1、数学 A（理）2.2 函数的单调性与最值第二章 函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练 出 高 分 基础知识自主学习 知识梳理 1.函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 f(x1)f(x2)基础知识自主学习 知识梳理 图象描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 上升的下降的基础知识自主学习 知识梳理(2)单调区间的定义
2、 如果函数yf(x)在区间D上是或，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数yf(x)的单调区间.增函数减函数区间D基础知识自主学习 知识梳理 2.函数的最值 前提 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意xI，都有；(2)存在x0I，使得.(3)对于任意xI，都有；(4)存在x0I，使得.结论 M为最大值 M为最小值 f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M基础知识自主学习 知识梳理 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且
3、(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y|x|是R上的增函数.()1x基础知识自主学习 知识梳理(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，).()(6)函数y的最大值为1.()1x21x2基础知识自主学习 考点自测 题号 答案 解析 1 2 3 4 AC43，1(，12，)函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，1
4、2，).题型分类深度剖析 题型一 函数单调性的判断 例1(1)判断函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性.axx21解析 思维升华 题型分类深度剖析 题型一 函数单调性的判断 例1(1)判断函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性.axx21解 设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221 ax2x1x1x21x211x221.1x1x20)在x(1,1)上的单调性.axx21x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.又a0,f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数.解析 思维
5、升华 题型分类深度剖析 题型一 函数单调性的判断 例1(1)判断函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性.axx21对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之.解析 思维升华 题型分类深度剖析 例1(2)求函数y的单调区间.x2x6解析 思维升华 题型分类深度剖析 例1(2)求函数y的单调区间.x2x6解 令 ux2x6，yx2x6可以看作有 y u与 ux2x6 的复合函数.由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，解析 思维升华 题型分类深度剖析 例
6、1(2)求函数y的单调区间.x2x6在2，)上是增函数，而 y u在0，)上是增函数.yx2x6的单调减区间为(，3，单调增区间为2，).解析 思维升华 题型分类深度剖析 例1(2)求函数y的单调区间.x2x6解析 思维升华 复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数.题型分类深度剖析 跟踪训练1(1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性.ax解 设x1，x2是任意两个正数，且0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2 x1x2x1x2(x1x
7、2a).当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，a上是减函数；题型分类深度剖析 跟踪训练1(1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性.ax当 ax1a，又 x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，a上是减函数，在 a，)上为增函数.题型分类深度剖析(2)求函数y(x24x3)的单调区间.13log解 令ux24x3，原函数可以看作yu与ux24x3的复合函数.13log令ux24x30，则x3.函数y(x24x3)的定义域为(，1)(3，).13log又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向
8、上，ux24x3在(，1)上是减函数，题型分类深度剖析 在(3，)上是增函数.(2)求函数y(x24x3)的单调区间.13log而函数yu在(0，)上是减函数，13logy(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).13log题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 题型二 利用单调性求参数范围 例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.a14B.a14C.14a14B.a14C.14a14B.a14C.14a0 D.14a0所以 a0，且1a4，解得14a14B.a14C.14a0 D.14a0综合上述得14a0.解得1
9、4a0.所以 a14B.a14C.14a0 D.14a0已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.解析 答案 思维升华 D题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例2 (2)已 知f(x)2ax1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_.题型分类深度剖析 例2 (2)已 知f(x)2ax1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_.由已知条件得f(x)为增函数，2a0，a1，2a11a，解得32a2，a 的取值范围是32，2).解析 答案 思维升华 题型分类深度剖
10、析 例2 (2)已 知f(x)2ax1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_.由已知条件得f(x)为增函数，2a0，a1，2a11a，解得32a2，a 的取值范围是32，2).32，2)解析 答案 思维升华 题型分类深度剖析 例2 (2)已 知f(x)2ax1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_.已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.32，2)解析 答案 思维升华 题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数
11、，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(1,0)(0,1 C.(0,1)D.(0,1 ax1解 析 由 f(x)x2 2ax 在 1,2 上 是 减 函 数 可 得1,2a，)，a1.y 1x1在(1，)上为减函数，题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(1,0)(0,1 C.(0,1)D.(0,1 ax1由 g(x)ax1在1,2上是减函数可得 a0，故01，4a2 x2 x1题型分类深度剖析 解析 因为f(x)是R上的增函数，所以可得 a1，4a20，a4a22.解得 4a1时，
12、f(x)1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.解析 思维升华(2)证明：f(x)为减函数；且 x1x2，则x1x21，证明(2)任取x1,x2(0,),由于当x1时，f(x)0，所以 fx1x2 1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；x1x2解析 思维升华(2)证明：f(x)为减函数；即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)1时，f(x)1时，f(x)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，
13、都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式 证明 设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)
14、f(x1)1，4分思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式 本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨
15、 提 醒 题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.题型分类深度剖析(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.思 维 点 拨 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解 m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f
16、(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2).12分思 维 点 拨 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.思 维 点 拨 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒
17、题型分类深度剖析(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解此小题的关键应该是将不等式化为f(M)0，4a34a3，得 0f(1)的实数x的取值范围是()A.(，1)B.(1，)C.(，0)(0,1)D.(，0)(1，)1x解析 依题意得1x0，所以x的取值范围是x1或x0.D练出高分 A组 专项基础训练 5.定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A.1B.1C.6D.12 23467891105解析 由已知得当2x1时，f(x)x2，当1f(a3)，则实数a的取值范围为_.23456891107解析 由已知可得a2
18、a0，a30，a2aa3，解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，).(3，1)(3，)练出高分 A组 专项基础训练 234567911088.设函数 f(x)ax1x2a在区间(2，)上是增函数，那么 a的取值范围是_.解析 f(x)ax2a22a21x2aa2a21x2a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数.2a2102a2 2a210a1a1.1，)练出高分 A组 专项基础训练 234567811099.已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；证明 设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)(1a1x2)(1a1x
19、1)1x11x2x2x1x1x2 0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数.练出高分 A组 专项基础训练 23456781109(2)若 f(x)在12，2上的值域是12，2，求 a 的值.解 f(x)在12，2上的值域是12，2，又 f(x)在12，2上单调递增，f(12)12，f(2)2.易得 a25.练出高分 A组 专项基础训练 10.已知函数f(x)，x0,2，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.234567891102x1解 设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则 f(x1)f(x2)2x11(2x21)2x21x11x11x21 2x2
20、x1x11x21.练出高分 A组 专项基础训练 由0 x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数.23456789110因此，函数 f(x)2x1在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是 f(0)2，最大值是 f(2)23.练出高分 B组 专项能力提升 1213141511练出高分 B组 专项能力提升 121314151111.已知函数 f(x)a3x5，x1，2ax，x1是(，)上的减函数，那么 a 的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3 C.(0,2)D.(0,2 练出高分
21、B组 专项能力提升 1213141511解析 由题意得a30，a352a，解得 0a2.答案 D 练出高分 B组 专项能力提升 121314151112.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()A.f(x)B.f(x)(x1)2 C.f(x)exD.f(x)ln(x1)1x解析 由题意知f(x)在(0，)上是减函数.A中，f(x)满足要求；1x练出高分 B组 专项能力提升 B中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中，f(x)ex是增函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数.答案 A1213141511练出高分 B组 专项能力提升 1
22、21314151113.对于任意实数 a，b，定义 mina，ba，ab，b，ab.设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.练出高分 B组 专项能力提升 1213141511解析 依题意，h(x)log2x，0 x2，x3，x2.当0 x2时，h(x)log2x是增函数；当x2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案 1练出高分 B组 专项能力提升 121314151114.已知 f(x)xxa(xa).(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；证明 任取x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，
23、即f(x1)0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围.解 任设1x10，x2x10，要 使 f(x1)f(x2)0，只 需(x1 a)(x2 a)0 恒 成 立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,1.练出高分 B组 专项能力提升 121314151115.已知函数 f(x)x22xax，x1，).(1)当 a12时，求函数 f(x)的最小值；解 当 a12时，f(x)x 12x2，设 1x1x2，则 f(x2)f(x1)(x2x1)(1 12x1x2)，练出高分 B组 专项能力提升 1x10,2x1x22，12131415110 12x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立，试求实数a的取值范围.1213141511解 在区间1，)上f(x)0恒成立 x22xa0恒成立.设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数.练出高分 B组 专项能力提升 所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.1213141511谢谢观看 更多精彩内容请登录
