(a，)时，
26、f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，则f(x)minf(a)aln(a)0，解得a1，注意此时f()0，(i)当2a1时，f(e3)e34a0，此时ae3，则f(x)在(0，a)和(a，)上分别存在一个零点；(ii)当a2时，f(e)alnee2aea2a，设g(a)ea2a，a2，则g(a)e2a1，g(a)e20，所以g(a)在(，2)单调递增，则g(a)g(2)e250，所以g(a)在(，2)单调递减，则g(a)g(2)e260，即f(e)0，此时ae ，则f(x)在(0，a) 和(a，)分别存在一个零点；综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(，1)；下面证明x1x21， 不妨设0x1ax2，由f(x1)f(x2)0得，两式相减得，a，两式相加得，lnx1lnx22(lnx1lnx2)2，要证x1x21，只需证lnx1lnx20，即证ln0，令h(t)lnt，t(0，1，则h(t)0，所以h(t)在(0，1单调递增，则h(t)h(1)0又因为(0，1)，故等号不成立，即得证20
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