1、第二章习题课 1 常见的数列求和及应用自主学习知识梳理1等差数列的前 n 项和公式：Sn_.2等比数列前 n 项和公式：当 q1 时，Sn_；当 q1 时，Sn_.3常见求和公式有：12n_.135(2n1)_.2462n_.*122232n216n(n1)(2n1)*132333n314n2(n1)2.自主探究拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整1nn1_.12n12n1_.1nn1n2_.1n n1_.1a b_.对点讲练知识点一 分组求和例 1 求和：Snx1x2x21x2 2xn1xn 2.总结 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比
2、数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和变式训练 1 求数列 1,1a,1aa2，1aa2an1，的前 n 项和 Sn(其中a0)知识点二 拆项相消例 2 求和：1221132114211n21，(n2)总结 如果数列的通项公式可转化为 f(n1)f(n)的形式，常采用拆项求和法变式训练 2 求和：1 11211231123n.知识点三 奇偶并项例 3 求和：Sn1357(1)n(2n1)变式训练 3 已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前 n 项和 Sn.求数列前 n 项和，一般有下列几种方法1错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分
3、组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列3拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项当数列通项中出现(1)n 或(1)n1 时，常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加例如，等差数列前 n 项和公式的推导方法.课时作业一、选择题1已知数列an的通项 an2n1，由 bna1a2a3ann所确定的数列bn的前 n项之和是()An(n2)B.12n(n4)C.12n(n5)D.12n(n7)2已知数列an为等比数列，前三项为 a，12a12，13a13，则 Tna21a22a2n等于()A91 23nB811 23nC811 49n
4、D.815 1 49n3设数列 1，(12)，(124)，(12222n1)的前 m 项和为 2 036，则 m的值为()A8B9C10D114在 50 和 350 之间末位数是 1 的所有整数之和是()A5 880B5 539C5 280D4 8725已知 Sn1234(1)n1n，则 S17S33S50 等于()A0B1C1D2题 号12345答 案二、填空题6(1002992)(982972)(2212)_.7在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是_8若1352x1112 123 1341xx1132(xN*)，则 x_.三、解答题9求和 Sn1(112)(11
5、214)(11214 12n1)10设正项等比数列an的首项 a112，前 n 项和为 Sn，且 210S30(2101)S20S100.(1)求an的通项；(2)求nSn的前 n 项和 Tn.习题课 1 常见的数列求和及应用知识梳理1.na1an2 na1nn12d2na1 a11qn1q a1anq1q3.nn12 n2 n2n自主探究1n 1n1 1212n112n1121nn11n1n2 n1 n 1ab(a b)对点讲练例 1 解 当 x1 时，Snx1x2x2 1x2 2xn 1xn 2x221x2 x421x4 x2n2 1x2n(x2x4x2n)2n1x2 1x4 1x2nx2
6、x2n1x21x21x2n1x22nx2n1x2n21x2nx212n当 x1 时，Sn4n.综上知，Sn4n，x1x2n1x2n21x2nx212n，x1.变式训练 1 解 当 a1 时，则 ann，于是 Sn123nnn12.当 a1 时，an1an1a 11a(1an)Sn 11an(aa2an)11ana1an1a n1aa1an1a2.Snnn12 a1，n1aa1an1a2a1.例 2 解 1n211n1n1121n1 1n1，原式12113 1214 13151n1 1n1121121n 1n1 34 2n12nn1.变式训练 2 解 an112n2nn121n 1n1，Sn21
7、1212131n 1n1 2nn1.例 3 解 当 n 为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2n12(2n1)n.当 n 为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n2n.Sn(1)nn(nN*)变式训练 3 解 n 为偶数时，令 n2k(kN*)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3k32n；当 n 为奇数时，令 n2k1(kN*)SnS2k1S2ka2k13k(6k1)3n12.Sn3n12 n为奇数，3n2n为偶数.课时作业1C a1a2ann2(2n4)n22n.bnn2，bn 的前 n 项和 Snn
8、n52.2D 由12a122a13a13，解得 a3(a1 舍去)a13，a22，a343，a2n是以 a219 为首项，以49为公比的等比数列，Tn91 49n149815 1 49n.3C an2n1，Sn2n1n2，代入选项检验，即得 m10.4A S5161341303415125 880.5B S17(12)(34)(1516)179，S33(12)(34)(3132)3317，S50(12)(34)(4950)25，所以 S17S33S501.65 050解析(1002992)(982972)(2212)1009921100100125 050.71 473解析 100 内所有能被
9、 3 整除的数的和为S136993339921 683.100 内所有能被 21 整除的数的和为 S221426384210.100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1S21 6832101 473.811解析 1352x1112 1231xx1x21 1x1 x2xx1x(x1)132，x11.9解 考察通项 an11214 12n1112n1122 12n1Sn(2120)(2121)(2122)(2 12n1)2n(1121122 12n1)2n112n1122n2 12n1Sn2n2 12n1.10解(1)由 210S30(2101)S20S100，得S30S20S20S10 1210，设公比为 q，则a11q301qa11q201qa11q201qa11q101q 1210，即 q10 1210，所以 q12，所以 an12 12n1 12n，即 an12n，n1,2，.(2)因为an是首项 a112，公比 q12的等比数列所以 Sn121 12n1121 12n，nSnnn2n.则数列nSn的前 n 项和Tn(12n)12 222n2n Tn2 12(12n)122 223n12n n2n1，得Tn2 12(12n)12 12212n n2n1nn14121 12n112 n2n1，即 Tnnn12 12n1 n2n2.