1、专题4.9 函数的应用（二）1函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点二次函数的零点一元二次方程+bx+c=0(a0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a0)的零点.正比例函数y=kx(k0)仅有一个零点0.一次函数y=kx+b(k0)
2、仅有一个零点.反比例函数y=(k0)没有零点.指数函数y=(a0,且a1)没有零点.对数函数y=(a0,且a1)仅有一个零点1.幂函数y=,当a0时,仅有一个零点0;当a0时,没有零点.2函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间a,b上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a)与终点(b,f(b)分别在x轴的两侧，则连续曲线与
3、x轴至少有一个交点.3二分法(1)二分法的定义：对于在区间a,b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在
4、要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初始区间a,b，验证f(a)f(b)0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0(此时(a,c)，则令b=c；(3)若f(c)f(b)0(此时(c,b)，则令a=c.4.判断是否达到精确度：若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24.【题型1 求函数的零点】【方法点拨】(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函
5、数y=f(x)的零点.(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.【例1】（2022全国高一课时练习）函数的零点为（）A10B9C（10，0）D（9，0）【变式1-1】（2022全国高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（）A1B2C（1，0）D（2，0）【变式1-2】（2022河北高一开学考试）函
6、数的零点为（）A（1，0）B（1，3）C1和3D（1，0）和（3，0）【变式1-3】（2021全国高一课时练习）函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）ABCD【题型2 函数零点存在定理的应用】【方法点拨】确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异号.【例2】（2022内蒙古高一阶段练习（文）函数的零点所在区间是（）ABCD【变式2-1】（2022全国模拟预测（文）函数在上的零点个数是（）A0B1C2D3【变式2-2】（2022天津模拟预测）函数的零点所在的大致区间是（）ABCD【变式2-3】（2022河南高
7、二期末（理）若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（）ABCD【题型3 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】【方法点拨】函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准确找到交点所在的位置.【例3】（2022江西高三阶段练习（文）函数的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个【变式3-1】（2022四川高二阶段练习（文）已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（）ABCD【变式3-2】（2022河南高三阶段练习（文）已知函数若关于的方
8、程有4个不同的实根，则的取值范围是（）ABCD【变式3-3】（2022江苏高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）ABCD【题型4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【方法点拨】根据二分法的步骤进行求解，即可确定.【例4】（2021全国高一课前预习）方程在区间上的根必定在（）A上B上C上D上【变式4-1】（2021四川省高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（）ABCD【变式4-2】（2022新疆昌吉高一期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（）ABCD
9、【变式4-3】（2021湖北高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（）A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1.5，2）D不能确定【题型5 用二分法求方程的近似解】【方法点拨】由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解.【例5】（2022全国高一课时练习）若函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：x11.51.251
10、.3751.312510.8750.29690.22460.05151则方程的一个近似根（误差不超过0.05）为（）A1.375B1.34375C1.3125D1.25【变式5-1】（2022全国高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（）A1.2B1.3C1.4D1.5【变式5-2】（2021广东高一阶段练习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（）A1.5B1.25C1.375D1.4375【变式5-3】（2023全国高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算
11、，参考数据如下：那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A1.5B1.25C1.41D1.44【题型6 用二分法求函数的近似值】【方法点拨】用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.【例6】（2022陕西模拟预测（理）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，下列说法正确的有（）A是满足精度为的近似值.B是满足精度为的近似值C是满足精度为的近似值D是满足精度为的近似值【变式6-1】（2022全国高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A，B，C，D，【变式6-2】（2022湖北省高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（）ABCD【变式6-3】（2021全国高一专题练习）用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值为（）ABCD
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