1、2.4.2圆的一般方程 知识要点要点圆的一般方程1圆的一般方程的概念：当_时，二元二次方程 x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为_，半径长为_D2E24F0(D2，E2)12 D2E24F方法技巧圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2 的系数相等且不为 0；没有 xy 项对方程 x2y2DxEyF0 的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点(D2，E2)D2E24F0表示以(D2，E2)为圆心，以12 D2E24F为半径的圆基础自测
2、1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程都表示圆()(2)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则x 20 y 20 Dx0Ey0F0.()2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)解析：D22，E23，圆心坐标是(2，3)故选D.答案：D3方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为()Ak12 Bk12Ck12 Dk12解析：方程表示圆114k0k12.故选D.答案：D4经过圆x22xy20的圆心，且与直线xy0垂直的直线方程是_解析：由题意知圆心坐标是(1,0)，所以所求直线方程为y
3、x1，即xy10.答案：xy10题型一圆的一般方程的概念1若 x2y24x2y5k0 表示圆，则实数 k 的取值范围是()ARB(，1)C(，1D1，)解析：由方程x2y24x2y5k0可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圆，则55k0，解得k1.故实数k的取值范围是(，1)故选B.答案：B2已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由题可得a2a2，解得a1或a2.当a1时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程不表示圆答案：(2，4)，5方法技巧形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否
4、表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令 D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解题型二求圆的一般方程例 1已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解析：方法一设ABC 的外接圆方程为 x2y2DxEyF0，A，B，C 在圆上，116D4EF0，492D3EF0，16254D5EF0，D2，E2，F23，ABC 的外接圆方程为 x2y22x2y230，即(
5、x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为 5.方法二kAB431213，kAC45143，kABkAC1，ABAC.ABC 是以角 A 为直角的直角三角形，外心是线段 BC 的中点，坐标为(1，1)，r12|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.方法技巧待定系数法求圆的方程的解题策略1如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r.2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D、E、F.变式训练 1求经过点 A(2，4)且与直线 x3y260 相
6、切于点 B(8,6)的圆的方程解析：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为(D2，E2).圆与x3y260相切于点B，6E28D2(13)1，即E3D360.(2，4)，(8,6)在圆上，2D4EF200，8D6EF1000.联立，解得D11，E3，F30，故所求圆的方程为x2y211x3y300.题型三与圆有关的轨迹方程问题例 2已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程分析：(1)设出 C 点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为1列出方程，注意 A、B、C 三点不能共线；(2)设出
7、M 点坐标，利用中点关系，建立 M 点与 C 点坐标之间的关系，求出轨迹方程解析：(1)方法一设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A，B，C 三点不共线，所以 x3，且 x1.又 kAC yx1，kBC yx3，且 kACkBC1，所以 yx1yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3，且x1)方法二同法一得 x3，且 x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3，且x1)法三设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得
8、D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|12|AB|2，由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)设 C(x，y)，则直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且 x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x x032(x3，且x1)，y y002，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3，且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x
9、2)2y21(x3，且x1)方法技巧用代入法求轨迹方程的一般步骤变式训练 2点 A(2,0)是圆 x2y24 上的定点，点 B(1,1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程解析：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x2,2y)点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2y2xy10.易错辨析忽视圆的条件致错例3已知定点 A(a,2)在圆x2y22ax3ya2a0的外部，则 a 的取值范围为_解析：由题意知a242a232a2a02a2324a2a0.解得a2a94即 2a94.答案：(2，94)【易错警示】易错原因纠错心得忽视了二元二次方程表示圆的条件 D2E24F0，从而得到错误答案：a2.对于二元二次方程 x2y2DxEyF0 只有在 D2E24F0 的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2E24F0谢谢 观 看