1、2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知全集U=R，若集合A=x|，则UA=2已知复数z满足z（1i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|=3双曲线2x2y2=6的焦距为4已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为5方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为6已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a=7在ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则ABC的形状为8在极坐标系中，点A（2，）到直线cos（）=的距离为9离散型随机变量的概率分布列如图，若E=1，则D的值为 01
2、2 P0.2 ab 10已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF=11设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，1），则与的夹角为锐角的概率是12已知an的通项公式为an=（1）nn+2n，nN+，则前n项和Sn=13任意实数a、b，定义ab=，设函数f（x）=（log2x）x，数列an是公比大于0的等比数列，且a6=1f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1=14关于x的方程=|sin|在2016，2016上解的个数为二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
3、15“”是“不等式|x1|1成立”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分亦非必要条件16给出下列命题，其中正确的命题为（）A若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B直线a与平面不垂直，则a与平面内所有的直线都不垂直C直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行D异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直17抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（1，0），则的最小值是（）A B C D18已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（3，2），如果对于常数，在函数y=|x+2|+|x2|4，（x4，4）的图象上有且只有6个
4、不同的点P，使得=成立，那么的取值范围是（）A（5，）B（，11）C（，1）D（5，11）三、解答题（共5小题，满分60分）19如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO=AB；（1）证明：AB平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）20如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿ABC路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了
5、清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的大小；（用反三角函数表示）21数列an满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中nN+；（1）求实数的值及数列an的通项公式；（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值22教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（ab0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线xy+=0与椭圆E： =1（a1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别
6、作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由23（理科）已知f（x）是定义在a，b上的函数，如果存在常数M0，对区间a，b的任意划分：a=x0x1xn1xn=b，和式M恒成立，则称f（x）为a，b上的“绝对差有界函数”，注：；（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在，0上是“绝对差有界函数”；（2）证明函数f（x）=不是0，1上的“绝对差有界函数”；（3）记集合A=f（x）|存在常数k0，对任意的
7、x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知全集U=R，若集合A=x|，则UA=0，1【考点】补集及其运算【分析】求解不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解【解答】解：由得到x（x1）0，解得x0或x1，A=（，0）（1，+），UA=0，1，故答案为：0，12已知复数z满足z（1i）=2i，其中i为虚数单
8、位，则|z|=【考点】复数求模【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出【解答】解：复数z满足z（1i）=2i，z（1i）（1+i）=2i（1+i），2z=2（i1），z=i1则|z|=故答案为：3双曲线2x2y2=6的焦距为6【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值【解答】解：双曲线2x2y2=6即为=1，可得a=，b=，c=3，即有焦距为2c=6故答案为：64已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为【考点】二项式系数的性质【分析】T5=x2，由已知可得： =，a0解出即可得出【解答】解：T5=x2，=，a0解得a=
9、故答案为：5方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为x=0和x=1【考点】对数的运算性质【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得log2（9x+7）=log24（3x+1），即9x+7=4（3x+1），化为（3x）243x+3=0，解得：3x=1和3x=3，x=0和x=1故答案为：x=0和x=16已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a=3【考点】反函数【分析】由y=（a），可得反函数：y=，利用函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，即
10、为同一个函数即可得出【解答】解：由y=（a），解得x=（y3），把x与y互换可得：y=，函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，a=3，解得a=3故答案为：37在ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则ABC的形状为等腰三角形或直角三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】由题意可得acosAbcosB=0，利用正弦定理化边为角，得到sin2A=sin2B再由A，B为三角形的两个内角，可得A=B或A+B=，得到三角形为等腰三角形或直角三角形【解答】解：由=0，得acosAb，即acosAbcosB=0，由正弦定理可得：sinAcosAsinBcosB=0，s
11、in2A=sin2BA，B为三角形的两个内角，2A=2B或2A+2B=即A=B或A+B=，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形8在极坐标系中，点A（2，）到直线cos（）=的距离为2【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】先求出A（0，2），直线为xy2=0，由此利用点到直线的距离公式能求出点A（2，）到直线cos（）=的距离【解答】解：在极坐标系中，点A（2，），在平面直角坐标系中，A（2cos，2sin），即A（0，2），cos（）=（cossin）=cossin=，=1，cos=x，sin=y，直线为xy2=0，点A（0，2）到直线xy2=0的距离：d=2，点
12、A（2，）到直线cos（）=的距离为2故答案为：29离散型随机变量的概率分布列如图，若E=1，则D的值为0.4 01 2 P0.2 ab 【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】利用离散型分布列的性质，先求出a，b，由此能求出D的值【解答】解：E=1，由离散型随机变量的概率分布列，得，解得a=0.6，b=0.2，D=（01）20.2+（11）20.6+（21）20.2=0.4故答案为：0.410已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF=1【考点】异面直线及其所成的角【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO=FO=1，由此
13、能求出EF【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，EOCD，且EO=，FOAB，且FO=1，EOF是异面直线AB与CD所成的角，EOF是等边三角形，EF=1故答案为：111设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，1），则与的夹角为锐角的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】由与的夹角为锐角，得到，由此能求出与的夹角为锐角的概率【解答】解：m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，1），与的夹角为锐角，基本事件总数n=66=
14、36，mn0包含的基本事件个数m=15，与的夹角为锐角的概率是p=故答案为：12已知an的通项公式为an=（1）nn+2n，nN+，则前n项和Sn=【考点】数列的求和【分析】an=（1）nn+2n，nN+，a2k1+a2k=（2k1）+22k1+2k+22k=1+当n为偶数时，则前n项和Sn=S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2k1+a2k），再利用等比数列的前n项和公式即可得出当n为奇数时，则前n项和Sn=S2k2+an【解答】解：an=（1）nn+2n，nN+，a2k1+a2k=（2k1）+22k1+2k+22k=1+当n为偶数时，则前n项和Sn=S2k=（a1+a2）+（a3+
15、a4）+（a2k1+a2k）=k+=+2（4k1）=+2n+12当n为奇数时，则前n项和Sn=S2k2+an=+2n2n+2n=2n+12综上可得：Sn=故答案为：Sn=13任意实数a、b，定义ab=，设函数f（x）=（log2x）x，数列an是公比大于0的等比数列，且a6=1f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1=4【考点】等比数列的通项公式【分析】f（x）=（log2x）x=，及其数列an是公比大于0的等比数列，且a6=1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：f（x）=（log2x）x=，数列an是公比大于0的等比数列，且a6=1
16、，1q时，a1，a2，a5（0，1），a7，a8，a9，a101，+），=1，分别为：，1，q，q4f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a9）+f（a10）=2a1，+0+a7log2a7+a10log2a10=2a1，+q4+qlog2q+=2=2左边小于0，右边大于0，不成立，舍去0q1时， =1，分别为：，1，q，q4，a1，a2，a5（1，+）；a7，a8，a9，a10（0，1），f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a9）+f（a10）=2a1，+log2q+=2=2=4，a1=4q=1时，a1=a6=a10=1，不满足f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a9）+f（a10
17、）=2a1，舍去综上可得：a1=4故答案为：414关于x的方程=|sin|在2016，2016上解的个数为4031【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论【解答】解：y=，作函数y=与y=|sinx|在2016，2016上的图象如下，由图象知函数y=|sin|的周期是2，两个函数都关于x=1对称，当x0时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在2016，0内有10082=2016个交点，在0，2内两个函数只有一个交点，当x2时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在2，2016内有1007
18、2=2014个交点，则在2016，2016上解的个数为2016+1+2014=4031，故答案为：4031二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15“”是“不等式|x1|1成立”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分亦非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】不等式|x1|1成立，化为1x11，解得即可判断出结论【解答】解：不等式|x1|1成立，化为1x11，解得0x2，“”是“不等式|x1|1成立”的既不充分也不必要条件故选：D16给出下列命题，其中正确的命题为（）A若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B直线a与平面不垂直，则a与平面内
19、所有的直线都不垂直C直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行D异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c异面，故A错误；对于B，若直线a，则内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；对于C，若直线a，则内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；对于D，假设存在平面，使得a，b，则ba，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确故选：D17抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该
20、抛物线上的动点，又点A（1，0），则的最小值是（）A B C D【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质【分析】通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=1，A（1，0），过P作PN垂直直线x=1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则APN最大，即PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k24）x+k2=0，所以=（2k24）24k4=0，解得k=1，所以NPA=45，=cosNPA=
21、故选B18已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（3，2），如果对于常数，在函数y=|x+2|+|x2|4，（x4，4）的图象上有且只有6个不同的点P，使得=成立，那么的取值范围是（）A（5，）B（，11）C（，1）D（5，11）【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出函数y=|x+2|+|x2|4在4，4的图象，讨论若P在AB上，设P（x，2x4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x4）求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围【解答】解：函数y=|x+2|+|x2|4=，（1）若P在AB上，设P（
22、x，2x4），4x2=（3x，6+2x），=（3x，6+2x）=x29+（6+2x）2=5x2+24x+27，x4，2，11当=时有一解，当11时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），2x2=（3x，2），=（3x，2）=x29+4=x25，2x2，51当=5或1时有一解，当51时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x4），2x4=（3x，62x），=（3x，62x），=x29+（62x）2=5x224x+27，2x4，=11当=时有一解，当11时有两解综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是1故选：C三、解答题（共5小题，满分60分）19如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点
23、C为弧的中点，SO=AB；（1）证明：AB平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由圆的性质得出ABOC，由SO平面ABC得出SOAB，故而AB平面SOC；（2）连结OD，由AB平面SOC可知ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tanADO【解答】证明：（1）SO平面ABC，AB平面ABC，SOAB，C为的中点，ABOC，又SO平面SOC，OC平面SOC，SOOC=O，AB平面SOC（2）连结ODAB平面SOC，ADO为AD与平面SOC所成的角，设OA=a，则OC=a
24、，SO=AB=2a，SC=a，OD=，tanADO=AD与平面SOC所成角为arctan20如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿ABC路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的大小；（用反三角函数表示）【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）设BC=x，则AB=2x，AC=2.4x，A
25、=120，利用余弦定理列方程解出x；（2）利用（1）的结论得出三角形ABC的三边长，使用余弦定理求出cosB，得到B的大小【解答】解；（1）设BC=x，则AB=2x，AC=2x+0.4=2.4x，由题意得A=120，在ABC中，由余弦定理得：cosA=解得x=1.4BC=1.4m（2）由（1）知AB=0.6，AC=1，BC=1.4cosB=B=arccos21数列an满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中nN+；（1）求实数的值及数列an的通项公式；（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）由题意和等差中项的性质
26、列出方程求出，再利用累加法求出数列an的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n3时利用分离常数法化简得p，利用取特值和做商法判断出的单调性，再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值【解答】解：（1）a1=2，an+1=an+2n，a2=a1+2=2+2，a3=a2+4=2+6；a1，a2+1，a3成等差数列，2（2+2+1）=2+2+6，解得=1，即an+1an=2n，a2a1=2，a3a2=4，anan1=2n1，以上式子相加可得，ana1=2+4+8+2n1=2n2，得an2=2n2，则an=2n，=1，an=2n；（2）由（1）得，P0，当n=1、2时，上式一定成立；当n3
27、时，化简得p=，当n=3时，p=，当n=4时，p=4.8，当n=5时，p=，当n=6时，p，设bn=，则=2（1），当n4时，2（1），则1，当n4时，bn随着n的增大而增大，则随着n的增大而减小，等式成立的自然数n恰有4个，即n=1、2、4、5，正整数p的值是322教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（ab0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线xy+=0与椭圆E： =1（a1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与
28、l2交于点M（2，m），当m变化时，求OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将直线y=x+代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y=2，l2：x2x+2y2y=2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my=1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得O
29、AB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y=k（x2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理，由题意可得，可得=，求得N的坐标，代入切点弦AB的方程，计算即可判断【解答】解：（1）将直线y=x+代入椭圆方程x2+a2y2=a2，可得（1+a2）x2+2a2x+2a2=0，由直线和椭圆相切，可得=12a44（1+a2）2a2=0，解得a=（由a1）；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y=2，l2：x2x+2y2y=2，由l1与l2交于点M（2，m），可得2x1+2
30、my1=2，2x2+2my2=2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=，由消去x，可得（2+m2）y22my1=0，y1+y2=，y1y2=，可得|AB|=，可得OAB的面积S=d|AB|=，设t=（t1），S=，当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y=k（x2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2+4k（m2k）x+2（m2k）22=0，即有x3+x4=，x3x4=，由线段CD上存在点N，使成立，可得=，化为x0=，代入韦达定理，化简可得x
31、0=，y0=k（x02）+m=k（2）+m=，由x0+my0=+=1即有N在直线AB上23（理科）已知f（x）是定义在a，b上的函数，如果存在常数M0，对区间a，b的任意划分：a=x0x1xn1xn=b，和式M恒成立，则称f（x）为a，b上的“绝对差有界函数”，注：；（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在，0上是“绝对差有界函数”；（2）证明函数f（x）=不是0，1上的“绝对差有界函数”；（3）记集合A=f（x）|存在常数k0，对任意的x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin是否在
32、集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由【考点】三角函数的最值；函数的值域【分析】（1）利用函数在，0是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足“绝对差有界函数”的定义；（2）举例说明函数f（x）对于和式= +M不成立即可；（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义即可【解答】解：（1）f（x）=sinx+cosx=sin（x+）在，0上是增函数，对任意划分f（xn）f（xn1），|f（xi）f（xi1）|=f（x1）f（x0）+f（x
33、n）f（xn1）=f（0）f（）=2；取常数M2，则和式M恒成立，函数f（x）在，0上是“绝对差有界函数”；（2）证明：函数f（x）=，令xi=，xi1=，iN*，则f（xi）f（xj）=；和式= +M不成立，故函数f（x）不是0，1上的“绝对差有界函数”；（3）存在常数k，使得对于任意的x1，x2a，b，|f（x1）f（x2）|k|x1x2|，|f（xi）f（xi1）|xixi1|=k（ba）；故存在常数M=k（ba），使得|f（xi）f（xi1）|M恒成立，所以f（x）为a，b上的“绝对差有界函数”；又函数g（x）=2016sin，令x1=，x2=，|f（x1）f（x2）|2016（11）=4032，存在k4032，使g（x）=2016sin在集合A中2016年7月21日
