1、专题5.3 正方形中的综合问题【典例1】四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，ADAE，点E在线段AD的左侧，连接DE，BG（1）如图1，若点F在边AD上时，AD3，AE，求DE的长（2）如图2，连接BF，若ADEABG，BFBC，求证：三点B，G，E在同一直线上【思路点拨】（1）作EHAD于点H，由四边形AEFG是正方形得AEFE，根据勾股定理求出AF的长为2，则AHEHAF1，而AD3，所以DH2，再根据勾股定理求出DE的长即可；（2）先证明DAEBAG，得ADAB，可证明四边形AEFG是正方形，则BFBABC，可知点B在线段AF的垂直平分线上，而GAGF，EAEF，则点G、点E都
2、在线段AF的垂直平分线上，由此可得三点B，G，E在同一直线上【解题过程】（1）解：如图1，作EHAD于点H，四边形AEFG是正方形，点F在边AD上，AEFE，AEF90，AF2，AHFHAF1，EHAF1，AD3，DHADAH2，DHE90，DE，DE的长是.（2）证明：如图2，连接AF，四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AEAG，EAGDAB90，DAEBAG90DAG，在DAE和BAG中，DAEBAG（AAS），ADAB，四边形AEFG是正方形，BABC，BFBC，BABF，点B在线段AF的垂直平分线上，GAGF，EAEF，点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，三点B，G，E在
3、同一直线上1（凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且EAF45，连接EF，则BF的长为（）A2BC3D【思路点拨】把ABF绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，首先证明AFEAGE，进而得到EFFG，问题即可解决【解题过程】证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，把ABF绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，如图：BAFDAG，BAD90，EAF45，BAF+DAE45，EAFEAG，ADGADCB90，EDG180，点E、D、G共线，在AFE和AGE中，AFEAGE（SAS），EFEG，即：EFEGED+DG，E为CD的
4、中点，边长为6的正方形ABCD，CDBC6，DECE3，C90，设BFx，则CF6x，EF3+x，在RtCFE中，由勾股定理得：EF2CE2+CF2，（3+x）232+（6x）2，解得：x2，即BF2，故选：A2（井研县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点且BECF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）ABCD【思路点拨】连接AE，利用ABEBCF转化线段BF得到BF+DEAE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可【解题过程】解：连接AE，如图1，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEBCF90又B
5、ECF，ABEBCF（SAS）AEBF所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点根据对称性可知AEHE，所以AE+DEDH在RtADH中，DHBF+DE最小值为4故选：C3（鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE2；作EFBC分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（）A4B5C6D7【思路点拨】先判定四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，可得点N为FC的中点，BEFC；再证明AFG为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中
6、线的性质可得MNFC，由勾股定理可得BE的长，即为FC的长，从而可得MN的值【解题过程】解：四边形ABCD是正方形，ABCBCD90EFBC，BFE+ABC180，BFE90，四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：N是BE的中点，四边形BCEF为矩形点N为FC的中点，BEFC四边形ABCD是正方形，BAC45，又AFG90，AFG为等腰直角三角形M是AG的中点，AMMG，FMAG，FMC为直角三角形，点N为FC的中点，MNFC，四边形ABCD是边长为8的正方形，DE2，BCCD8，CE6，在RtBCE中，由勾股定理可得BE10，FC10，MNFC5故选：B4（丹江口市期中）如图，以RtA
7、BC的斜边AB为边，在AB的右侧作正方形ABDE，对角线AD，BE交于点O，已知，AC10，BC6，则OC的长为（）AB8C12D【思路点拨】过点O作OM垂直于CA于点M，作ON垂直于CB于点N，易证四边形MCNO是矩形，利用已知条件再证明AOMBON，因为OMON，AMBN，所以CO平分ACB；进而求出CN的长，根据勾股定理即可求出OC的长【解题过程】解：如图，过点O作OM垂直于CA于点M，作ON垂直于CB于点N，OMCONC90，ACB90，四边形MCNO是矩形，MON90，正方形ABDE对角线交于点O，OAOB，AOB90，MONAONAOBAON，AOMNOB，OMAONB90，在AO
8、M和BON中，AOMBON（AAS），OMON，AMBN，ACOBCO45，矩形MCNO是正方形，AC10，BC6，CNCM（AC+BC）8，OCN45，由勾股定理得：OC8故选：B5（呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FCEC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：OHBF；CHF45；GHBC；三角形BDF是直角三角形其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【思路点拨】先由正方形的性质得到BCEDCF90，BCDC，然后结合ECFC得到BCEDCF，结合角平分线的性质得到相关的角，然后可以判
9、定，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用直角三角形斜边上的中线得到，最后结合中位线的性质得证【解题过程】解：四边形ABCD是正方形，BDCDBC45，BCEDCF90，BCDC，ECFC，BCEDCF（SAS），EBCFDC，BECF，BE平分DBC，DBHFBHFDC22.5，BDFBDC+FDC45+22.567.5，FBEC90EBC9022.567.5，故错误，不符合题意；BDFF，BDBF，BDF是等腰三角形，DHHF，即点H是DF的中点，CHHF，HCFF67.5，CHF180HCFF45，故正确，符合题意；O为BD的中点，OH是三角形BDF的中位线，OHBF，故正确，符合题意；G
10、HCF，在正方形ABCD中，BDBC，BCBD，BFBD，CFBFBC，CFBDBDBD，GHBDBCBC，故错误，不符合题意；正确的有两个，故选：B6（仙桃校级月考）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AFAE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH则下列结论中：AFAE；EGC2BAG；DE+BGEG；若DECE，则CE：CG：EG3：4：5，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【思路点拨】正确证明ADEABF（ASA）可得结论正确证明AGFAGE（SAS），推出AGFAGE90BAG，推出EGF1802B
11、AG可得结论正确证明GAFGAE，推出GFGE可得结论正确当DEEC时，设DEECa，BGx，则EGa+x，GC2ax，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题【解题过程】解：四边形ABCD是正方形，ABAD，ABCABFADEBAD90，AEAF，EAFBAD90，BAFDAE，ADEABF（ASA），AEAF，故正确，AG平分EAF，GAFGAE，AFAE，AGAG，AGFAGE（SAS），AGFAGE90BAG，2AGF2（90BAG），即EGF1802BAG，EGF180EGC，180EGC1802BAG，EGC2BAG，故正确，ADEABF，DEBF，AGFAGE，GFGE，GFBF+
12、BGDE+BG，EGBG+DE，故正确，当DEEC时，设DEECa，BGx，则EGa+x，GC2ax，在RtECG中，EG2EC2+CG2，（x+a）2a2+（2ax）2，解得xa，CGa，EGa，CE：CG：EGa：a：a3：4：5，故正确，正确的有共四个，故选：D7（鄞州区期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PEBC，PFCD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：若AP5，则EF5；若APBD，则EFBD；若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）ABCD【思路点拨】延长EP交AD于Q，利用SAS证明AQPFCE，可得APEF，即可判定；由APBD
13、可证得EFCPAQ45，利用平行线的判定可证明的正确性；当APBD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值，进而求得EF的最小值，进而可判定【解题过程】解：延长EP交AD于Q，四边形ABCD为正方形，ADCD，ADCC90，ADBC，BDC45，PFCD，DPF45，DFPF，PEBC，PQAD，四边形CEPF为矩形，AQP90，ECPFDF，AQPC，AQFC，四边形PQDF为正方形，DFQP，CEQP，在AQP和FCE中，AQPFCE（SAS），APEF，若AP5，则EF5，故正确；若APBD，则PAQ45，AQPFCE，EFCPAQ45，BDC
14、45，EFCBDC，EFBD，故正确；当APBD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，ABAD4，BD，APBD，EFAP，EF的最小值为，故错误，故选：A8（青川县期末）如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：AFDE；ADBP；PE+PF；PE+PFPC其中正确的是（）ABCD【思路点拨】根据正方形性质得出ADDCBC；ADCDCB；ECDFDC，证ADFDCE，推出AFDDEC，求出DPF90即可判断；过B作BGDE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分线，推出ABP是等腰三角形，即可判断；延长DE至N，使得ENPF，证CENCFP，推出CNCP，ECNPCF，求出
15、NCP是等腰直角三角形，即可判断【解题过程】解：如图1，正方形ABCD，E，F均为中点，ADDCBC，ADCDCB，ECDFDC，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AFDDEC，DEC+CDE90AFD+CDE90DPF，AFDE，正确；如图2，过B作BGDE交AD于G，交AP于M，AFDE，BGDE，E是BC中点，BGAP，ADBC，BGDE，四边形GBED是平行四边形，DGBE，即BEECDG，ADBC，AGDG，即G是AD的中点，BG是AP的垂直平分线，ABP是等腰三角形BPABAD，正确；如图，延长DE至N，使得ENPF，连接CN，AFDDECCENCFP又E，F分别是BC，
16、DC的中点，CECF，在CEN和CFP中，CENCFP（SAS），CNCP，ECNPCF，PCF+BCP90ECN+BCPNCP90NCP是等腰直角三角形PNPE+NEPE+PFPC，正确，错误；正确故选：D9（南海区月考）如图，在四边形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一点，且DCE45，DE10，则AD的长为8或6【思路点拨】过C作CGAD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设ADx，在RtAED中利用勾股定理可求出AD【解题过程】解：过C作CGAD于G，并延长DG，使GFBE，在直角梯形ABCD中ADBC，AB
17、90，CGA90，ABBC，四边形ABCG为正方形，AGBC12，DCE45，CECF，DCFDCE，DCDC，ECDFCD（SAS）EDDF10，DEDF+DGBE+GD，设ADx，则DG12x，AE14x，在RtAED中，DE2AD2+AE2，102（14x）2+x2x8，x6即AD8或6故答案为：8或610（南岗区校级月考）如图，AD是ABC的高，BAC45，若BD10，DC3，则高AD的长度为15【思路点拨】以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQBD，就可以得出ABDAQF，得出CAQ45，BACCAQ，就有BACQAC，从而得出BCCQ13，设ADx，则QEx10，CEx3由勾
18、股定理就可以求出x的值，得出AD的值，由三角形的面积公式就可以求出结论【解题过程】解：以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQBD10在ABD和AQF中，ABDAQF（SAS），ABAQ，BADFAQ，BAC45，BAD+DAC45，DAC+FAQ45，即CAQ45，BACCAQ在BAC和QAC中，BACQAC（SAS），BCCQBD+CD13设ADx，则QEx10，CEx3在RtCQE中，E90，CE2+QE2CQ2，（x3）2+（x10）2132，解得：x115，x22（不合舍去），AD15故答案为：1511（宜兴市期中）在正方形ABCD中，边长为2，BE2AE，连接DE，在AD、BC
19、上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且GHD45，则线段FG【思路点拨】先证四边形DNFG是平行四边形，可得DNGF，由“SAS”可证ADMCDN，可得ADMCDN，MDDN，由“SAS”可证MDENDE，可得MEEN，由勾股定理可求解【解题过程】解：如图，过点D作DNGF，交BC于点N，连接EN，延长BA至M，使AMCN，连接DM，DNGF，DABC，四边形DNFG是平行四边形，DHGEDN45，DNGF，ADC90，ADE+CDN45，在ADM和CDN中，ADMCDN（SAS），ADMCDN，MDDN，ADM+ADE45MDEEDN，在MDE和NDE中，MDENDE（SAS），MEE
20、N，BE2AE，BE，AE，设AMCNx，则BN2x，MEENx，EN2BE2+BN2，（x）2（2x）2，x1，CN1，GFDN，故答案为：12（渝中区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BECF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF下列结论：AEBF；AEBF；CE+CFBD；S四边形OECFS正方形ABCD其中正确的序数是【思路点拨】易证得ABEBCF（ASA），则可证得结论正确；由ABEBCF，可得FBCBAE，证得AEBF，选项正确；证明BCD是等腰直角三角形，求得选项错误；证明OBEOCF，根据正方形被对角线将面
21、积四等分，即可得出选项正确【解题过程】解：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBF，故正确；由知：ABEBCF，FBCBAE，FBC+ABFBAE+ABF90，AEBF，故正确；四边形ABCD是正方形，BCCD，BCD90，BCD是等腰直角三角形，BDBC，CE+CFCE+BEBC，故错误；四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，在OBE和OCF中，OBEOCF（SAS），SOBESOCF，S四边形OECFSCOE+SOCFSCOE+SOBESOBCS正方形ABCD，故正确；故答案为：13（泗水县期中）如图，在正方形A
22、BCD中，E为AB上一点，过点E作EFAD与AC，DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH下列结论：EGDF；AEH+ADH180；EHFDHC；PH2PA2+CH2；其中以上结论中正确的个数是4【思路点拨】根据题意可知ACD45，则GFFC，则EGEFGFCDFCDF；由SAS证明EHFDHC；由全等三角形的性质得到HEFHDC，从而AEH+ADHAEF+HEF+ADFHDC180；由“SAS”可证QDPHDP，可得PHQP，QADHCD45，由勾股定理可得结论【解题过程】解：四边形ABCD为正方形，EFAD，EFADCD，ACD45，GFC90，CFG为等腰直角三角
23、形，GFFC，EGEFGF，DFCDFC，EGDF，故正确；CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FHCH，GFHGFC45HCD，在EHF和DHC中，EHFDHC（SAS），故正确；HEFHDC，AEH+ADHAEF+HEF+ADFHDCAEF+ADF180，故正确；如图，将DCH绕点D顺时针旋转90，可得DAQ，连接QP，DAQDCH，AQCH，DQDH，ADQCDH，EHFDHC，EHDH，EHFDHC，DHEFHC90，EDH45，ADP+CDH45，ADP+ADQ45EDH，又QDDH，DPDP，QDPHDP（SAS），PHQP，QADHCD45，QAP90，QA2+AP2QP2，
24、PH2AP2+CH2，故正确，结论正确的有共4个故答案为：414（萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若CADDBC（1）求证：四边形ABCD是正方形（2）E是OB上一点，BE1，且DHCE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长【思路点拨】（1）由菱形的性质得出ADBC，BAD2DAC，ABC2DBC，得出BAD+ABC180，证出BADABC，求出BAD90，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出ACBD，ACBD，COAC，DOBD，得出COBDOC90，CODO，证出ECOEDH，证明ECOFDO（ASA），即可得出结论【解题过程】（1）
25、证明：四边形ABCD是菱形，ADBC，BAD2DAC，ABC2DBC，BAD+ABC180，CADDBC，BADABC，2BAD180，BAD90，四边形ABCD是正方形；（2）解：四边形ABCD是正方形，ABBC4，ACBD，ACBD4，OBCOAC2，DOBD2，COBDOC90，CODO，DHCE，垂足为H，DHE90，EDH+DEH90，ECO+DEH90，ECOEDH，在ECO和FDO中，ECOFDO（ASA），OEOFBE1，OEOFOBBE2115（怀化期末）如图，在RtABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OFAC于F，OGBC于G（1）求证：四边形OGCF是正方形（2）
26、若BAC60，AC4，求正方形OGCF的边长【思路点拨】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案；（2）由含30角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB和BC，根据全等三角形判定的HL定理证得RtAOHRtAOF得到AHAF，设正方形OGCF的边长为x，则AHAF4x，BHBG4x，根据ABAH+BH8，解方程即可求出x【解题过程】（1）证明：过O作OHAB于H点，OFAC于点F，OGBC于点G，OGCOFC90C90，四边形OGCF是矩形AD，BE分别是BAC，ABC的角平分线，
27、OFAC，OGBC，OGOHOF，又四边形OGCF是矩形，四边形OGCF是正方形；（2）解：在RtABC中，BAC60，ABC90BAC906030，ACAB，AC4，AB2AC248，AC2+BC2AB2，BC4，在RtAOH和RtAOF中，RtAOHRtAOF（HL），AHAF，设正方形OGCF的边长为x，则AHAF4x，BHBG4x，4x+4x8，x22，即正方形OGCF的边长为2216（上城区校级期末）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交ACB的平分线于点E，交ABC的外角ACD的平分线于点F（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由（2）当点O运动
28、到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE不可能是菱形（填“可能”或“不可能”）请说明理由【思路点拨】（1）由直线MNBC，MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，易证得OEC与OFC是等腰三角形，则可证得OEOFOC；（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OAOC，所以O为AC的中点，同样在ABC中，当ACB90时，可满足其为正方形；（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直【解题过程】解：（1）OEOF理由如下：CE是ACB的角平分线，ACEBCE，又MNBC，NEC
29、ECB，NECACE，OEOC，CF是BCA的外角平分线，OCFFCD，又MNBC，OFCFCD，OFCOCF，OFOC，OEOF；（2）当点O运动到AC的中点，且ABC满足ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形理由如下：当点O运动到AC的中点时，AOCO，又EOFO，四边形AECF是平行四边形，FOCO，AOCOEOFO，AO+COEO+FO，即ACEF，四边形AECF是矩形已知MNBC，当ACB90，则AOFCOECOFAOE90，ACEF，四边形AECF是正方形；（3）不可能理由如下：如图，CE平分ACB，CF平分ACD，ECFACBACD（ACB+ACD）90，若四边形BC
30、FE是菱形，则BFEC，但在GFC中，不可能存在两个角为90，所以不存在其为菱形故答案为：不可能17（天心区期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB4，CE2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数【思路点拨】（1）作EPCD于P，EQBC于Q，证明RtEQFRtEPD，得到EFED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，CDG是等腰直角三角形，由此即可解
31、决问题；（3）分两种情形：如图3，当DE与AD的夹角为40时，求得DEC45+4085，得到CEF5，根据角的和差得到EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，根据三角形的内角和定理即可得到结论【解题过程】（1）证明：如图1，作EPCD于P，EQBC于Q，DCABCA，EQEP，QEF+FEC45，PED+FEC45，QEFPED，在EQF和EPD中，EQFEPD（ASA），EFED，矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在RtABC中，ACAB4，CE2，AECE，点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形，四边形DECG是正方形，CGCE2；（3）如图3，当DE与AD的夹角为40时，
32、DEC45+4085，DEF90，CEF5，ECF45，EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，DEFDCF90，EFCEDC40，综上所述，EFC130或4018（周宁县期中）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点（探究建模）（1）如图1，当点E在边AB上时，DEDF，且B，C，F三点共线，求证：AECF；（类比应用）（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DEDF，AEEF，且E，C，F三点共线猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【思路点拨】（1）证明DAEDCF（ASA），可得结论；（2）猜想：EA+ECDE如图2中，证明DAEDCF，推出DEDFAECF，即可证
33、明【解题过程】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是正方形，DADC，AADCDCBDCF90，DEDF，EDFADC90，ADECDF，在DAE和DCF中，DAEDCF（ASA），AECF（2）解：猜想：EA+ECDE理由：如图2中，四边形ABCD是正方形，DADC，ADC90，DEDF，AEEF，AEFEDF90，ADCEDF，ADECDF，ADC+AEC180，DAE+DCE180，DCF+DCE180，DAEDCF，DAEDCF（AAS），AECF，DEDF，EFDE，AE+ECEC+CFEF，EA+ECDE19（南海区期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，F为AB上一点，
34、且FGBE交CD于点G（1）求证：FGBE；（2）若E为AD中点，FG垂直平分BE，求的值【思路点拨】（1）过点C作CHGF，分别交AB、BE于点H、M，根据平行线的性质及正方形的性质可得CHBAEB，再利用全等三角形的判定与性质可得CHBE，最后根据平行四边形的判定与性质可得结论；（2）连接BG，EG，由垂直平分线的性质可得BGEG，设AD2x，DGy，根据正方形的性质和勾股定理可得答案【解题过程】（1）证明：过点C作CHGF，分别交AB、BE于点H、M，如图：FGBE，CHGF，CHBE，BMH90，ABE+CHB90，四边形ABCD是正方形，ABBC，BADABC90，ABCD，ABE+
35、AEB90，CHBAEB，在BCH和ABE中，BCHABE（ASA），CHBE，CHGF，ABCD，四边形CHFG是平行四边形，GHFG，FGBE；（2）解：连接BG，EG，如图：FG垂直平分BE，BGEG，设AD2x，DGy，四边形ABCD是正方形，bBCCDAD2x，E为AD中点，DEADx，在RtDEG和RtBCG中，BC2+CG2BG2，DE2+DG2EG2，BC2+CG2DE2+DG2，（2x）2+（2xy）2x2+y2，整理得，7x24xy0，x0，yx，20（黄州区期末）如图，RtCEF中，C90，CEF，CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足（
36、1）求证：四边形ABCD是正方形（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，QPR45，一条高是PH，长度为6，QH2，求HR长度【思路点拨】（1）作AGEF于G，如图1所示：则AGEAGF90，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出ABAD，即可得出四边形ABCD是正方形；（2）证明RtABERtAGE（HL），得出BEGE，同理：RtADFRtAGF（HL），得出DFGF，证出BE+DFGE+GFEF，设BEx，DFy，则CEBCBE6x，CFCDDF6y，EFx+y，在RtCEF中，由勾股定理得出方程，
37、整理得：xy+6（x+y）36，即可得出答案；（3）当PQR是锐角三角形时，如图2中，把PQH沿PQ翻折得PQD，把PRH沿PR翻折得PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQQR，MRHR，DQHQ2，得出MGDGMPPH6，GQ4，设MRHRa，则GR6a，QRa+2，在RtGQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可当PQR是钝角三角形时，如图3中，过P作PTPR交RQ延长线于T，构建方程组求解即可【解题过程】（1）证明：作AGEF于G，如图1，则AGEAGF90，ABCE，ADCF，BD90C，四边形ABCD是矩形，CEF，CFE外角平分线交于点A
38、，ABAG，ADAG，ABAD，四边形ABCD是正方形；（2）解：四边形ABCD是正方形，BCCD6，在RtABE和RtAGE中，RtABERtAGE（HL），BEGE，同理：RtADFRtAGF（HL），DFGF，BE+DFGE+GFEF，设BEx，DFy，则CEBCBE6x，CFCDDF6y，EFx+y，在RtCEF中，由勾股定理得：（6x）2+（6y）2（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）36，（BE+6）（DF+6）（x+6）（y+6）xy+6（x+y）+3636+3672；（3）解：如图2所示：把PQH沿PQ翻折得PQD，把PRH沿PR翻折得PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQQR，MRHR，DQHQ2，MGDGMPPH6，GQ4，设MRHRa，则GR6a，QRa+2，在RtGQR中，由勾股定理得：（6a）2+42（2+a）2，解得：a3，即HR3当PQR是钝角三角形时，过P作PTPR交RQ延长线于T，如图3所示：则TPQ904545，由得：TH3，PT3，设HRx，PRy，则TRx+3，PTR的面积（x+3）63y，y6+2x，5y2（6+2x）2，在RtPRH中，由勾股定理得：y262+x2，由得：（x12）20，x12，即HR12；综上所述，HR为3或12.
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