1、第7讲函数的图象1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点，如最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换(3)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x).(4)翻折变换yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.1左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作如果x的系数不是1，需要把系数提出来
2、，再进行变换2上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作但平时我们是对yf(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”3函数图象的对称性(1)函数图象自身的轴对称f(x)f(x)yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称(2)函数图象自身的中心对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；函数yf(x)的图象关于(a,0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(
3、2ax)；函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)(3)两个函数图象之间的对称关系函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x对称(由axbx得对称轴方程)；函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称；函数yf(x)与y2bf(x)的图象关于点(0，b)对称；函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称1. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()答案A解析由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A满足故选A.2函数f(x)的图
4、象向右平移1个单位，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1答案D解析与曲线yex关于y轴对称的图象对应的函数为yex，再向左平移1个单位，可得函数f(x)的图象，故f(x)e(x1)ex1.3(2020天津高考)函数y的图象大致为()答案A解析因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x1时，y20，排除B.故选A.4(2021河源模拟)下列函数中，其图象与函数f(x)ln (x1)的图象关于直线x1对称的是()Ayln (1x) Byln (3x)Cyln (1x) Dyln (3x)答案B解析根据题
5、意，设yg(x)的图象与函数f(x)ln (x1)的图象关于直线x1对称，则有g(x)f(2x)，即g(x)ln (2x)1ln (3x)故选B.5已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则在下列给出的四个选项中，图中的图象对应的函数只可能是()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案C解析由图知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数对于A，当x0时，yf(|x|)f(x)，其图象在y轴右侧与图的相同，不符合，故错误；对于B，当x0时，对应的函数是yf(x)，显然B错误；对于D，当x0时，yf(x)，其图象在y轴左侧与图的不相同，不符合，故错误；对于C，yf(|x
6、|)其图象关于y轴对称，在y轴左侧与f(x)的图象相同，符合题意，所以C正确6设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_.答案x|x0或1x2解析作出f(x)的大致图象如图所示，不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为x|x0或10部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，再向左平移2个单位，即得y|x2|的图象，如图实线部分(4)当x0时，ysin|x|与ysinx的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故图象如图所示考向二识图与辨图例2(1)(2021淄博二
7、模)函数f(x)(exex)tanx的部分图象大致为()答案D解析因为f(x)(exex)tanx，xk，kZ，定义域关于原点对称，且f(x)(exex)tan(x)f(x)，所以函数为奇函数，故排除C；当x0时，f(0)0，故排除B；当x1时，f(1)0，故排除A.故选D.(2)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()答案B解析yf(x)yf(x)yf(2x)yf(2x)故选B.(3)(2021浙江高考)已知函数f(x)x2，g(x)sinx，则图象如图的函数可能是()Ayf(x)g(x)Byf(x)g(x)Cyf(x)g(x)Dy答案D解析易知函数f
8、(x)x2是偶函数，g(x)sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数对于A，yf(x)g(x)x2sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；对于B，yf(x)g(x)x2sinx也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；对于C，因为当x(0，)时，f(x)单调递增，且f(x)0，当x时，g(x)单调递增，且g(x)0，所以yf(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D. 函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断
9、图象的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象2.如图可能是下列哪个函数的图象()Ay2xx21ByCy(x22x)exDy答案C解析函数的定义域为R，排除D；当x0，A中，x1时，y2111b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)axb的图象是()答案A解析由图可知b1,0a1，所以函数g(x)axb的图象应是单调递减的，且由指数函数yax的图象向下平移|b|个单位得到故选A.4(2021德州二模)函数f(x)的部分图象大致为()答案A解析由知，f(x)为偶函数，f(1)0， 0，故排除B，C；，易知此数是非常小的正数，由此排除D.故选A.多角度探究突破考向三函数图象的应用角度研究
10、函数的性质例3(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则下列结论正确的是()A2是函数f(x)的周期B函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增C函数f(x)的最大值是1，最小值是0D当x(3,4)时，f(x)x3答案ABD解析由已知条件得f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)1x，画出函数yf(x)的部分图象如图所示由图象知B正确，C不正确；当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此D正确故选ABD. 利用函数的图象研究函数的性质对
11、于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性5.已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)答案C解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1
12、)上单调递减角度利用图象解决方程根的问题例4(2021洛阳市第一次联考)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(0,3) C(0,2) D(0,1)答案D解析画出函数f(x)的图象，如图所示，方程f(x)a0有三个不同的实数根，即函数yf(x)的图象与直线ya有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0,1)故选D. 利用函数的图象解决方程根的问题的思路当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐
13、标6.已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_.答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过点A时，斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围为.角度利用函数图象解决不等式问题例5若关于x的不等式4ax10，且a1)对于任意的x2恒成立，求a的取值范围解不等式4ax13x4等价于ax11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，由图知不满足条件；当0a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，由题意知，f(2)g(2)，即a
14、2121，解得a，所以a的取值范围是. 利用函数图象解决不等式问题的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解7.设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)答案D解析因为f(x)为奇函数，所以不等式0可化为0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(1,0)(0,1)求解函数图象问题的常用技巧特殊点法1(2021嘉兴二模)函数f(x)cosx的图象可能是()答案C解析
15、函数f(x)cosx，f(x)cos(x)cosxf(x)，函数f(x)cosx为奇函数，关于原点对称，排除B；当x时，fcoscos0，排除A，D.故选C.答题启示使用特殊点法排除一些不符合要求的选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案对点训练函数f(x)2cosx(x，)的图象大致为()答案C解析因为函数ycosx(x，)是偶函数，所以函数f(x)2cosx(x，)也是偶函数，故可排除A，D；又f()2cos21，故排除B.故选C.性质检验法2(2021哈尔滨三模)函数f(x)1的大致图象为()答案A解析根据题意
16、，设g(x)exx1，其导数g(x)ex1，在区间(，0)上，g(x)0，则g(x)为增函数，则g(x)ming(0)0，故f(x)1的定义域为x|x0，且f(x)1恒成立，其图象在直线y1上方，排除B，C，D.故选A.答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用对点训练函数f(x)ln 的图象是()答案B解析因为f(x)ln ，所以x0，解得1x1，所以函数的定义域为(1,0)(1，)，可排除A，D.因为函数ux在(1,0)和(1，)上单调递增，函数yln
17、 u在(0，)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(1,0)和(1，)上单调递增故选B.图象变换法3(多选)已知f(x)则下列函数的图象正确的是()答案ABC解析先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，如图所示，再将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此D不正确故选ABC
18、.答题启示有关函数yf(x)与函数yaf(bxc)h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题对点训练已知函数f(x)则函数yf(1x)的大致图象是()答案D解析解法一：先画出函数f(x)的草图，作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得函数f(x)的图象，再把所得的函数f(x)的图象，向右平移1个单位，得到函数yf(1x)的图象故选D.解法二：由已知函数f(x)的解析式，得yf(1x)故该函数的图象过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(，0)上单调递增，排除C.故选D.一、单项选择题1(2021山东师范大学附属中学月考
19、)函数yex的图象()A与yex的图象关于y轴对称B与yex的图象关于坐标原点对称C与yex的图象关于y轴对称D与yex的图象关于坐标原点对称答案D解析由点(x，y)关于原点的对称点是(x，y)，可知D正确2(2021济南市质量评估)函数yln |x|的图象大致为()答案D解析令f(x)yln |x|，则f(x)f(x)，故函数为偶函数，排除B；当x0且x0时，y，排除A；当x2时，y1ln 2bc0，则，的大小关系是()A.B.C.D.答案B解析由已知得，可以分别看作函数f(x)log2(x1)图象上的点(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)与原点连线的斜率，结合图象(如图)可知，当
20、abc时，.故选B.4若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()ABC1D2答案C解析由图象可得a(1)b3，ln (1a)0，解得a2，b5，所以f(x)故f(3)2(3)51，故选C.5若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()答案C解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先作出yf(x)的图象关于x轴对称的图象yf(x)，然后向左平移1个单位长度得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知C正确6如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2答案C解析令g(x)yl
21、og2(x1)，作出函数g(x)的图象如图易知线段CB的解析式为xy2(0x2)由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x17. 如图，在OAB中，A(4,0)，B(2，4)，过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为yS(a)，则函数yS(a)的大致图象为()答案D解析由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y2(xa)，0a0且a1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()答案ABD解析由图可得a12，即a2，yaxx单调递减过点(1,2)，故A正确；yxax2为偶函数，在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增，
22、故B正确；ya|x|2|x|为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y|logax|log2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确故选ABD.10(2021烟台模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数给出四个函数：f1(x)log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，其中“同形”函数是()Af2(x)与f4(x) Bf1(x)与f3(x)Cf1(x)与f4(x) Df3(x)与f4(x)答案AC解析f3(x)log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合
23、，故排除B，D；f4(x)log2(2x)1log2x，将f2(x)log2(x2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到ylog2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)log2(x1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到ylog2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)log2(2x)1log2x的图象，可知选项C是“同形”函数故选AC.11对于函数f(x)lg (|x2|1)，下列说法正确的是()Af(x2)是偶函数Bf(x2)是奇函数Cf(x)在区间(，2)上单调递减，在区间(2，)上单调递增
24、Df(x)没有最小值答案AC解析f(x2)lg (|x|1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，C正确；由图象可知f(x)存在最小值0，D错误故选AC.12(2021湖南郴州11月质检)定义：若函数f(x)的图象经过变换后所得图象对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称是f(x)的“同值变换”下面给出四个函数及其对应的变换，其中属于f(x)的“同值变换”的是()Af(x)x22x，：将函数f(x)的图象关于y轴对称Bf(x)2x1，：将函数f(x)的图象关于x轴对称Cf(x)log2x，：将函数f(x)的图象关于直线y
25、x对称Df(x)cos，：将函数f(x)的图象关于点(2,0)对称答案AD解析对于A，f(x)x22x(x1)211，将函数f(x)的图象关于y轴对称可得yx22x的图象，易知yx22x(x1)211，符合题意；对于B，f(x)2x11，将函数f(x)的图象关于x轴对称可得y12x的图象，易知y12x0，不符合题意；对于D，f(x)cos，将函数f(x)的图象关于点(2,0)对称后得到的图象对应的函数的值域仍为1,1，符合题意故选AD.三、填空题13若函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则实数a_.答案1解析因为f(x)a，所以函数f(x)的图象关于点(1，a)对称，结合已知条件得a1.1
26、4已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.答案9解析如图，作出函数f(x)|log3x|的图象，观察可知0m11，则实数m的取值范围是_.答案0(，0)(e，)解析f(f(0)f(1)ln 10.如图所示，可得f(x)的图象与直线y1的交点分别为(0,1)，(e,1)若f(m)1，则实数m的取值范围是(，0)(e，)16已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_.答案5解析由2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函数yf(x)的图象由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)
27、的图象有3个交点因此函数y2f2(x)3f(x)1的零点有5个四、解答题17画出下列函数的图象(1)yeln x；(2)y.解(1)因为函数的定义域为x|x0且yeln xx，所以其图象如图所示(2)y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y的图象，如图18已知函数f(x)(1)在如图所示的平面直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出，当x取什么值时f(x)取得最值？解(1)函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1,0，(2,5(3)由图象知当x2时，f(x)取得最小值，f(x)minf
28、(2)1，当x0时，f(x)3，当x5时，f(x)2.所以当x0时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(0)3.19已知函数f(x)|x|(xa)，a0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x0,1时，由图象写出f(x)的最小值解(1)f(x)其图象如图所示(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(，0)，；单调递减区间是.(3)由图象知，当1，即a2时，f(x)minf(1)1a；当01，即0a2时，f(x)minf.综上，f(x)min20(2021济南模拟)设a为实数，且1x3，试讨论关于x的方程x25x3a0的实数解的个数解原方程即ax25x3.如图，作出函数yx25x32(1x或a1时，原方程的实数解的个数为0；当a或1a3时，原方程的实数解的个数为1；当3a或a1时，有0个解；当a或1a3时，有1个解；当3a时，有2个解
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