1、2020-2021学年第一学期山东省实验中学西校区2018级数学试题第卷（共60分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ）A. B. C. D. D分析：由已知条件可得，然后代入 ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），1+i，i故选D点拨：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件C分析： ，得 成立；若 ，得解答：若
2、，得 成立；反之，若 ，得故选C.点拨：本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3. 向量满足，则向量与的夹角为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 120C分析：根据列方程，化简后求得，由此求得向量与夹角.解答：，向量与的夹角为90.故选：C点拨：本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.4. 在数列中，若为等差数列，则（ ）A. B. C. D. A分析：先求等差数列的公差，再利用等差数列求，最后求.解答：等差数列的公差，所以，即.故选：A5. 在年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协
3、作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，、两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中校排球队胜校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为( )A. B. C. D. D分析：由题意得，分为若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局和若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局这两种情况，分别计算概率，即可求出结果.解答：解：四局结束比赛可分为校排球队胜和校排球队胜两种情况.若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局，则概率；若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局，则概率.则四局
4、结束比赛的概率故选：D.点拨：本题考查独立重复实验的概率计算，体现了转化的数学思想，属于基础题.6. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. D分析：画出图形，将作为基底向量，将向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解解答：如图，由题可知，点为的中点，点为上靠近的三等分点，故选：D点拨：本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7. 随机变量的分布列为：012其中，下列说法不正确的是( )A. B. C. D()随b的增大而减小D. D()有最大值C分析：根据分布列的性质得正确；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案.解答：根据分布列的性质得，即，故正确；根据
5、期望公式得，故正确；根据方差公式得，因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；故选：C点拨：本题考查了分布列的性质和数学期望与方差公式，属于基础题,8. 已知奇函数是上增函数，则（ ）A. B. C. D. B分析：先利用定义判断出为偶函数，时单调递增，时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小解答：解：由奇函数是上增函数可得，当时，又，则，即为偶函数，且当时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为，而，即，所以故选：B【点评】本题考查了指数式、对数式比较大小，考查了函数的奇偶性和单调性综合应用，属于中档题.二、多项选择题：本题
6、共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分9. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A. 直线与平面所成的角等于B. 点到面的距离为C. 两条异面直线和所成角为D. 三棱柱外接球半径为ABD分析：对于A，由直线与平面夹角的定义可知即为直线与平面所成的角，结合正方体性质即可得解；对于B，由平面，可知到面的距离为长度的一半，即可求解；对于C，由于，则异面直线和所成的角为，根据边的关系即可得解；对于D，正方体的外接球即为三棱柱外接球，由外接球性质即可得解.解答：正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成
7、的角为，故A正确；对于B，因为平面，点到面的距离为长度的一半，即，故B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故D正确综上可知，正确的为ABD，故选：ABD.点拨：本题考查了空间结构体线面位置关系的综合应用，直线与平面的夹角，直线与平面垂直性质，点到平面距离及三棱柱外接球的求法，属于中档题.10. 要得到的图象,只要将图象怎样变化得到( )A. 将的图象沿x轴方向向左平移个单位B. 将的图象沿x轴方向向右平移个单位C. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位
8、D. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位ABC分析：根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到解答：对于A，将图象沿x轴方向向左平移个单位，可得的图象，故选项A正确；对于B，将的图象沿x轴方向向右平移个单位也可得到，的图象，故选项B正确；对于C，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向右平移个单位，得到的图象，故选项C正确；对于D，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向左平移个单位，得到的图象，故选项D不正确故选：点拨：本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题11
9、. 已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合其中是“互垂点集”集合的为（ ）A. B. C. D. BD分析：根据题意即对于任意点，在中存在另一个点，使得，结合函数图象进行判断解答：由题意，对于，使得成立即对于任意点，在中存在另一个点，使得中，当点坐标为时，不存在对应的点所以所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个点，使得所以是“互垂点集”集合，中，当点坐标为时，不存在对应的点所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：BD点拨：
10、本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于较难题12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为( )A. 函数是偶函数B. ,恒成立C. 任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立D. 不存在三个点,使得为等腰直角三角形ACD分析：根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可解答：对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；对于B，取，则，故选项B错误；对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；对于D，要为
11、等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； 直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立 综上，不存在三个点，使得为等腰直角三角形，故选项
12、D正确故选：点拨：本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题第卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，若，则的最小值为_分析：由已知分段函数的图像和性质以及，可计算，进而分别构造，再由双勾函数性质求最值即可.解答：解：已知分段函数在两端区间内都是单调函数，若，则必然分属两段内，不妨设，则，即当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，此时不符合题意），当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，所以，此时.故的最小值为.故答案为：点拨：本题
13、考查在分段函数的图象下由函数值相等转化自变量关系，还考查了构造函数求最值，属于难题.14. 已知直线与曲线相切，则= 3分析：设切点为（x0，y0），求出函数yln（x+）的导数为y，得k切1，并且y0x0+2，y0ln（x0+），进而求出解答：设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为yln（x+），所以y所以k切1，并且y0x0+2，y0ln（x0+），解得：y00，x02，3故答案3点拨：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良
14、渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_年之间(参考数据：lg20.3，lg70.84，lg30.48) (1). (2). 6876分析：把代入，即可求出；再令，两边同时取以2为底的对数，即可求出的范围解答：，当时，经过5730年后，碳14的质量变为原来的，由题意可知：，两边
15、同时取以2为底的对数得：，推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间故答案为：；6876点拨：关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由，两边同时取以2为底的对数得：，属于中档题.16. 已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,若,与所成的角分别为,则线段长度的取值范围为_.分析：由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值解答：如图所示：分别过作底面的垂线，垂足分别为，由已知可得， 而，当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；当，所在平面与垂直，且在
16、底面上的射影，在点异侧时，长度最大，此时，最大为线段长度的取值范围为故答案为：点拨：本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知.(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间的取值范围.(1),;(2).分析：(1)利用二倍角公式和辅助角公式对的解析式进行三角恒等变换，得到，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令，由在上的单调性，即可求出，从而求出在区间的取值范围解答：(1)由题意，化简得
17、 所以函数的最小正周期的减区间为，由，得所以函数的单调递减区间为，(2)因为，所以，即有所以，函数在区间上的取值范围是点拨：本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题18. 在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.(1)求;(2)求的面积S.(1);(2)或.分析：(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得，再结合平方关系即可求出；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，即可求出边，再根据三角形面积公式即可求出解答
18、：(1)由题意得由余弦定理得:由正弦定理得所以，中，(2)由余弦定理得解得或，由得或点拨：本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题19. 设数列的前项和为，已知，（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立？若存在，求出所有值；若不存在说明理由（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在正整数n，理由见解析.分析：（1）由等式可得出，可证得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，可求得，再利用与的关系可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减
19、法可求得；（3）由，可得，令，利用数列的单调性可判断等式是否有解，即可得出结论.解答：（1），因为，所以可推出故，即为等比数列，且首项为，公比也为，即，当时，也满足此式，；（2）因为，两式相减得：，即；（3）将代入，得所以，即.令，所以，数列为单调递减数列，又，因为为单调递减数列，所以当，所以不存在正整数使得成立点拨：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.20. 九章算术是我国古代数学名著,它在几何学
20、中的研究比西方早1000多年,在九章算术中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.(1)求证:四棱锥为阳马;(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.(1)证明见解析;(2).分析：(1)按照题目定义，只要证明面即可，而由，即可证出面；(2)先根据基本不等式求出当时，鳖膈体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角的余弦值解答：(1)底面，面又，面，又四边形为矩形四棱锥为阳马(2)，又底面，当且仅当时，取最大值，底面
21、以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设面的一个法向量由得同理得二面角的余弦值为点拨：本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题21. 某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.表中，（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；（3）若该
22、图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)附：对于一组数据(1，v1)，(2，v2)，(n，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.（1）更适合.（2）.（3）至少印刷册.分析：（1）由散点图判断，更适合.（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，根据公式可得，再得到答案.（3）假设印刷千册，依题意得,解出不等式得到答案.解答：（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量(单位：千册)的回归方程. （2）令，先建立y关于u的线性回归方程，由于， 所以， 所以y关于u的线性回归方程为
23、，所以y关于x的回归方程为 （3）假设印刷千册，依题意得， 解得，所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.点拨：本题考查非线性回归方程及其应用，考查将非线性回归问题转化为线性回归问题求解，考查运算能力，属于中档题.22. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：(1) 见详解；(2)；(3)证明见解析解答：试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证试题解析：（1）的定义域为，当时，故在单调递增；当时，故在单调递减； 当时，令，
24、解得则当时，；时，故单调递增，在单调递减 （2）因为，所以：当时，恒成立，令，则， 因为，由得，且当时，；当时，所以在上递增，在上递减，所以，故 (3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力本题的第一问是求函数的单调区间,求解时分类对函数求导,分析探求出其单调区间；第二问先分析转化,再构造函数,运用导数的知识使得问题获解；(3)运用已知推证的结论构造不等式,从而使得不等式简捷巧妙获证