1、专题4.2平行四边形及其性质-重难点题型【知识点1 平行四边形的性质】平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.【题型1 平行四边形的性质（求长度）】【例1】（天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，过点A作AFBE，垂足为点F，若AF5，BE24，则CD的长为（）A8B13C16D18【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到ABAE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BFBE，利用勾股定理求得AB，即可求得答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AD
2、BC，AEBCBE，ABC的平分线交AD于点E，ABECBE，ABEAEB，ABAE，AFBE，BE2BF，BF12，AB，CDAB13，故选：B【变式1-1】（九龙坡区校级期末）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEAC，交AD于点E，连接CE，若CDE的周长为8，则ABCD的周长为（）A8B10C16D20【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OEAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AECE，得出AD+CD16，继而可得出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，ADBC，OEAC，AECE，CDE的周长为：CD+CE+DECD+CE+
3、AEAD+CD8平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），ABCD的周长为16，故选：C【变式1-2】（淮南月考）在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BOC的周长为20cm，BC12cm，则AC+BD的长是（）A8cmB16cmC24cmD32cm【分析】根据平行四边形的性质得到AOCOAC，BODOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AOCOAC，BODOBD，BO+COACBD（AC+BD），BOC的周长OB+OC+BC20cm，BC12cm，BO+CO20128（cm），AC+BD2816（cm），故
4、选：B【变式1-3】（让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，AB6，EF2，则BC的长为【分析】根据平行四边形的性质可得CDAB6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AFAB6，DEDC6，由EF2即可求得BC的长【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，AB6，CDAB6，ADBC，AFBCBF，BF平分ABC，ABFCBF，ABFAFB，AFAB6，同理DEDC6，如图1，EF2，AEAFEF624，ADBCAE+DE4+610，如图2，EF2，AEAF+EF6+28，ADBCAE+DE6+814，综上所述，BC的长为1
5、0或14，故答案为：10或14【题型2平行四边形的性质（求角度）】【例2】（河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，B60，AE平分BAD交BC于点E，若AED80，则EAC的度数是（）A10B15C20D25【分析】证ABE是等边三角形，得ABAE，再证BACAED中（SAS），得BACAED80，即可求解【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BADC60，ADBC，BAD180B18060120，AE平分BAD，BAEDAEBAD60，BDAE，ABE是等边三角形，ABAE，在BAC和AED中，BACAED（SAS），BACAED80，EACBACBAE806020，故选：C【
6、变式2-1】（锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在ABCD的对角线AC上，AEBEBC，D105，则BAC的度数是（）A35B30C25D20【分析】根据平行四边形的性质得到ABCD105，ADBC，根据等腰三角形的性质得到EABEBA，BECECB，根据三角形外角的性质得到ACB2CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD105，ADBC，ADAEBE，BCAEBE，EABEBA，BECECB，BECEAB+EBA2EAB，ACB2CAB，CAB+ACB3CAB180ABC18010575，BAC25，故选
7、：C【变式2-2】（西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DEBC于点E，BFCD于点F，DE、BF相交于点H，若A60，则EHF的度数为（）A100B110C120D150【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A的度数求得C的度数，然后根据垂直的定义求得CEDCFB90，最后利用四边形的内角和求得答案即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，A60，CA60，DEBC于点E，BFCD于点F，CEDCFB90，EHF360CCFBCED360909060120，故选：C【变式2-3】（西湖区校级期中）如图所示，以ABCD的边AB为边向内作等边ABE，使ADAE，且点E在平行四边形内部
8、，连接DE，CE，则CED的度数为（）A150B145C135D120【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明ADAEBEBC，得ADEAED，BCEBEC，设ADEAEDx，BCEBECy，可得DAE1802x，CBE1802y，由平行四边形的邻角互补得出方程，求出x+y150，即可得出结果【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，BAD+ABC180，ABE是等边三角形，AEABBE，AEBEABABE60，ADAE，ADAEBEBC，ADEAED，BCEBEC，设ADEAEDx，BCEBECy，DAE1802x，CBE1802y，BAD1802x+602402x，AB
9、C2402y，BAD+ABC2402x+2402y180，x+y150，CED36015060150，故选：A【题型3平行四边形的性质（求面积）】【例3】（西湖区校级期中）如图所示，点E为ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知BCE的面积为2，CED的面积为10，则阴影部分ACE的面积为（）A5B6C7D8【分析】过点B作BFCD于点F，设ABE和CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得SABE+SCDES平行四边形ABCD，SABE+SCBE+S阴影S平行四边形ABCD，进而可得S阴影SCDESCBE【解答】解：如图，过点B作BFCD于点F，设ABE和
10、CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，SABEABa，SCDECDb，a+bBF，ABCD，SABE+SCDE（ABa+CDb）ABBF，S平行四边形ABCDCDBF，SABE+SCDES平行四边形ABCD，SABE+SCBE+S阴影S平行四边形ABCD，SABE+SCDESABE+SCBE+S阴影，S阴影SCDESCBE1028故选：D【变式3-1】（娄星区期末）如图，E、F分别是ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q若SAPD15，SBQC25，则阴影部分的面积为（）A40B45C50D55【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出SEFCS
11、BCF，SEFDSADF，所以SEFQSBCQ，SEFPSADP，因此可以推出阴影部分的面积就是SAPD+SBQC【解答】解：如图，连接E、F两点，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EFC的FC边上的高与BCF的FC边上的高相等，SEFCSBCF，SEFQSBCQ，同理：SEFDSADF，SEFPSADP，SAPD15，SBQC25，S四边形EPFQSAPD+SBQC15+2540，故选：A【变式3-2】（成华区期末）如图，ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，PAD的面积为S1，PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）ABCD无法判定【分析】根据题意，过点P作EFAD
12、交AD于点E，交BC的延长线于点F，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决【解答】解：过点P作EFAD交AD于点E，交BC的延长线于点F，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，SBCEF，EFPE+PF，ADBC，S1+S2，故选：C【变式3-3】（海曙区校级期末）如图，在ABCD中，点E在边AD上，过E作EFCD交对角线AC于点F，若要求FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）AECDBEBFCEBCDEFC【分析】过B作BMAC于点M，过D作DNAC于N，证明ADNCBM得DNBM，由三角形的面积公式可得BCF和CDE的面积都
13、等于CDF的面积，便可得出答案【解答】解：过B作BMAC于点M，过D作DNAC于N，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DACACB，在ADN和CBM中，ADNCBM（AAS），DNBM，SBCFCFBM，SCDFCFDN，SBCFSCDF，EFCD，SCDESCDFSBCF，故选：A【题型4平行四边形的性质与坐标】【例4】（甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，2），以BD为对角线作ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（2，1）【分析】根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题【解答】解：点B，点D的坐标分别为（0，2）和
14、（0，2），以BD为对角线作ABCD，点O是平行四边形的性质的对称中心，点A的坐标为（2，1），点C的坐标为：（2，1）故答案为：（2，1）【变式4-1】（绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A（1，1）B（1，2）C（2，1）D（2，2）【分析】分别过E，C两点作EFx轴，CGx轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG2EF，AG2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标【解答】解：分别过E，C两点作EFx轴，CGx轴，垂足分别为F，G，EFCG，四边形AB
15、CD为平行四边形，AECE，AG2AF，CG2EF，A（4，0），E（3，1），OA4，OF3，EF1，AFOAOF431，CG2，AG2，OGOAOG422，C（2，2）故选：D【变式4-2】（张店区期末）如图，已知ABCD三个顶点坐标是A（1，0）、B（2，3）、C（2，1），那么第四个顶点D的坐标是（）A（3，1）B（3，2）C（3，3）D（3，4）【分析】过B作BEx轴于E，过D作DMx轴于M，过C作CFBE于F，DM和CF交于N，求出DCNBAE，根据全等三角形的性质得出BEDN，AECN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可【解答】解：过B作BEx轴于E，过D作DMx轴于M，过C作
16、CFBE于F，DM和CF交于N，则四边形EFNM是矩形，所以EFMN，EMFN，FNEM，EABAQC，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABDC，AQCDCN，DCNEAB，在DCN和BAE中，DCNBAE（AAS），BEDN，AECN，A（1，0）、B（2，3）、C（2，1），CNAE211，DNBE3，DM312，OM2+13，D的坐标为（3，2），故选：B【变式4-3】（商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x1和x4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A3B4C5D10【分析】过点B作BD直线x4，交直线x4于点D，过点B作BEx轴，交x轴于点E，
17、由四边形OABC是平行四边形，得OABC，又由平行四边形的性质可推得OAFBCD，则可由ASA证得OAFBCD，得出BDOF1，即可得出结果【解答】解：过点B作BD直线x4，交直线x4于点D，过点B作BEx轴，交x轴于点E，直线x1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x4与AB交于点N，如图所示：四边形OABC是平行四边形，OABBCO，OCAB，OABC，直线x1与直线x4均垂直于x轴，AMCN，四边形ANCM是平行四边形，MANNCM，OAFBCD，OFABDC90，FOADBC，在OAF和BCD中，OAFBCD（ASA）BDOF1，点B的横坐标为：OE4+BD4+15，故选：C【题型5平
18、行四边形中的最值问题】【例5】（舞钢市期末）如图，ABC中，AB10，ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（）A3B4C5D6【分析】根据平行四边形的性质得出AQPC，根据垂线段最短，当PCAB时值最小解答即可【解答】解：四边形APCQ是平行四边形，AQPC，由垂线段最短可得，当PCAB时，AQ值最小，AB10，ABC的面积是25，PC5，AQ5，故选：C【变式5-1】（河南期末）如图，在ABC中，ABAC4，B15，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（）A4B
19、2C2D4【分析】根据平行四边形的性质得出AQPC，根据垂线段最短，当PCAB时值最小解答即可【解答】解：四边形APCQ是平行四边形，AQPC，由垂线段最短可得，当PCAB时，AQ值最小，ABAC4，B15，PAC2B30，在RtAPC中，AC4，PAC30，PC2，AQ2，故选：B【变式5-2】（费县期末）如图，在ABC中，BAC30，ABAC12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，由点O是AC的中点，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值【解答
20、】解：如图所示：四边形PAQC是平行四边形，AOCO，OPOQ，PQ最短也就是PO最短，过点O作OEAB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，BAC30，OEOA，ABAC12，AOAC126，OE3，PQ的最小值2OE6，故答案为：6【变式5-3】（碑林区校级模拟）如图，在ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC6，PQ4，则PC+AQ的最小值为【分析】利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解【解答】解：过点A作AMPQ且AMPQ，连接MP，AMPQ且AM
21、PQ，四边形AQPM是平行四边形，AQMP，PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小，AMPQ，ACPQ，AMAC，在RtMAC中，MC2故答案为：2【题型6平行四边形中的折叠问题】【例6】（黄浦区期末）如图，在ABC中，ABC90，点D在AB边上，将ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么ADC【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BCDE，结合ABC90，即可得出ADE90，再根据翻折的性质即可得出ADFEDF45，从而得出BDC45，由ADC、BDC互补即可得出结论【解答】解：延长CD到点F，如图
22、所示四边形BCDE是平行四边形，BCDE，ABC90，BDE90，ADE90将ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，ADFEDFADE45，BDCADF45，ADC180BDC135故答案为：135【变式6-1】（江西）如图，将ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若B80，ACE2ECD，FCa，FDb，则ABCD的周长为【分析】由B80，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明AFC为等腰三角形所以AFFCa设ECDx，则ACE2x，在ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80180，解得x20，由外角定理可证明DFC为等腰三角形所以DCFCa故平行
23、四边形ABCD的周长为2（DC+AD）2（a+a+b）24a+2b【解答】解：B80，四边形ABCD为平行四边形D80由折叠可知ACBACE，又ADBC，DACACB，ACEDAC，AFC为等腰三角形AFFCa设ECDx，则ACE2x，DAC2x，在ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80180，解得：x20由三角形外角定理可得DFC4x80，故DFC为等腰三角形DCFCaADAF+FDa+b，故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）2（a+a+b）4a+2b故答案为：4a+2b【变式6-2】（滨湖区二模）如图，在RtABC中，ACB90，AC3，D是边AB上一点，连接CD，
24、将ACD沿CD翻折得到ECD，连接BE若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（）AB3C2D3【分析】由折叠的性质得到ADED，ADCEDC，再根据平行四边形的性质及邻补角的定义得到BCDE，DCBCDB，从而得到BDBCDEAD，进而得到AB2BC，最后根据勾股定理即可求解【解答】解：根据折叠的性质得到，ADCEDC，ADCEDC，ADED，四边形BCDE是平行四边形，DEBC，BCDE，EDC+DCB180，ADC+CDB180，DCBCDB，BDBC，BCDE，BDBCDEAD，在RtABC中，ACB90，ABAD+BD2BC，AC3，ACBC，BC，故选：A【变式6-3】（锦江区校
25、级期中）如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：BECD；BFDF；SBEFSDCF；BDCE，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质可得BECD；由折叠得：ADBBDF，再由平行线的性质得ADBDBF，最后由等角对等边可得BFDF；证明BCEDEC，可知这两个三角形的面积相等，可作判断；证明ECFCEF，DBFBDF，再由对顶角相等和三角形的内角和定理可知ECFFBD，可得结论【解答】解：由折叠得：ABBE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BECD；故正确由折叠得：ADBBDF，ADBC，ADBDBF，DBFBDF，BFDF，故正确；由折叠得：ADDE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，BCDE，在BCE和DEC中，BCEDEC（SSS），SBCESDEC，SBEFSDCF；故正确；BCDE，BFDF，CFEF，ECFCEF，由知：BDFFBD，BFDCFE，ECFFBD，BDEC，故正确；所以本题正确的结论有：，共4个；故选：D.
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