1、第一章 集合与函数概念 章末复习课知识概览对点讲练分类讨论思想在集合中的应用分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题1由集合的互异性决定分类【例1】 设A4,2a1，a2，B9，a5,1a，已知AB9，则实数a_.分析由AB9知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a的值，注意集合中元素互异性的检验答案3解析由AB9，得2a19，或a29，解得a5,3，3.当a5时，A4,9,25，B9,0，4，AB9，4，与AB9矛盾；当a3
2、时，a52,1a2，B中元素重复，舍去；当a3时，A4，7,9，B9，8,4，满足题设a3.规律方法(1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用(2)本题在解题过程中易出现的错误：分类讨论过于复杂；不进行检验，导致出现增根；分类讨论之后没有进行总结变式迁移1 全集S2,3，a22a3，A|2a11|,2，SA5，求实数a的值解因为SA5，由补集的定义知，5S，但5A.从而a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a11|15S，不符合题意；当a4时，|2a11|3S.故a4.2由空集引起的讨论【例2】 已知集合Ax|2x5，
3、集合Bx|p1x2p1，若ABB，求实数p的取值范围解ABB，BA，(1)当B时，即p12p1，故p2，此时满足BA；(2)当B时，又BA，借助数轴表示知，故2p3.由(1)(2)得p3.规律方法解决这类问题常用到分类讨论的方法如AB即可分两类：(1)A；(2)A.而对于A又可分两类：AB；AB.从而使问题得到解决需注意A这种情况易被遗漏解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解变式迁移2 已知集合Ax|x23x20，集合Bx|mx20，若BA，求由实数m构成的集合解Ax|x23x201,2当m0时，B，符合BA；当m0时，Bx|x，由BA知
4、，1或2.即m2或m1.故m所构成的集合为0,1,2数形结合思想在函数中的应用数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率【例3】 设函数f(x)x22|x|1 (3x3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域(1)证明f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)解当x0时，f(x)x22x1(x1)22，当x0时，f(x)x22x1(x1)22，即f(x).
5、根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图(3)解函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间3，1)和0,1)上为减函数，在1,0)，1,3上为增函数(4)解当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为2,2规律方法函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出变式迁移3 当m为何值时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根？解令f(x)x24
6、|x|5，则f(x)那么原问题转化为探求m为何值时，函数f(x)的图象与直线ym有4个交点作出f(x)的图象，如图所示由图象可知，当1m0恒成立求实数a的取值范围解方法一 由已知x1，)，x22xa0恒成立，即ax22x，x1，)恒成立令g(x)x22x，x1，)，则原问题可转化为a小于g(x)在1，)上的最小值g(x)(x1)21，图象的对称轴为x1，函数g(x)在1，)上是增函数，x1时，g(x)取最小值g(1)3.a0恒成立，令f(x)x22xa，x1，)，则有x1，)时，f(x)0恒成立，f(x)(x1)2a1，x1，)，f(x)minf(1)3a，问题转化为3a0，即aa恒成立f(x
7、)mina，f(x)a恒成立f(x)maxa.变式迁移4 已知函数f(x)的定义域为R，求m的取值范围解f(x)的定义域为R，即等价于xR时，mx2mx10恒成立当m0时，10满足要求，当m0时，则，解得：0m3，Tx|axa8，STR，则a的取值范围是()A3a1 B3a1 Ca3或a1 Da1答案A解析|x2|3，x5或x5或x1又Tx|axa8，STR，3a1.2若偶函数f(x)在区间(，1上是增函数，则()Aff(1)f(2) Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)f Df(2) f f(1)答案D解析由f(x)是偶函数，得f(2)f(2)，又f(x)在区间(，1上是增函数，且21，则
8、f(2)f(2)ff(1)3如果奇函数f(x)在区间1,5上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间5，1上是()A增函数且最小值为3 B增函数且最大值为3C减函数且最小值为3 D减函数且最大值为3答案D解析当5x1时1x5，f(x)3，即f(x)3.从而f(x)3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在5，1是减函数故选D.4定义在区间(，)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，)的图象与f(x)的图象重合，设abg(a)g(b)；f(b)f(a)g(b)g(a)；f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是()A B C D答案D解析本题采用特值法求解不妨取符
9、合题意的函数f(x)x及g(x)|x|，进行比较或由g(x)f(0)0，f(a)f(b)f(b)0得出5已知yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数F(x)f(x)g(x)的图象可以是()答案A解析由图象可知函数yf(x)与yg(x)均为奇函数f(x)f(x)，g(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以函数F(x)f(x)g(x)为偶函数注意到函数yf(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数yg(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.二、填空题6设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则实数a的值为_答案2解析UA5，5U且5A.
10、a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a1|35且3U，当a4时，|2a1|95，但是9U.故a的值为2.7已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)_.答案2解析f(x4)f(x)，f(7)f(34)f(3)f(14)f(1)f(1)2122.8有下列四个命题：函数f(x)为偶函数；函数y的值域为y|y0；已知集合A1,3，Bx|ax10，aR，若ABA，则a的取值集合为；集合A非负实数，B实数，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射写出所有正确命题的序号_答案解析函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，它关于坐标原点不对称
11、，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即命题不正确；函数y的定义域为x|x1，当x1时，y0，即命题正确；因为ABA，所以BA，若B，满足BA，这时a0；若B，由BA，得a1或a.因此，满足题设的实数a的取值集合为，即命题不正确依据映射的定义知，命题正确三、解答题9设奇函数f(x)是定义在(，)上的增函数，若不等式f(ax6)f(2x2)0对于任意x2,4都成立，求实数a的取值范围解由f(ax6)f(2x2)0得f(ax6)f(2x2)f(x)为奇函数，f(ax6)f(x22)又f(x)在R上为增函数，原问题等价于ax60对x2,4都成立令g(x)x2ax8，问题又转化为：在x2,4上，
12、g(x)min0或或解得a2.综上，a(，2)10设函数f(x)(a，b，cN)是奇函数，且f(1)2，f(2)3.(1)求a，b，c的值；(2)试研究x0时，f(x)的单调性，证明你的结论解(1)由f(1)2，得2，由f(2)3，得3，因为f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称又f(x)的定义域为(显然b0，否则f(x)为偶函数)，所以0，则c0，于是得f(x)x，且2，3，3，b，又bN，b1，a1，故ab1，c0.(2)由(1)知f(x)x，则f(x)在1，)上单调递增由于f(x)是奇函数，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(，1上是增函数，所以只需讨论f(x)在区间(1,0)上的增减性即可，当1x1x20时，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x21)显然x1x20,0x1x21，x1x210，f(x)在(1,0)上为减函数综上所述，f(x)在(，1上是增函数，在1,0)上是减函数