1、专题22 反比例函数的综合问题一选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）1（2分）（武进区模拟）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C的坐标为（）A（，0）B（2，0）C（，0）D（3，0）【思路点拨】过点B作BDx轴于点D，易证ACOBCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点【规范解答】解：过点B作BD
2、x轴于点D，如图，ACO+BCD90，OAC+ACO90，OACBCD在ACO与BCD中，ACOBCD（AAS）OCBD，OACD，A（0，2），C（1，0）OD3，BD1，B（3，1），设反比例函数的解析式为y，将B（3，1）代入y，k3y把y2代入y，x当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，C也移动了个单位长度此时点C的对应点C的坐标为（，0）故选：A【考点评析】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型2（2分）（罗湖区校级模拟）如图，已知点A是一次函数y2x的图象与反比例函数y的图象在第一
3、象限内的交点，ABx轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且ACBOAB，AOB的面积为4，则点C的坐标为（）A（5，0）B（6，0）C（5.5，0）D（4，0）【思路点拨】利用AOB的面积为4即可求得k8，然后解方程组得到A点坐标，即OB，AB的长，再由ACBOAB得到RtBAORtBCA，利用三角形相似的性质得OB：BABA：BC，即2：44：BC，求出BC，得到OC，从而确定C点坐标【规范解答】解：设A点坐标为（a，b），AOB的面积为4，ab4，即ab8，而点A在反比例函数y的图象上，kab8，即y，解方程组，解得，A点坐标为（2，4）；又ACBOAB，RtBAORtBCA，OB：BABA：
4、BC，即2：44：BC，BC8，OC6，C点坐标为（6，0）故选：B【考点评析】本题考查了有关反比例函数的综合题：利用几何性质得到反比例函数的解析式，再建立两函数的解析式得到它们函数图象的交点坐标，从而得到有关线段的长，然后利用三角形相似的性质求其他相关线段的长3（2分）（聊城模拟）函数y和y在第一象限内的图象如图所示，点P是y的图象上一动点，作PCx轴于点C，交y的图象于点A，作PDy轴于点D，交y的图象于点B，给出如下结论：ODB与OCA的面积相等；PA与PB始终相等；四边形PAOB的面积大小不会发生变化；PA3AC，其中正确的结论序号是（）ABCD【思路点拨】设点P的坐标为（m，）（m0
5、），则A（m，），C（m，0），B（，），D（0，）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出SODBSOCA，该结论正确；由点的坐标可找出PA，PB，由此可得出只有m2是PAPB，该结论不成；利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；结合点的坐标即可找出PA，AC，由此可得出该结论成立综上即可得出正确的结论为【规范解答】解：设点P的坐标为（m，）（m0），则A（m，），C（m，0），B（，），D（0，）SODB1，SOCA1，ODB与OCA的面积相等，成立；PA，PBm，令PAPB，即，解得：m2当m2时，PAPB，不正确；S四边形PAOBS矩形OCPDSODBSOC
6、A43四边形PAOB的面积大小不会发生变化，正确；PA，AC0，3，PA3AC，正确综上可知：正确的结论有故选：C【考点评析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题的关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键4（2分）（滨州模拟）如图，RtABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y的图象经过点A，若BEC的面积为6，则k等于（）A3B6C12D24【思路点拨
7、】先根据题意证明BOECBA，根据相似比及面积公式得出BOAB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值【规范解答】解：BD为RtABC的斜边AC上的中线，BDDCAC，DBCACB，又DBCEBO，EBOACB，又BOECBA90，BOECBA，BO：BCOE：AB，即BCOEBOAB又SBEC6，BCEO6，即BCOE12，|k|BOABBCOE12又反比例函数图象在第一象限，k0k12故选：C【考点评析】此题主要考查了反比例函数y中k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用5（2分）（惠城区一模）如图，四边形OABC是平行四边形
8、，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y和y的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：ONOM；OMAONC；阴影部分面积是（k1+k2）；四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（）ABCD【思路点拨】先判断出CEON，ADOM，再判断出CEAD，即可判断出正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出错误，根据菱形的性质判断出OBAC，OB与AC互相平分即可得出正确【规范解答】解：如图，过点A作ADy轴于D，过点C作C
9、Ey轴E，AMx轴，CMx轴，OBMN，AMODOMADOCNOEONCEO90，四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，ONCE，OMAD，OB是OABC的对角线，BOCOBA，SBOCSOBA，SBOCOBCE，SBOAOBAD，CEAD，ONOM，故正确；在RtCON和RtAOM中，ONOM，四边形OABC是平行四边形，OA与OC不一定相等，CON与AOM不一定全等，故错误；第二象限的点C在双曲线y上，SCON|k2|k2，第一象限的点A在双曲线y上，SAOM|k1|k1，S阴影SCON+SAOMk2+k1（k1k2），故错误；四边形OABC是菱形，ACOB，AC与OB互相平分，点A和点C
10、的纵坐标相等，点A与点C的横坐标互为相反数，点A与点C关于y轴对称，k2k1，即：四边形是菱形，则图中曲线关于y轴对称，故正确，正确的有，故选：D【考点评析】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，判断出CEAD是解本题的关键6（2分）（无棣县一模）如图，四边形OABF中，OABB90，点A在x轴上，双曲线y过点F，交AB于点E，连接EF若，SBEF4，则k的值为（）A6B8C12D16【思路点拨】由于，可以设F（m，n）则OA3m，BF2m，由于SBEF4，则BE，然后即可求出E（3m，n），依据mn3m（n）可求mn6，即求
11、出k的值【规范解答】解：如图，过F作FCOA于C，OA3OC，BF2OC若设F（m，n）则OA3m，BF2mSBEF4BE则E（3m，n）E在双曲线y上mn3m（n）mn6即k6故选：A【考点评析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键7（2分）（渠县校级期末）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中
12、一定正确的是（）ABCD【思路点拨】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题【规范解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：ODB与OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PAPB；连接OP，点A是PC的中点，则OAP和OAC的面积相等，ODP的面积OCP
13、的面积，ODB与OCA的面积相等，OBP与OAP的面积相等，OBD和OBP面积相等，点B一定是PD的中点故一定正确的是故选：C【考点评析】本题考查了反比例函数y（k0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义8（2分）（宣州区校级自主招生）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC则下列结论：S四边形ACFPk；四边形ADEC为平行四边形；若，则；若SCEF1，SPBE4，则
14、k6其中正确的是（）ABCD【思路点拨】设点B的坐标为（b，a），得到A（0，a），C（b，0），进而求出P（，a），E（b，），再求出直线PE的解析式为yx+a，进而求出F（+b，0），进而判断出四边形ACFP是平行四边形，再用平行四边形的面积公式判断出正确，由四边形ACFP是平行四边形，判断出ACDF，进而判断出正确；由，判断出ab4k，再求出点D坐标，即可判断出错误；先由SCEF1，判断出2，再由SPBE4，得出（b）（a）4，计算之后，判断出正确，即可得出结论【规范解答】解：设点B的坐标为（b，a），四边形ABCD为矩形，A（0，a），C（b，0），点P，E在反比例函数图形上，P（，a
15、），E（b，），直线PE的解析式为yx+a，令y0，则x+a0，x+b，F（+b，0），CF+bb，P（，a），AP，APCF，四边形OABC是矩形，OABC，ABOC，四边形ACFP是平行四边形，S四边形ACFPCFOAak，故正确；四边形ACFP是平行四边形，ACDF，OABC，四边形ADEC是平行四边形，故正确；，B（b，a），ABb，P（，a），AP，ab4k，直线PE的解析式为yx+a，D（0，+a），A（0，a），AD+aa，故错误；SCEF1，1，2，SPBE4，（b）（a）4，abkk+8，k22k60，k2（舍）或k6，故正确，正确的有，故选：A【考点评析】此题是反比例函数综
16、合题，主要考查了矩形的性质，三角形平行四边形的面积公式，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APFC是平行四边形是解本题的关键9（2分）（乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y的图象过点C当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（）A2B3C5D7【思路点拨】设OA3a，则OB4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是yx，OA的中垂线的解析式是x，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解【规
17、范解答】解：设OA3a，则OB4a，A（3a，0），B（0，4a）设直线AB的解析式是ykx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是yx+4a，直线CD是AOB的平分线，则OD的解析式是yx根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是x，则C的坐标是（，），将C点坐标代入反比例函数y，则k设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DEx轴于点E，如图，则OFCF，OEDEa，DOA45，COF和DOE为等腰直角三角形，OCOFa，ODOEa，CDODOC（）（）a以CD为边的正方形的面积为，则a2，k7故选：D【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和
18、D的坐标是解决本题的关键二填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）10（2分）（舟山期末）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线（k0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k8【思路点拨】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线（k0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作ADOB于D，EFOB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EFAD，得到EF为ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OBOD可得BD的长，根据F为BD的中点，得
19、到FB的长，由OBFB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为24，列出等式，将a3x代入可得出k的值【规范解答】解：设A（x，），B（a，0），过A作ADOB于D，EFOB于F，如图，由平行四边形的性质可知AEEB，EF为ABD的中位线，由三角形的中位线定理得：EFAD，DF（ax），OF，E（，），E在双曲线上，k，a3x，平行四边形的面积是24，a3x3k24，解得：k8故答案为：8【考点评析】此题考查了反比例函数的应用，涉及的知识有：平行线
20、的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系11（2分）（大安市期末）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是【思路点拨】设A（x1，y1），B（x2，y2），而A、B两点都在的图象上，故有x1y1x2y21，
21、而SODBBDODx2y2，SOCAOCACx1y1，故正确；由A、B两点坐标可知P（x1，y2），P点在的图象上，故S矩形OCPDOCPDx1y2k，根据S四边形PAOBS矩形OCPDSODBSOCA，计算结果，故正确；由已知得x1y2k，即x1k，即x1kx2，由A、B、P三点坐标可知PAy2y1，PBx1x2，（k1）x2，故错误；当点A是PC的中点时，y22y1，代入x1y2k中，得2x1y1k，故k2，代入x1kx2中，得x12x2，可知正确【规范解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1x2y21，SODBBDODx2y2，SOCAOCACx1y1，故正确；
22、（2）由已知，得P（x1，y2），P点在的图象上，S矩形OCPDOCPDx1y2k，S四边形PAOBS矩形OCPDSODBSOCAkk1，故正确；（3）由已知得x1y2k，即x1k，x1kx2，根据题意，得PAy2y1，PBx1x2，（k1）x2，故错误；（4）当点A是PC的中点时，y22y1，代入x1y2k中，得2x1y1k，k2，代入x1kx2中，得x12x2，故正确故本题答案为：【考点评析】本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k12（2分）（镇海区校级自主招生）如图，OAP
23、、ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y（x0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（1+，0）【思路点拨】若OAP是等腰直角三角形，那么POA45，即直线OP：yx，联立双曲线解析式可求得P（2，2），即A（2，0），然后结合直线OP的斜率求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得解【规范解答】解：OAP是等腰直角三角形，直线OP：yx，联立y（x0）可得P（2，2），A（2，0），由于直线OPAQ，可设直线AQ：yx+h，则有：2+h0，h2；直线AQ：yx2；联立y（x0）可得Q（1+，1），即B（1+，0）故答案为：（
24、1+，0）【考点评析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及函数图象交点坐标的求法，难度适中13（2分）（深圳校级二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC3AB，A，B两点的坐标分别是（1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y（x0）的图象上，则k的值等于24【思路点拨】设点C坐标为（a，），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC3AB3，可求出a的值，继而得出k的值【规范解答】解：设点C坐标为（a，），（a0），点D的坐标为（x，y）四边形ABCD是平行四边形，AC与BD的中点坐标相同，（a1，+0）（x+0，
25、y+2），则xa1，y，代入y，可得：k2a2a2 ；在RtAOB中，AB，BC3AB3，故BC2（0a）2+（2）2（3）2，整理得：a4+k24ka41a2，将k2a2a2，代入后化简可得：a29，a0，a3，k61824故答案为：24方法二：因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的故设点C坐标是（a，2+b），点D坐标是（1a，b），（a0，b0）根据k的几何意义，|a|2+b|1a|b|，整理得2a+abb+ab，解得b2a过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，由已知易得AD3，AHa，DHb2aAD2AH2+DH2，即45a2+
26、4a2，得a3所以D坐标是（4，6）所以|k|24，由函数图象在第二象限，所以k24【考点评析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；根据BC3AB3，得出方程，难度较大，注意仔细运算14（2分）（锦州模拟）如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA4，OC2，G为矩形对角线的交点，经过点G的双曲线与BC相交于点M，则CM：MB1：3【思路点拨】由于G为矩形对角线的交点，那么G是OB的中点，而OA4，OC2，由此可以确定D的坐标，然后可以求出函数的解析
27、式，又双曲线与BC相交于点M，所以M的纵坐标是2，代入解析式即可求出横坐标，也就求出CM的长度，这样就可以解决题目的问题【规范解答】解：G为矩形OABC对角线的交点，而，OA4，OC2，G的坐标为（2，1），k2，y，双曲线与BC相交于点M，M的纵坐标是2，M的横坐标x1，CM1，MB3，CM：MB1：3故答案为：1：3【考点评析】此题主要考查了反比例函数图象和性质，也利用了点的坐标与线段长度的关系及矩形的性质，首先利用矩形的性质确定反比例函数解析式，然后利用图象和性质解决问题15（2分）（瓯海区校级自主招生）直线ya分别与直线yx和双曲线y交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为
28、点B，C若四边形ABCD是正方形，则a的值为1或【思路点拨】先根据直线ya分别与直线yx和双曲线y交于D、A两点用a表示出AD两点的坐标，再根据四边形ABCD是正方形可得出ABAD，由此即可求出a的值【规范解答】解：直线ya分别与直线yx和双曲线y交于点D、A，A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，四边形ABCD是正方形，ABAD，即2aa，解得a1或a1当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2aa，解得a故答案为：1或【考点评析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意求出A、D两点的坐标是解答此题的关键16（2分）（前进区期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1A1A2A2A3，
29、过点A1、A2、A3、分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1、P2、P3、，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、，设其面积分别为S1、S2、S3、，则Sn的值为【思路点拨】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S，由反比例函数解析式中k2，得出OA1P1，OA2P2，OA3P3，OAnPn的面积都为1，而An1An为OAn的，且An1AnPn与OAnPn的高为同一条高，故An1AnPn的面积为OAnPn的面积的，由OAnPn的面积都为1，得出An1AnPn的面积，即为Sn的值【规范解答】解：连接OP2，OP3，O
30、Pn，如图所示：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S1，即SOA1P1SOA2P2SOA3P3SOAnPn1，又OA1A1A2A2A3An1An，An1AnOAn，SnSAn1AnPnSOAnPn故答案为：【考点评析】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y（k0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S17（2分）（咸阳模拟）如图，已知梯形
31、ABCO的底边AO在x轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB1：2，若OBC的面积等于3，则k的值是【思路点拨】设C（x，y），BCa过D点作DEOA于E点根据DEAB得比例线段表示点D坐标；根据OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解【规范解答】解：方法一、设C（x，y），BCa则ABy，OAx+a过D点作DEOA于E点OD：DB1：2，DEAB，ODEOBA，相似比为OD：OB1：3，DEABy，OEOA（x+a）D点在反比例函数的图象上，且D（x+a），y），y（x+a）k，即xy+ya9k，C点在反比例函数的图象上，则xyk，ya8kOBC的面积等于3，ya3
32、，即ya68k6，k方法二、过D点作DEOA于E点延长BC交y轴于点F，点D，点C是y上的两点，SODESOFC，BCAO，ABAO，AOF90，四边形ABFO是矩形，SAOBSBOF，SOBCS四边形ABDE3，DEAB，ODEOBA，（）2，SOAB9SODE，S四边形ABDE38SODE，SODE，k，故答案为：【考点评析】此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强18（2分）（永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A90，ABAC，A（1，0）、B（1，1），将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B1、C1正好
33、落在反比例函数的图象上，则k6【思路点拨】过C作CM垂直于x轴，过B作BN垂直于x轴，由AC与AB垂直，得到一对角互余，再由CM与MA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由ABAC，且一对直角相等，利用AAS得出三角形ACM与三角形ABN全等，由全等三角形的对应边相等得到CMAN，AMBN，由A与B的坐标得出AM与CM的长，由OA+AM求出OM的长，确定出C的坐标，由平移的性质得到C1和B1的纵坐标不变，且横坐标相差3，设出C1与B1的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去k求出m的值，即可得到k的值【规范解答】解：过C作CMx轴，过B作BNx轴，CAB90，
34、CAM+BAN90，又MCA+CAM90，MCANAB，在ACM和BAN中，ACMBAN（AAS），A（1，0）、B（1，1），CMAN2，AMBN1，C（2，2），设反比例函数为y（k0），点C1和B1在该比例函数图象上，由平移的性质，可设C1（m，2），则B1（m+3，1），把点C1和B1的坐标分别代入y，得k2m；km+3，2mm+3，解得：m3，则k6故答案为：6【考点评析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键19（2分）（陕西校级模拟）如图，反比例函数y（x0）的图象经过矩形OAB
35、C对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为2【思路点拨】设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则kab，即y，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，利用S矩形OABCSOAD+SOCE+S四边形ODBE，得到2a2b2ab+2ba+6，求出ab，即可得到k的值【规范解答】解：设M点坐标为（a，b），则kab，即
36、y，点M为矩形OABC对角线的交点，A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，又点D、点E在反比例函数y的图象上，D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，S矩形OABCSOAD+SOCE+S四边形ODBE，2a2b2ab+2ba+6，ab2，k2故答案为2【考点评析】本题考查了反比例函数综合题：先设反比例函数图象上某点的坐标，然后利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特点表示其它有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系，从而解决问题三解答题（共8小题，满分62分）20（8分）（济南期末）如图，函数y（x0）的图象过点A（n，2）和B（，2n3）两
37、点（1）求n和k的值；（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y（x0）于点C，若SACO6，求直线DE解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m，），过C作CHx轴与OA交于点H，根据SACO6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：当EDF90，DE
38、DF时，当DEF90，DEEF时，当DFE90，DFEF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可【规范解答】解：（1）函数y（x0）的图象过点A（n，2）和B（，2n3）两点，解得，；（2）由（1）知，A（4，2），设直线OA的解析式为yax（a0），则24a，a，直线OA的解析式为：y，由（1）知反比例函数的解析式为：y，设C（m，），过C作CHx轴与OA交于点H，如图1，则H（m，m），CH，SACO6，解得，m8（舍），或m2，C（2，4），将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，设直线DE的解析式为：yx+c，把C（2，4）代入yx+c中，得41+c，解得，c3，直线DE的解析式为：yx+3
39、；（3）令x0，得yx+33，令y0，得yx+30，解得x6，D（6，0），E（0，3），当EDF90，DEDF时，如图2，过F作FGx轴于点G，ODE+FDGODE+OED90，OEDGDF，DOEFGD90，DEFD，ODEGFD（AAS），DG0E3，FGDO6，F（9，6）；当DEF90，DEEF时，如图3，过F作FGy轴于点G，ODE+DEOGEF+OED90，ODEGEF，DOEFGE90，DEEF，ODEGEF（AAS），EGDO6，FGEO3，F（3，9）；当DFE90，DFEF时，如图4，过点F作FGx轴于点G，作FHy轴于点H，DFEGFH90，DFGEFH，DGFEHF9
40、0，DFEF，DGFEHF（AAS），GFHF，DGEH，FGOGOHOHF90，四边形OGFH为正方形，OGOH，即6DG3+EH，DGEH，OGOH，F（）；综上，第二象限内存在点F，使得DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（9，6）或（3，9）或（）【考点评析】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论21（6分）（姑苏区校级月考）如图，一次函数ykx+b与反比例函数y的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的
41、表达式；（2）连接OA、OB，求AOB的面积；（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以 A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解；（2）由AOB的面积SAOHSBOH，即可求解；（3）当AB是对角线时，由中点坐标公式列出函数关系式，即可求解；当AM（AN）是对角线时，同理可解【规范解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6，解得：m6，故反比例函数表达式为：y，当x3时，y2，即点B（3，2），由题意得：，解得：，故一次函数的表达式为：y2x+8；（
42、2）设AB交x轴于点H，令y2x+80，解得：x4，即OH4，则AOB的面积SAOHSBOH46428；（3）设点M、N的坐标别为（m，1）、（0，n），当AB是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）；当AM是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即点M、N的坐标分别为：（2，1）、（0，5）；当AN是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即即点M、N的坐标分别为：（2，1）、（0，3）；综上，点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）或（2，1）、（0，5）或（2，1）、（0，3）【考点评析】本题考查的是反比例函数综合运用，主要考查了待定系数法求一
43、次函数和反比例函数解析式、三角形面积、平行四边形性质等，其中，分类求解是本题解题的关键22（6分）（封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，ABx轴于点A，DCx轴于点C，O是线段AC的中点，AB3，DC2（1）求反比例函数的表达式（2）连接BD，OB，OD，求ODB的面积（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）先求出B点坐标，再求出D点坐标，即可求函数的解析；（2）利用割补法可得SOBDS梯形ACDBSBAOSOCD；
44、（3）设Q（t，t），分三种情况讨论：当PAQ90时，APAQ，Q点与O点重合，此时P（2，2）； 当APQ90时，APPQ，t+2t，此时P（2，）；当PQA90时，PQAQ，t+2t，此时P（2，）【规范解答】解：（1）AB3，B点坐标轴为3，3，x2，B（2，3），O是线段AC的中点，C（2，0），CD2，D（2，2），k4，y；（2）SOBDS梯形ACDBSBAOSOCD（3+2）4232210325；（3）存在点P，使得APQ是等腰直角三角形，理由如下：设直线OB的解析式为ykx，2k3，k，yx，设Q（t，t），当PAQ90时，APAQ，Q点与O点重合，此时P（2，2）；当APQ9
45、0时，APPQ，t+2t，解得t，P（2，）；当PQA90时，PQAQ，t+2t，解得t，P（2，）；综上所述：P点坐标为（2，2）或（2，）或（2，）【考点评析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，分类讨论是解题的关键23（6分）（吴兴区期末）矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB4（1）如图1，若BE3AE求反比例函数的表达式；将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度（2
46、）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值【思路点拨】（1）首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OGx，则CG4x，FGx，利用勾股定理列方程，从而解决问题；（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF2m，再利用矩形面积减去OCF和BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值【规范解答】解：（1）BE3AE，AB4，AE1，BE3，E（8，1），k818，反比例函数表达式为y；当y4时，x2，F（2，4），CF2，设OGx，则CG4x，FGx，由勾股定
47、理得，（4x）2+22x2，解得x，OG；（2）点E、F在反比例函数的图象上，CF48m，CF2m，四边形OAEF的面积为84m2+4m+16（m2）2+20，0m4，当m2时，四边形OAEF的面积最大为20【考点评析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，配方法求代数式的最值等知识，表示出四边形OAEF的面积是解题的关键24（8分）（镇巴县期末）如图，一次函数yk1x+b（k10）与反比例函数y（k20）的图象交于点A（2，3），B（a，1），设直线AB交x轴于点C（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且
48、POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标【思路点拨】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，可得点B的坐标，再将A、B代入一次函数解析式，解方程即可；（2）首先求出点C的坐标，由PCPO，可知点P在OC的垂直平分线上，从而解决问题【规范解答】解：（1）将点A（2，3）代入得，k2236，y，将点B（a，1）代入y得，a6，B（6，1），将点A（2，3），B（6，1）代入yk1x+b得，解得，一次函数的解析式为yx+2；（2）当y0时，x+20，x4，C（4，0），PCPO，点P在OC的垂直平分线上，点P的横坐标为2，P（2，3）【考点评析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函
49、数解析式，函数与不等式的关系，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键25（8分）（达川区期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上，OA4，OC3，动点P在x轴的上方，且满足SPAOS矩形AOCB（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标【思路点拨】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m0），根据SPAO，构建方程即可
50、解决问题；（2）过点（0，2），作直线ly轴由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O，则OO4，连接AO交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【规范解答】解：（1）四边形OABC是矩形，OA4，OC3，点B的坐标为（4，3），点B在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上k12，y，设点P的纵坐标为m（m0），SPAOOAmOAOC，m2，当点，P在这个反比例函数图象上时，则2，x6点P的坐标为（6，2）（2）过点（0，2），作直线ly轴由（1）知，点P的纵坐标为2，点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O，则OO4，连
51、接AO交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，则PO+PA的最小值PO+PAOA4（3）如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知ABAPPQBQ3，P1（4，2），P2（4+，2），Q1（4，5），Q2（4+，5）如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（42，2），P4（4+2，2），Q3（42，1），Q4（4+2，1）综上所述，点Q的坐标为Q1（4，5），Q2（4+，5），Q3（42，1），Q4（4+2，1）【考点评析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论
52、的首先思考问题，属于中考压轴题26（10分）（姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC中，ABAC，BAC90，已知点A（0，6）、C（3，7），点B在第三象限内（1）求点B的坐标；（2）将ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、C两点的对应点B，C正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）过点B作BEy
53、轴于点E，过点C作CFy轴于点F，证明ACFBAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；（2）先用t表示B和C点的坐标，再根据“B、C正好落在某反比例函数的图象上”得B和C点的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；（3）分各种情况：BC为平行四边形的边，BC为平行四边形的对角线分别解答问题【规范解答】解：（1）如图1，过点B作BEy轴于点E，过点C作CFy轴于点F，则AFCAEB90，点A（0，6），C（3，7），CF3，AF1，ABAC，BAC90，CAF+BAECAF+ACF90，ACFBAE，ACFBAE（AAS），CFAE3，AFBE1，OEOAAE633
54、，B（1，3）；（2）根据题意得，B（1，3+2t），C（3，7+2t），设经过B、C的反比例函数解析式为：y（k0），k1（3+2t）3（7+2t），解得，t，k1（3+2t）396，反比例函数的解析式为：y；（3）存在，设P（n，0），由（2）知B（1，6），C（3，2），当BC为平行四边形的边时，则BCQP，BCQP，Q（n+2，4）或（n2，4），把Q（n+2，4）代入y中，得，4（n+2）6，解得，n，Q（，4），把Q（n2，4），代入y中，得，4（n2）6，解得，n，Q（，4）；当BC为对角线时，则BC的中点坐标为（2，4），PQ的中点坐标为（2，4），Q（4n，8），把Q点坐标代
55、入y中，得，8（n4）6，解得，n，Q（，8），综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形Q点坐标为（，4）或（，4）或（，8）【考点评析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况讨论27（10分）（南海区期末）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y（k0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC、AB于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D重合（1）当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角
56、线BC的关系；（2）如图2，连接CD，CDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；当CD平分ACO时，直接写出k的值【思路点拨】（1）连接BC，求出E（2，3），即得k236，从而F（4，），可知EF是ABC的中位线，故EFBC，EFBC；（2）连接BC，AD，求出AF3+，AE+4，可得，从而AFEABC，AFEABC，即得EFBC，又A，D关于EF对称，故ADEF，D在过A且与BC垂直的直线上；CDE的周长有最小值，根据CCDECD+CE+DECD+CE+AECD+ACCD+4，知当CDAD时，CD取最小值，CCDE也取最小值，由ACDBCA，有，即可得CDE的周长的
57、最小值为+4；当D在x轴上时，由ABDCAB，得BD，D（，0），可求出直线AD解析式为yx，直线CD解析式为yx+3，联立，解得D（，），即得AD的中点坐标为（，），求出直线BC解析式为yx+3，设直线EF解析式为yx+m，把（，）代入得m，故F（4，），k4【规范解答】解：（1）连接BC，如图：E为AC的中点，E（2，3），k236，把x4代入y得：y，F（4，），A（4，3），B（4，0），F是AB的中点，EF是ABC的中位线，EFBC，EFBC；（2）连接BC，AD，如图：将y3代入y得：x，将x4代入y得，y，AF3+，AE+4，AA，AFEABC，AFEABC，EFBC，A，D关于
58、EF对称，ADEF，ADBC，D在过A且与BC垂直的直线上；CDE的周长有最小值，如图：CCDECD+CE+DECD+CE+AECD+ACCD+4，当CDAD时，CD取最小值，CCDE也取最小值，此时，点D在BC上，CAD90ACBABC，ADC90BAC，ACDBCA，即，解得CD，CDE的周长的最小值为+4；当D在x轴上时，如图：ADBC，BAD90CADACB，ABD90BAC，ABDCAB，即，BD，D（，0），由A（4，3），D（，0）可得直线AD解析式为yx，当CD平分ACO时，由C（0，3）可得CD与x轴的交点坐标为（3，0），直线CD解析式为yx+3，联立，解得，D（，），AD的中点坐标为（，），由B（4，0），C（0，3）可得直线BC解析式为yx+3，设直线EF解析式为yx+m，把（，）代入得：（）+m，解得m，F（4，），k4【考点评析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理
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