1、专题4.5 对数1对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：=0，=1(a0,且a1)，负数和0没有对数.对数恒等式：=N(N0,a0,且a1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，且a1时，=Nx=.用图表示为：2常用对数与自然对数3对数的运算性质如果a0，且a1，M0,N0,nR，那么我们有：4对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a0，且a1，c0，且c1，b0，则=.(2)换底公式的推论：=1(a0,且a1,b0,且
2、b1)； (a0,且a1,b0,且b1,c0,且c1,d0)；(a0,且a1,b0,m0,nR).5对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型1 对数的运算性质的应用】【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技
3、巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).【例1】（2022黑龙江哈尔滨高三开学考试）求值（）A8B9C10D1【变式1-1】（2022天津高考真题）化简的值为（）A1B2C4D6【变式1-2】（2022全国高三专题练习）计算：（）A10B1C2D【变式1-3】（2022全国高三专题练习）化简的值为（）ABCD-1【题型2 换底公式的应用】【方法点拨】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧
4、：技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【例2】（2022全国高一课时练习）已知，则（）ABCD【变式2-1】（2022全国高三专题练习）已知，则（）ABCD【变式2-2】（2022安徽安庆市高一期末）已知，用，表示，则（）ABCD【变式2-3】（2022全国高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc5，logba+logcb3，则logca的值为（）ABCD【题型3 指数式与对数式的互化】【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.【例3】
5、（2021全国高一课时练习）下列对数式中，与指数式等价的是（）.ABCD【变式3-1】（2021江苏高一专题练习）已知loga2m，loga3n，则a2mn等于（）A5B7C10D12【变式3-2】（2021全国高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（）Ae0=1与ln 1=0Blog39=2与=3C=与log8=-Dlog77=1与71=7【变式3-3】（2022湖南高一课时练习）将转化为对数形式，正确的是（）A；B；C；D【题型4 指、对数方程的求解】【方法点拨】解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一
6、种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022安徽合肥模拟）方程的解是（）A1B2CeD3【变式4-1】（2021全国高一专题练习）方程的解为（）ABCD【变式4-2】（2021全国高一课时练习）方程4x2x130的解是（）Alog32 B Clog23D【变式4-3】（2022陕西高一阶段练习）如果方程的两根为、，则的值是（）ABCD【题型5 带附加条件的指、对数问题】【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子
7、，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.【例5】（2022全国高一课时练习）已知，（，且）(1)求的值；(2)若，且，求的值【变式5-1】（2022天津市高二期末）计算下列各题：(1)已知，求的值；(2)求的值.【变式5-2】（2022辽宁高一开学考试）已知，计算下列式子的值：(1)；(2).【变式5-3】（2021徐州市期末）（1）已知，求的值 ；（2）已知，分别求，的值.【题型6 对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)
8、建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例6】（2022广东汕头高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：）A22.2%B43.8%C56.2%D77.8%【变式6-1】（2022四川绵阳高二期末（文）酒驾是严重危害交通安全的违法行为根据国家有关规定：100mL血液
9、中酒精含量在2080mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据：，）A12B11C10D9【变式6-2】（2022河南安阳高三开学考试（理）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（）A1.2倍B12倍C102倍D1002倍【变式6-3】（2022陕西长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度若，现有一杯80的热水降至75大约用时1分钟，那么水温从75降至55，大约还需要（参考数据：，）（）A3.5分钟B4.5分钟C5.5分钟D6.5分钟
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