1、专题4.3 三角形中位线定理【典例1】如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若BHF与CGF互余，AB4，CD6，则EF的长为【思路点拨】连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可【解题过程】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，EM，MF分别为ADB、BCD的中位线，EMAB，MFDC，EMAB2，MFDC3，MFDC，FGCEFM，EMAB，FEMFHB，BHF与CGF互余，CGF+BHFEFM+FEM90，EMF180EFMFEM
2、90，EMF是直角三角形，EF，故答案为：1（武进区校级模拟）如图，ABC中，AB10，AC7，BC9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（）A13BC17D19【思路点拨】根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论【解题过程】解：点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，DE是ABC的中位线，EF是ABC的中位线，DEBFBC9，EFBDAB105，四边形DBFE的周长为DE+BF+EF+BD9+1019，故选：D2（宁波模拟）如图，在RtABC中，C90，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）AB1CD2【思路
3、点拨】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DEAB，DEAB3，BEBC2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EFBE2，计算即可【解题过程】解：在RtABC中，AC2，BC4，由勾股定理得：AB6，BF平分ABC，ABFEBF，D，E分别为CA，CB的中点，DEAB，DEAB3，BEBC2，ABFEFB，EFBEBF，EFBE2，DFDEEF1，故选：B3（雁塔区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB5，BC13，A130，D100，ADCD若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（）A3B4C5D6【思路点拨】连接AC，根据等腰三角形的性质得到DACDCA（18
4、0100）40，根据勾股定理得到AC12，根据三角形中位线定理即可得到结论【解题过程】解：连接AC，D100，ADCD，DACDCA（180100）40，BAD130，BAC90，AB5，BC13，AC12，点E，F分别是边AD，CD的中点，EF是ADC的中位线，EFAC6，故选：D4（海阳市期末）如图，ABC中，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN若BC7，MN，则ABC的周长为（）A17B18C19D20【思路点拨】利用ASA定理证明BNABNE，根据全等三角形的性质得到BEBA，ANNE，同理得到CDCA，AMMD，根据三角
5、形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案【解题过程】解：在BNA和BNE中，BNABNE（ASA），BEBA，ANNE，同理，CDCA，AMMD，AMMD，ANNE，MN，DE2MN3，BE+CDBCDE，AB+ACBC+DE10，ABC的周长AB+AC+BC10+717，故选：A5（澄江市期中）如图，ABC中，B90，过点C作AB的平行线，与BAC的平分线交于点D，若AB6，BC8E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为（）A1B1.5C2D4【思路点拨】如图，延长FE交AC于G，首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用平行线的性质和角平分线的性质推知DCAD，则判定ACC
6、D；最后利用三角形中位线定理分别求得FG和EG的长度，求差即可【解题过程】解：如图，延长FE交AC于G，B90，AB6，BC8，AC10ABCD，AD是BAC的平分线，DDAB，DABDACDCADACCD10E，F分别是BC，AD的中点，FG是ABC的中位线，EG是ABC的中位线FGDC5，EGAB3EFFGEG2故选：C6（广西模拟）已知：四边形ABCD中，AB2，CD3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）AMNBMNC1MN5D1MN5【思路点拨】当ABCD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围【解
7、题过程】解：连接BD，过M作MGAB，连接NGM是边AD的中点，AB2，MGAB，MG是ABD的中位线，BGGD，MGAB21；N是BC的中点，BGGD，CD3，NG是BCD的中位线，NGCD3，在MNG中，由三角形三边关系可知NGMGMNMG+NG，即1MN1，MN，当MNMG+NG，即MN时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是MN故选：B7（淅川县期末）如图，四边形ABCD中，A90，AB12，AD5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A2B5C7D9【思路点拨】根据三角形的中位线定理得出E
8、FDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答【解题过程】解：连接DN，EDEM，MFFN，EFDN，DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，N与B重合时DN最大，此时DNDB13，EF的最大值为6.5A90，AD5，DN5，EF2.5，EF长度的可能为5；故选：B8（同安区期中）如图，为估计池塘岸边AB两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN8m，则A、B两点间的距离是16m【思路点拨】根据三角形中位线定理计算即可【解题过程】解：点M，N分别为OA，OB的中点，
9、MN为ABC的中位线，AB2MN2816（m），故答案为：169（北碚区校级期末）已知在ABC中，AC6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF1cm，连接AF，CF，若AFCF，则AB8cm【思路点拨】根据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案【解题过程】解：在RtAFC中，点D是AC的中点，AC6cm，DFAC63（cm），EF1cm，DEDF+EF3+14（cm），点D，E分别是AC，BC的中点，DE是ABC的中位线，AB2DE248（cm），故答案为：8cm10（邗江区校级期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E、F
10、、G分别是CD、AB、AC的中点，若DAC20，ACB80，则FEG30【思路点拨】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可【解题过程】解：ADBC，E，F，G分别是CD，AB，AC的中点，GE是ACD的中位线，GF是ACB的中位线，GEAD，GFBC，GFBC，GEAD，AGFACB80，EGCDAC20，又ADBC，GFGE，EFGFEG，FGEFGC+EGC20+（18080）120，FEG（180FGE）30故答案为：3011（鼓楼区校级期中）如图，在ABC中，A90，ACAB10，点D，E分别在边AB，AC上，且BD8，CE6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的
11、中点，则线段MN的长为5【思路点拨】作CHAB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CHBD，ECH90，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可【解题过程】解：作CHAB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，BDCH，BNCH，ECHA90，在DNB和HNC中，DNBHNC（ASA），CHBD8，DNNH，CH8，CE6，EH10，DMME，DNNH，MNEH5，故答案为：512（虹口区校级期末）如图，在ABC中，BM、CN平分ABC和ACB的外角，AMBM于M，ANCN于N，AB10，BC13，AC6，则MN4.5【思路点拨】延长AM交BC于点G，根据BM为ABC的平分线
12、，AMBM得出BAMG，故ABG为等腰三角形，所以AMGM同理ANDN，根据三角形中位线定理即可求得MN【解题过程】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，BM为ABC的平分线，CBMABM，BMAG，ABM+BAM90，MGB+CBM90，BAMMGB，ABG为等腰三角形，AMGMBGAB10，同理ANDN，CDAC6，MN为ADG的中位线，MNDG（BCBG+CD）（BCAB+AC）（1310+6）4.5故答案为：4.513（香坊区校级开学）如图，在ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BHAC于H，若2ADE90HBC，AD：BC4：3，CD2，则BC的长为6
13、【思路点拨】如图，延长AC至N，使CNBC，连接BN，由等腰三角形的性质可得ADEN，可证DEBN，由三角形中位线定理可得ADDN，即可求解【解题过程】解：如图，延长AC至N，使CNBC，连接BN，2ADE90HBC，BCA90HBC，BCA2ADE，CNBC，NCBN，BCAN+CBN2N，ADEN，DEBN，又E是AB的中点，DE是ABN的中位线，ADDN，AD：BC4：3，设ADDN4x，BCCN3x，CDDNCNx2，BC6，故答案为614（桥西区校级期中）如图，在A1B1C1中，已知A1B17，B1C14，A1C16，依次连接A1B1C1三边中点，得A2B2C2，再依次连接A2B2C
14、2的三边中点，得A3B3C3，则A3B3C3的周长，AnBnCn的周长【思路点拨】根据三角形中位线定理求出A2B2，B2C2，A2C2，进而出去A2B2C2的周长，总结规律，根据规律解答即可【解题过程】解：连接A1B1C1三边中点，得A2B2C2，A1B17，B1C14，A1C16，A2B2A1B1，B2C2B1C12，A2C2A1C13，A2B2C2的周长2+3，同理可得：A3B3C3的周长，AnBnn的周长，故答案为：；15（丽水期末）如图是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图）（1）求立柱OC的高度；（2）小明
15、想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理求出OC；（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案【解题过程】解：（1）由题意得：OCAD，点C为AB的中点，OC为ABD的中位线，OCAD，AD1米，OC米；（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米当AD1.25米时，OC0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米16（沈北新区期末）如图，AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AFCF【思路点拨】过D作DGAC，可证明AEFDEG，可得AFD
16、G，由三角形中位线定理可得DGCF，可证得结论【解题过程】证明：如图，过D作DGAC，则EAFEDG，AD是ABC的中线，D为BC中点，G为BF中点，DGCF，E为AD中点，AEDE，在AEF和DEG中，AEFDEG（ASA），DGAF，AFCF17（莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且ACBD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H求证：OGOH【思路点拨】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEFMFE，然后根据平行线的性质证得OGHOHG，根据等角对等边
17、即可证得【解题过程】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，MFBD，MFBD，同理：MEAC，MEAC，ACBDMEMFMEFMFE，MFBD，MFEOGH，同理，MEFOHG，OGHOHGOGOH18（富平县期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：AHFBGF【思路点拨】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PFAD，PFAD，EPBC，EPBC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论【解题过程】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
18、E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，EP是BCD的中位线，PF是ABD的中位线，PFAD，PFAD，EPBC，EPBC，HPFE，BGFFEP，ADBC，PEPF，PEFPFE，AHFBGF19（建湖县期中）如图，在ABC中，ABAC，点D是边AB上一点，DEBC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点（1）求证：FGFH；（2）当A为多少度时，FGFH？并说明理由【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到ABCACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到ADAE，得到DBEC，根据三角形中位线定理证明结论；（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到
19、FHAC，FNAB，根据平行线的性质解答即可【解题过程】（1）证明：ABACABCACB，DEBC，ADEABC，AEDACB，ADEAED，ADAE，DBEC，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，FG是EDB的中位线，FH是BCE的中位线，FGBD，FHCE，FGFH；（2）解：延长FG交AC于N，FG是EDB的中位线，FH是BCE的中位线，FHAC，FNAB，FGFH，A90，当A90时，FGFH20（白云区期末）如图，在ABC中，AE平分BAC，BEAE于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（ACAB）；（2）如图2，ABC中，AB9，AC5，求线段EF的长【思路点拨】（1）利用ASA定理证明AEBAED，得到BEED，ADAB，根据三角形中位线定理解答；（2）分别延长BE、AC交于点H，利用（1）的结论解答【解题过程】（1）证明：在AEB和AED中，AEBAED（ASA）BEED，ADAB，BEED，BFFC，EFCD（ACAD）（ACAB）；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在AEB和AEH中，AEBAEH（ASA）BEEH，AHAB9，BEEH，BFFC，EFCH（AHAC）2
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