1、第6讲 二项分布与超几何分布A组基础巩固一、单选题1(2022贵州贵阳四校联考)设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB(2，p)，若P(X1)，则D(Y)( A )A4 B5 C6 D7解析由题意可得：P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p.则：D(X)np(1p)2，D(Y)32D(X)4.故选A.2(2023河南重点中学“顶尖计划”联考)某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为( A )A. B C D解析所求概率PC23.选A.3(2024陕西汉中联考)某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标若从这6只小白鼠中随
2、机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为( C )A. B C D解析由题意，恰好有2只测量过该指标的概率为.故选C.4(2023四川统测)某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为( C )A1 B C2 D解析记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，则X均值E(X)1232.秒杀解法：E(X)32.故选C.5(2023浙江模拟预测)若离散型随机变量X满足XB(5，p)，且E(X)，则P
3、(X2)( C )A. B C D解析因为XB(5，p)，且E(X)，所以P，所以P(X2)P(X2)P(X1)P(X0)C23C4C05.6(2023湖北孝感重点高中模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为( C )A. B C D解析因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为4C3.故选C.7(2024广西北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽
4、子的概率为( D )A. B C D解析由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以PC22，故选D.二、多选题8(2024江苏泰州中学检测)下列关于随机变量X的说法正确的是( BCD )A若X服从正态分布N(1,2)，则D(2X2)4B已知随机变量X服从二项分布B(2，p)，且P(X1)，随机变量Y服从正态分布N(2，2)，若P(Y0)，则P(2Y4)C若X服从超几何分布H(4,2,10)，则期望E(X)D若X服从二项分布B，则方差D(X)解析由于XN(1,2)，所以D(X)2，根据方差的性质，D(2X2)22D(X)8，故A错误；X服从二项分布B(2，p)
5、，P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)p22pp2，解得p，P(Y0)，根据正态分布的对称性可得，P(2Y6)CE(X)6)P(X7)P(X8)C7C8，故B正确；E(X)8，E(Y)8，D(X)8，D(Y)8，所以E(X)p0，所以p.11袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X) .解析设袋中有m个黑球，则白球有(10m)个，由题意可得：1，解得m5或m4(舍去)，故X的可能取值有0,1,2,3，则有：P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，可得X的分布列为：X01
6、23P故E(X)0123.12(2024湖北武昌实验中学月考)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次则(1)质点回到原点的概率为 ；(2)质点位于4的位置的概率为 .解析(1)质点向左、向右各移动了3次，故所求概率P1C33.(2)质点向右移动了5次，向左移动了1次，故所求概率P2C5.三、解答题13(2024广西北海模拟)某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1 500米、3 000米、4100米接力(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的
7、条件下，选择3 000米服务的概率；(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4100米接力现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查将其中首选4100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望解析(1)记事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3 000米服务”，则P(A)，P(AB)，则P(B|A)，所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3 000米服务的概率.(2)依题意，随机变量X可以取0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，随机变量X的分布列为X0123P所以E(X)0123.14(2
8、023河南示范性高中联考)某商超为庆祝开业十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案：一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次方案：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次(1)现有一位顾客消费了420元，获得
9、一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；(2)如果某顾客获得一次抽奖机会那么他选择哪种方案更划算解析(1)在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为P.设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则P(A)C2.故这位顾客获得180元返金券的概率为.(2)若选择抽奖方案，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60,120,180,240.则P(X60)C3，P(X120)C2，P(X180)C2，P(X240)C3.所以选择抽奖方案，该顾客获得返金劵金额的数学期望
10、为E(X)60120180240105(元)；若选择抽奖方案，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则YB，故E(Y)3.选择方案，该顾客获得返金劵金额的数学期望为E(Z)E(100Y)10075(元)，从而有E(X)E(Z)，所以应选择方案更划算B组能力提升1(2024福建泉州质检)泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件
11、若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物，假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率解析(1)设3人抽奖总次数为X，则X的可能取值为3,4,5,6.由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为.依题可得P(X4)C2，P(X5)C2，P(X6)3，所以P(X4)P(X4)P(X5)P(X6)0.999.(2)记事件A“每位打卡十八景游客至少打卡两个
12、景点”，则“每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，事件B“一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，则P(A)，P()，P(B|A)，P(B|)，则P(B)P(ABB)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|).2(2024湖南长沙一中月考)北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“
13、滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？解析(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.(2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为pC2C3，小明在n次测
14、试中获“优秀”次数满足B(n，p)，由np5n19.286，所以理论上至少要进行20次测试3(2023贵州联考)某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩(满分：100分)，按50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分成五组，得到如图所示的频率分布直方图(1)估计该校学生成绩的中位数；(2)已知样本中竞赛成绩在90,100的女生有3人，从样本中竞赛成绩在90,100的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为X，求X的分布列及期望解析(1)因为(0.0080.024)100.320.5，所以中位数在70,80)内设中位数为
15、m，则0.32(m70)0.0360.5.解得m75.(2)由题意可知成绩在90,100的学生有12人，X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，则X的分布列为X0123P故E(X)01231.4(2024辽宁丹东阶段测试)哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下：月份x12345游客人数y(万人)130mn9080满意率0.50.40.40.30.35已知y关于x的线性回归直线方程为11.5x134.5.(1)求2月份，3月份的游客数m，n的值；(2)在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为概率，求评价为满意的人数X的分布列与期望E(X)(参考公式：， )解析(1)由题意可得3，且11.53134.5100，所以mn200，iyi2m3n890,51 500，55,5245，所以11.5，所以2m3n495，解得m105，n95，(2)任取1个人满意的概率P，所以满意的人数X服从二项分布，即XB，随机变量X的取值分别为0,1,2，P(X0)C02，P(X1)C，P(X2)C20，X012P所以期望E(X)2.
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