1、专题1.4 二次根式的乘除（知识讲解）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（0，0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.特别说明： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)； (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：0，0，.0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.
2、 积的算术平方根:（0，0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0，0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（0，0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，0，0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二
3、次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（0，0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、最简二次根式判断化简求参数1判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是
4、？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是解：（1）不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；（2）不是最简二次根式，被开方数含分母（3）是最简二次根式，符合两个条件；（4）是最简二次根式，被符合两个条件；（5）不是最简二次根式，被开方数含分母（6）不是最简二次根式，被开方数含分母【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式举一反三：【变式1】
5、在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简（1），（2），（3），（4），（5）【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），符合最简二次根式两个条件；（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式【点拨】本题考查最简二次根式的定
6、义解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式：(1) ；(2)；(3)；【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）把32写成162，然后化简；（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（3）分子分母都乘以3，然后化简解：（1）；（2）；（3）【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键2已知和是相等的最简二次根式求，的值；求的值【答案】的值是，的值是；（2）【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，
7、b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可解：（1）和是相等的最简二次根式，解得，的值是，的值是；（2）【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.举一反三：【变式1】若与最简二次根式能合并，则m的值为（）A7B9C2D1【答案】D【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得解：，与最简二次根式能合并，解得，故选：D【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键【变式2】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值【答案】【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值【详解】解
8、： 与是被开方数相同的最简二次根式解得：符合题意【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数类型二、二次根式乘法运算化简3计算：【答案】【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题解：【点拨】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法举一反三：【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)6；(2)10；(3)1；(4)【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最
9、简二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可解（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：【变式2】设，则可以表示为（）ABCD【答案】D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可解：，故选D【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键类型三、二次根式除法运算化简4计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的
10、性质化简求出即可解：（1）原式；（2）原式【点拨】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简举一反三：【变式1】把化去分母中的根号后得()ABCD【答案】D【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可解：故选：D【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键【变式2】在化简时，有下列两种不同的方法：方法1：原式方法2：原式这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由【答案】方法1是错误的，方法2是正确的，理由见解析【分析】根据分式的基本性质可得方法1中当时，违背了分式的基本
11、性质，即可求解解：方法1是错误的，方法2是正确的理由如下因为题中已知条件并没有给出或隐含条件，而这里在约分以后将分子和分母同时乘以事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0所以方法1是错误的【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，分式的除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键类型四、二次根式乘除法混合运算化简求值5（1）计算：；（2）计算：【答案】（1）8；（2）0【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案解：（1）计算：=8；（2）=0【点拨】本题主
12、要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则举一反三：【变式1】计算：(1) ；(2)；(3)【答案】(1)；(2)1；(3)18【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可解（1）（2）1；（3）18【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键【变式2】计算：(1)；(2)【答案】(1)6；(2)【分析】（1）利用平方差公式运算即可；（2）先化为最简二次根式，再利用二
13、次根式的除法和乘法法则进行计算即可解（1）原式（2）原式【点拨】本题主要考查了最简二次根式和二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键中考真题专练1（贵州毕节中考真题）先化简，再求值：，其中【答案】；【分析】先化简分式，再代值求解即可；解：原式=，将代入得，原式=【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键2（辽宁阜新中考真题）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可原式当时，原式【点拨】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式3（广东广州中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可解：（1）；（2），【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键
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