1、专题2.11一元二次方程判别式与根与系数关系综合问题（重点点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷试题共24题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、解答题（本大题共24小题解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1（萧山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x1m（1）当m5时，试判断此方程根的情况（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）49，求m的值【分析】（1）把m5代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况（2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，再根据题意得
2、到关于m的方程，解方程即可求解【解析】（1）当m5时，原方程为x2+4x+40，424140，此方程根有两个相等的实数根（2）x1，x2是方程x2+4x1m，即x2+4x+m10不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）49，4241（m1）0，解得m5（1m）249，解得m16，m28（舍去）故m的值是62（上虞区期末）解答下列各题：（1）用配方法解方程：x28x40（2）已知一元二次方程2x2mxm0的一个根是，求m的值和方程的另一个根【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）设方程的另一个根是a，根据根与系数的关系得出a+（），a，求
3、出a、m的值即可【解析】（1）x28x40，x28x4，x28x+164+16，（x4）220，x4，x14+2，x242；（2）设方程的另一个根是a，一元二次方程2x2mxm0的一个根是，根据根与系数的关系得：a+（），a，解得：m1，a1，即m1，方程的另一个根是13（乐清市月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m2+10（1）若方程有两实数根，求m的范围；（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1|+|x2|x1x2，求m【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知0，求出m的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2（2m1），x1x2m2+1，由0可得出方程
4、的两根同号，分x10，x20或x10，x20两种情况求出m的值即可【解析】（1）关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m2+10有两实数根，0，即（2m1）24（m2+1）0，解得：m；（2）方程两实根为x1，x2，x1+x2（2m1），x1x2m2+1，x1x2m2+10，方程的两根同号若x10，x20，则有|x1|+|x2|x1+x2（2m1），（2m1）m2+1，即m2+2m0，m0或2，若x10，x20，则有|x1|+|x2|（x1+x2）2m1，2m1m2+1，即m22m+20，无解，m，m24（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m210（1）若方程有两
5、个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x25，求实数m的值【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，0，列式计算出m的值；（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x1+x2+x1x25中得：m14，m22，再根据的取值确定其m的值【解析】（1）2（m+1）241（m21）0，4（m+1）24m2+40，8m8，m1，则当m1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x1+x22（m+1）2m2，x1x2m21，x1+x2+x1x25，2m2+m215，m22m80，（m4）（m+2）0，m14，m22，方程两实数根分别为x1，
6、x2，0，m1，m45（永嘉县校级期末）已知关于x的方程x2mx+2m10的两根分别为x1，x2且x12+x227，求m的值【分析】利用根与系数的关系可得到关于m的方程，可求得m的值，借助根的判别式进行验证即可【解析】关于x的方程x2mx+2m10的两根分别为x1，x2，x1+x2m，x1x22m1，x12+x22（x1+x2）22x1x2m24m+2，x12+x227，m24m+27，解得m5或m1，当m1时，（m）24（2m1）130，满足条件，当m5时，（m）24（2m1）110，不符合条件，舍去，m16（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2（2k2）x+k20有两个实数根x1，
7、x2（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|x1x21，求k的值【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到（2k2）24k20，然后求出不等式的解即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x22k2，x1x2k2，加上k，则可判断2k20，所以|x1+x2|x1x21，可化简为：k2+2k30，然后解方程求出k的值【解析】（1）方程有两个实数根x1，x2，（2k2）24k20，解得k；（2）由根与系数关系知：x1+x22k2，x1x2k2，k，2k20，又|x1+x2|x1x21，代入得，|2k2|k21，可化简为：k2+2k30解得k1（不合题意
8、，舍去）或k3，k37（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k40有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1x2）2的值为12，求k的值【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得44（2k4）0，解不等式求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x22，x1x22k4，代入（x1x2）212得到关于k的方程，结合k的取值范围解方程即可【解析】（1）由题意可得44（2k4）0，解得k；（2）x1，x2为该方程的两个实数根，x1+x22，x1x22k4，（x1x2）212，（x1+x2）24x1x212，44（2k4）12，
9、解得k1k，k1符合题意8（章贡区期末）关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m20有实数根（1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12+x227，求m的值【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x212m，x1x2m2，结合x12+x227可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论【解析】（1）关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m20有实数根，（2m1）241m24m+10，解得：m（2）x1，x2是一元二次方程x2+（2m1）x+m20的两个实数根，x1+
10、x212m，x1x2m2，x12+x22（x1+x2）22x1x27，即（12m）22m27，整理得：m22m30，解得：m11，m23又m，m19（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x23x+m20有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足2x1|x2|+1，求m的值【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值【解析】（1）关于x的一元二次方程x23x+m20有两个实数根，0，即94（m2）0解得m答：m的求值范围为m（2）根据根与系数的关系：x1+x23，x1x2m2，x1，x2满足2x1|x2|+1，当x20时，2
11、x1x2+1把x23x1代入，得2x13x1+1解得x1，x2，m2x1x2m当x20时，2x1x2+12x1+3x11解得x12，x25，2x1|x2|+1，x12，x25（不符合题意，舍去）答：m的值为10（梁溪区期末）已知关于x的方程：（k2）x2kx+20（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根【分析】（1）把x2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系解答；（2）证明根的判别式是非负数0即可【解析】（1）把x2代入方程：（k2）x2kx+20，得：4（k2）2k+20解得：k3由根与系数的关系得x1+x2，即2+x23，所以
12、x21；（2）证明：当k20即2时，该方程是2x+20，此时x1，符合题意当k20，时，b24ac（k）24（k2）2（k4）20，该方程总有实数根综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根11（平顶山期末）关于x的一元二次方程（k2）x24x+20有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程y2+my30的一个根，求该方程的另一个根【分析】（1）根据题意可得根的判别式0，列出不等式求解即可；（2）设方程的另一个根为n，求得k的最大值为3，根据根与系数的关系得到3n3，即可求得n1【解析】（1）由题意得：b24ac（4）24（k2）20，且k20
13、，k4且k2（2）设方程的另一个根为n，k的最大整数是3，3是关于y的一元二次方程y2+my30的一个根，3n3，解得n1，该方程的另一个根为112（拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a0，和方程ax2+bx+10（a0）（1）若方程的根为x12，x23，求方程的根；（2）当方程有一根为xr时，求证x是方程的根；（3）若a2b+b0，方程的根是m与n，方程的根是s和t，求的值【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程，然后利用因式分解法解方程即可；（2）根据方程根的定义得到r2+br+a0，两边同除r2得10，即可证得x是方程的根；（3）根据题意b0，根据根与系数的关系
14、得到m+n0，s+t0，从而得到mn，st，即可得到msnt，进而求得1【解析】（1）方程x2+bx+a0的根为x12，x23，b2+35，a236，方程为6x25x+10，（3x1）（2x1）0，方程的根为x1，x2；（2）方程有一根为xr，r2+br+a0，两边同除r2得10，是方程ax2+bx+10的根，x是方程的根；（3）a2b+b0，b0，方程的根是m与n，方程的根是s和t，m+n0，mna，s+t0，st，amn，mn，st，msnt，113（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2（2m+4）x+m2+4m0（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根（2）设方程的
15、两个实数根分别为x1，x2；求代数式4x1x2的最大值；若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长【分析】（1）通过根的判别式求解（2）通过两根之积与两根之和的关系将4x1x2配方求解把x6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值【解析】（1）（2m+4）24（m2+4m）160，此方程总有两个不相等的实数根（2）4x1x2（x1+x2）26x1x2，x1+x22m+4，x1x2m2+4m，（x1+x2）26x1x2（2m+4）26（m2+4m）2m28m+162（m+2）2+24，当m2时4x1x2的最大值为24
16、把x6代入原方程可得m28m+120，解得m2或m6，当m2时，原方程化简为x28x+120，解得x2或x6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在当m6时，原方程化简为x216x+60，解得x6或x10三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时三角形周长为26等腰三角形周长为14或22或2614（下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长（3）若方程的两个实数根之差等于3，
17、求k的值【分析】（1）先计算，化简得到（2k3）2，易证0，再根据意义即可得到结论；（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；（3）方程的两个实数根之差等于3，所以，解方程即可得k值【解析】（1）（2k+1）2414（k）4k212k+9（2k3）2，无论k取何值，（2k3）20，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x，x12k1，x22另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，设b2k1，c2，当a，b为腰时，则ab4，即2k14，计算得出k，此时三角形周长为4+4+210；当b，c为腰时，bc2，此时b+ca，构不成三角形，故此种情况不存
18、在综上所述，ABC周长为10（3）方程的两个实数根之差等于3，解得：k0或315（拱墅区校级月考）已知一元二次方程mx2+nx（m+n）0（1）试判断方程根的情况；（2）若方程的两根x1，x2满足x1x21，n1，求m的取值范围【分析】（1）根据的值，可以判断该方程根的情况，故只要计算的值即可；（2）将n1代入方程，然后根据根与系数的关系x1x2和x1x21，即可求得m的取值范围【解析】（1）一元二次方程mx2+nx（m+n）0，n24m（m+n）（n+2m）20，该方程有两个实数根；（2）将n1代入方程mx2+nx（m+n）0，得mx2+x（m+1）0，方程的两根x1，x2满足x1x21，x
19、1x21，当m0时，上面的不等式无解；当m0时，可得m0，即m的取值范围是m016（新郑市期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m1）xm2+10（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到（m1）24（m2+1）0，然后解不等式确定m的取值范围；（2）把x1是方程的一个根，代入方程求得mm2+10，解得m的值，代入求得答案即可【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，b24ac（m1）24（m2+1）2m30，m；m的取值范围为m（2）方程有一根为1，将x1代入原方程中，得mm2+10，解这个
20、方程，得m1m22，把m2代入原方程中，得x23x+20，解得x11，x22，即方程的另一根为2，m的值为2，方程另一根为217（涪城区模拟）已知关于x的方程3x2mx+20（1）若方程有两相等实数根，求m的取值；（2）若方程其中一根为，求其另一根及m的值【分析】（1）由方程有两相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的方程，解之即可得出实数m的取值；（2）设方程的另一根为x2，由根与系数的关系即可得出关于m、x2的二元一次方程组，解之即可得出结论【解析】（1）依题意得：b24ac（m）2432m2240，解得：m2故m的取值为2（2）设方程的另一根为x2，由根与系数的关系得：，解得：故另一根为
21、1，m的值为518（昆山市模拟）关于x的一元二次方程x2（2m+1）x+m0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值【分析】（1）计算判别式的值得到4m2+1，利用非负数的性质得0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系得x1+x22m+1，x1x2m，利用x12+x223得到（2m+1）22m3，然后解方程即可【解答】（1）证明：（2m+1）24m4m2+1，4m20，0，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1，x2是该方程的两根，则x1+x22m+1，x1x2m，x12+x223
22、，（x1+x2）22x1x23，（2m+1）22m3，解得m或119（绥化模拟）关于x的一元二次方程kx2+5x20有两个实数根（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2x12x221，求k的值【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围还要注意二次项系数不为0（2）根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，代入x1+x2x12x221，即可求出k值【解析】（1）方程有两个实数根，根的判别式b24ac25+8k0，解得k又该方程是关于x的一元二次方程，k0实数k的取值范围是k且k0（2）由根与系数的关系得到
23、：x1+x2，x1x2，x1+x2x12x221，（）21整理，得k2+5k+40解得k4或k1经检验，k4或k1是原方程的解，又由（1）知，k且k0k120（三台县期末）（1）解方程：2x2x10（2）已知关于x的方程无解，方程x2+kx+60的一个根是m求m和k的值；求方程x2+kx+60的另一个根【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把分式方程化为整式方程解得xm1，利用分式方程无解得到m2，把x2代入方程x2+kx+60中可求出k的值；设方程的另外一个根是t，利用根与系数的关系得到2t6，然后解关于t的方程【解析】（1）（2x+1）（x1）02x+10或x10所以x1，x21；（
24、2）解：去分母得m1x0，解得xm1，而分式方程无解，则x10，所以m110，解得m2，把x2代入方程x2+kx+60得4+2k+60，解得k5；设方程的另外一个根是t，则2t6，解得t3，所以方程x2+kx+60的另一个根为321（闵行区期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x23x+20（m为常数）（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围【分析】（1）根据根的判别式b24ac0，m+10来求m的取值范围；（2）方程有两个相等的实数根，则b24ac0，则可求出答案；（3）方程没有实数根，则b24
25、ac0，可求出答案【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，b24ac（3）242（m+1）8m+10，且m+10，m且m1，m的取值范围是m且m1，（2）方程有两个相等的实数根，b24ac8m+10，m（3）方程没有实数根，b24ac8m+10，mm的取值范围是m22（杨浦区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2（3m1）x+2m10（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解【分析】（1）先计算根的判别式的值得到m22m+1，配方得（m1）2，再根据非负数的性质得到0，然后根据根的判别式的意义即可得到结论（2）利用根的判别式的定义得到（3
26、m1）24m（2m1）1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m2，即可求得一元二次方程为2x25x+30，因式分解法解方程即可求得方程的解【解析】（1）关于x的一元二次方程mx2（3m1）x+2m10（3m1）24m（2m1）（m1）20，无论m为任何实数，方程总有实根（2）由题意得，（3m1）24m（2m1）1，解得m10，m22，而m0，m2，关于x的一元二次方程为2x25x+30（2x3）（x1）0，解得x1，x2123（静安区校级期中）已知关于x的方程x2+2kxx（k2）2，当k取何值时，此方程：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根【分析】首先利用根的判别式得出关于x的
27、方程x2+（2k1）x+（k2）20的判别式，再根据（1）当0，方程有两个不相等的实数根；（2）当0，方程没有实数根建立k的不等式求得k的取值范围即可【解析】方程化为：x2+（2k1）x+（k2）20，（2k1）24（k2）212k15（1）当12k150，k时，方程有两个不相等的实数根；（2）当12k150，k时，方程没有实数根24（薛城区模拟）阅读材料：已知方程p2p10，1qq20且pq1，求的值解：由p2p10，及1qq20，可知p0，q0又pq1，p1qq20可变形为（）2（）10根据p2p10和（）2（）10的特征p、是方程x2x10的两个不相等的实数根，则p1，即1根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答已知：2m25m10，20且mn，求（1）mn的值；（2）【分析】由20得到2n25n10，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x25x10的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n，mn，利用完全平方公式变形得到原式（m+n）24mn，然后利用整体代入的方法计算【解析】20，2n25n10，根据2m25m10和2n25n10的特征，m、n是方程2x25x10的两个不相等的实数根，m+n，mn，（1）mn；（2）原式29
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