1、3.2一元二次不等式及其解法材拓展1一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：axb.若a0，则其解集为.若a0，则其解集为.若a0，b0或ax2bxc0)不妨设方程ax2bxc0的两根为x1、x2且x10 (a0)的解集，就是二次函数yax2bxc (a0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2bxc0)的解集，就是二次函数yax2bxc (a0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值3简单的高次不等式的解法数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x1)(x2)(x3)0.我们可以列表如下：x的区间
2、x11x22x3x1x2x3(x3)(x2)(x1)把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x1)(x2)(x3)0的解集是x|1x3一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p(x)(xx1)(xx2)(xxn)0 (或0f(x)g(x)0.(2)0f(x)g(x).解原不等式000x或x3.原不等式的解集为(3，)5恒成立问题(1)f(x)a，xD恒成立f(x)mina，xD恒成立；f(x)a，xD恒成立f(x)maxa，xD恒成立；(2)ax2bxc0恒成立或ax2bxc0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象
3、充要条件x1kx2f(k)0x1x2kkx1x2k1x1x2k2k1x1k2x2k3法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)例1解不等式：x.解原不等式x000000.由图可知，原不等式的解集为x|x1或2x3二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准例2解不等式：0(x2)(kx3k2)0当k0时，原不等式解集为x|x2；当k0时，(kx3k2)(x2)0，变形为(x2)0.332，2.x2.故解集为.当k0时，原
4、不等式(x2)0由(2).当2k0时，0，2，不等式的解集为；当k2时，2，原不等式(x2)20不等式的解集为；当k0，2.不等式的解集为.综上所述，当k0时，不等式的解集为x|x2；当k0时，不等式的解集为；当2k0时，不等式的解集为；当k2时，不等式的解集为；当k2xp.(1)如果不等式当|p|2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2x4时恒成立，求p的取值范围分析题中不等式含有两个字母x，p，由(1)的条件可知，应视p为变量，x为常量，再求x的范围；由(2)的条件可知，应视x为变量，p为常量，再求p的范围解(1)不等式化为：(x1)px22x10，令f(p)(x1)px22x1，
5、则f(p)的图象是一条直线又因为|p|2，所以2p2，于是得：即即x3或x3或xx22x1，2x4，x10.p1x.由于不等式当2x4时恒成立，所以p(1x)max.而2x4，所以(1x)max1，于是p1.故p的取值范围是p1.四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件常常从以下几个关键点去限制，判别式，对称轴，根所在区间端点函数值的符号例4已知关于x的一元二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围解设f(x)x22mx2m1，根据题意，画出示意图由
6、图分析可得，m满足不等式组解得：m.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”例5国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率8%(8x)%收购量m(吨)(12x%)m(吨)税收总收入2 400m8%2 400(12x%)m(8
7、x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400) (0x8)依题意，y2 400m8%78%即：m(x242x400)2 400m8%78%整理得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知0x8，所以0x2为所求区突破1忽略判别式的适用范围而致错例1若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，求实数a的取值范围错解不等式(a2)x22(a2)x40，对xR恒成立2a2.点拨当a20时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立正解当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时成立当a20时，由题
8、意得，即，解得2a2.综上所述，可知20对xR恒成立，即，a1.错解2函数ylg(ax22xa)的值域为R.代数式ax22xa能取遍一切正值44a20，1a1.点拨上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a0时，代数式ax22xa不可能取到所有正数，从而也是错误的正解当a0时，ylg(2x)值域为R，a0适合当a0时，ax22xaa2为使ylg(ax22xa)的值域为R，代数式ax22xa应取到所有正数所以a应满足，解得0a1.综上所述，0a1.题多解例解不等式：3lg x.解方法一3lg x1lg x210x100.方法二设t，则lg xt21 (t
9、0)3lg x0t1011lg x210x100.方法三解方程3lg x，解得：x100. 令f(x)，易知f(x)在10，)为增函数，g(x)3lg x在10，)为减函数且f(100)g(100)1.为使f(x)g(x)，则10x100.方法四令lg xt，f(t)，g(t)3t.在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)当1t2时，f(t)g(t)即3lg x成立由1t2，即1lg x2，解得：10x100.题赏析1(2009江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_.解析令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)k.答案赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法2(2009天津)设0b(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A1a0 B0a1C1a3 D3a(ax)2，(a21)x22bxb20.又a10，a1.不等式变形为(a1)xb(a1)xb1，b0，0,01，x，其中含三个整数，32,23.2a2b3a3.1a3.答案C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用