江苏省大丰市新丰中学2017届高三数学一轮复习学案：正余弦定理的综合应用 .doc

1、30、正余弦定理的综合应用 班级： 姓名： 学号： 一、明确目标，自主学习1. 教学目标：运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，B级要求。2. 预习内容：1. 在ABC中，若sin Asin Bsin C=7813，则cos C= .2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A= .3.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 n mile/h. (第3题)4. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

2、c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，则角B= .5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为 .二、合作释疑，互相研讨例1 利用正、余弦定理解常见的三角问题在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=2.(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.变式：已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90，且a=，求ABC的面积.例2 实际问题中解三角形2011年

3、5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援.(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646，结果保留两位小数)；(2)求tan 的值.三、精心点拨，启发引导例3.如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段

4、笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60.(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长. 例4 如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，点M在线段PQ上.(1)若OM=，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小?并求出面积的最小值. 四、巩固训练，提升技能1. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tan A=2tan B，a2-b2

5、=c，则c= .2. 若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是 .3. 在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则的取值范围是 .4. 为了测量塔AB的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C，D，E，测得仰角分别为，2，4，CD=30 m，DE=10 m，则= ，塔高AB= m.5. 如图，在ABC中，D是BC上的一点.已知B=60，AD=2，AC=， DC=，则AB= . 五、反思总结，构建知网六|作业一、 填空题 1轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是1

6、5 n mile/h，那么下午2时时两船之间的距离为 . 2小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在北偏东30的方向上，15 min后到点B处，望见电视塔在北偏东75的方向上，则电动车在点B时到电视塔S的距离是 . 3如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，现沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则A，B两点之间的距离为 m. (第3题) 4已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 . 5如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向、相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险

7、等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30、相距10 n mile的C处的乙船.设乙船朝北偏东的方向沿直线前往B处救援，则sin = . (第5题) 6如图，在ABC中，已知点D在边BC上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，那么BD的长为 . (第6题) 7(2015重庆卷)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c= . 8(2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶D在北偏西15的方向上

8、，仰角为30，则此山的高度CD= m. (第8题) 二、 解答题 9如图，在ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=.(1)求BC的长；(2)求DBC的面积. (第9题) 10(2015南京三模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知acos C+ccos A=2bcos A.(1)求角A的大小；(2)求sin B+sin C的取值范围. 11如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30、俯角为30的B处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60、俯角为45的C处.(1)求船的航行速度；(2)在C处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min后到达什么位置(以点A为参照点)? (第11题) 三、 选做题12在ABC中，已知=，则ABC的形状为 . 13在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)sin2B+sin2C，那么角A的取值范围是 .