1、考点-2 函数 (一)函数的定义域和值域函数单调性的应用函数的奇偶性和周期性的应用反函数的概念和性质的应用借助函数单调性求函数最值或证明不等式综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题反函数与函数性质的综合经典易错题会诊命题角度1 函数的定义域和值域 1(典型例题)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)= (1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域 考场错解 (1)f(x)的定义域Df为(-，1)(1，+)，g(x)的定义域Dg为R.h(x)= (2)当x1时，h(x)=x-1+24或h(x)= (
2、-，0)(0，+) h(x)的值域为(4，+)，当x=1时，h(x)=1综合，得h(x)的值域为14，+ 专家把脉 以上解答有两处错误：一是当xDf但xDg时，应是空集而不是x1二是求h(x)的值域时，由x1求h(x)=x-1+2的值域应分x1和x1，则x-10，h(x)2+2=4 当且仅当x=2时等号成立 若x1，则x-10h(x)=-(x-1)- +2-2+2=0当且仅当x=0时等号成立 当x=1时，h(x)=1综上，得h(x)的值域为(-，0)14，+ 2(典型例题)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B. (1)求A； (2)若BA，
3、求实数a的取值范围 考场错解 (1)由2-0，得0，x-1或x1，即A=(-，-1)1，+ (2)由(x-a-1)(2a-x)0得(x-a-1)(x-2a)0当a=1时，B= BA当a2a，B=(2a，a+1),BA，2a1或a+1-1即a或a-2而a1，a1或a-2 故当BA时，实数a的取值范围是(-，-2)，1. 专家把脉 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时B= ，说明函数不存在，因此 a=1不适合对症下药 (1)由2-0，得0，x-1或x1即A=(-，-1)1，+(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0，当a=1时，B= ，定义域为非空集
4、合，a1当 a2a，B=(2a，a+1)，BA，2a1或a+1-1，即a或a-2而a 专家把脉 求集合N时解不等式1-0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性质，应先移项化为0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合N=显然是错误的对症下药 (1)由2x-30，得xM=x|x由1-0得 x3或x1N=x|x3或xx|x3或x1=x|x3MN=x|xx|x3或x1=x|x或x0 Dy|y0 考场错解 选A或B 专家把脉 错误地认为是求函数y=2-x和y=的定义域的交集实际上是求两函数的值域的交集对症下药 集合中的代表元素为y，两集合表示两函数的值域，又M=y|y=
5、2-x=y|y0，P=y|y=y|y0MP=y|y0，故选C专家会诊1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用考场思维训练1 若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是 ( ) A(0，+) B(0，2)C(-，2) D(-，0) 答案：D 解析：4-a2 已知函数f(x)的值域是-2，3，则函数f(x-2)的值域为 ( ) A-4，1 B0,5C-4，10，5 D-2，3 答案：D 解析：f(x-2)的图象是把f(
6、x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.3 已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2) (1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围答案：解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+20对一切实数x恒成立，=（-2m）2-4(m+2)0,解得-1m0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 即或=4(1-a)2+8a0或 解得：a 故f(x)在-1，1上不可能为单调函数 专家把脉 上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f(x)0或f(x)0在-1，1上恒成立对症下药 f(x)=ex(x2
7、-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a f(x)在-1，1上是单调函数 (1)若f(x)在-1，1上是单调递增函数则f(x)0在-1，1上恒成立，即exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立ex0g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立，则有或=4(1-a)2+8a0或 解得，a(2)若f(x)在-1，1上是单调递减函数，则f(x)0在-1，1上恒成立 exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 ex0h(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立则有 当a，+时，f(x)在-1，1上是单调函数 2(典型例题)已知函数f(x)=
8、ax+(a1) (1)证明：函数f(x)在(-1，+)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根 考场错解 (1)设-1x1x2，f(x2)-f(x1)=ax2+ax2-ax1+0 f(x)在(-1，+)上是增函数 (2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+=0即ax0=-1+， x0-1，当-1x00时，0x0+13，-1+2，而ax0f(x1)而只是象征性地令f(x2)-f(x1)0这是许多学生解这类题的一个通病第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明x0-1时，方程也没有负根对症下药 (1) 设-1x10，又a1，ax2
9、-x11而-1x10，x2+10 f(x2)-f(x1)0 f(x)在(-1，+)上为增函数 (2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+=0即ax0=-1+ 显然x0-1， 当0x0-1时，1x0+10，3，-1+2而axO-1的解当x0-1时x0+100矛盾即不存在x01时，x3-ax0在(-,0)上不可能成立 专家把脉 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定义域，这样的答案肯定是错误的 对症下药 设(x)=x3-ax 当0a1时，依题意,(x)在(-，0)上单调递减且(x)在(-，0)上大于0 (x)=3x2-a.即(x)0在(-，0)上恒成立a3x2在
10、(-，0)上恒成立 x(-，0)3x2(0，). a此时(x)0a1时，(x)在(-，0)上单调递增， (x)=3x2-a0在(-，0)上恒成立 a3x2在(-，0)上恒成立 又3x2(0，)a0与a1矛盾 a的取值范围是，1.故选B. 专家会诊 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域 2函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(减)函数 3设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=fg(x)在其定义域上也是单调函数若y=f(u)与u=g(x)
11、的单调性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；若y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=fg(x)是减函数列出下表以助记忆y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述规律可概括为“同性则增，异性则减”考场思维训练1 函数f(x)对任意实数x都有f(x)f(x+1)那么 ( ) A.f(x)是增函数 B.f(x)没有单调减区间 C.f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间Df(x)没有单调增区间 C 解析：根据函数单调性定义进行判断.2 函数y=(x2-3x+2)的单调增区间是_.单调递减区间是_. 解析：(-,1),(2,+ )根据复合函数单调性法则进行求解。3 如果函
12、数f(x)的定义域为R，对于任意实数a，b满足f(a+b)=f(a)f(b)(1)设f(1)=k(k0)，试求f(n)(nN*)答案：解析(1)(2) 设当x0时,f(x)1，试解不等式f(x+5).答案：(2)对任意的f(0)=f(0+0)=f2(0)0.f(0)=1, 设x1x2, 则x1-x21,又f(x2)0.f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2) f(x2)f(x2).f(x)为R上的减函数，解不等式f(x+5)f(x)0, 不等式等价于f(x+5) f(x)1.即f(2x+5)f(0),又f(x)为减函数，2x+51时，要使f(x)在区间2，4上是减函数，则有：当0a
13、1时，要使f(x)在2，4上是减函数，则有即.综合，得存在实数a，且a的范围为命题角度3 函数的奇偶性和周期性的应用1(典型例题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，4时,f(x)=x-2则 ( ) Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos) Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos) 考场错解 A 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期设x-1，0知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1，0上是增函数 又f(x)为偶函数f(x)=f(-x) x0，1时,f(x)=x+2，即f(x)在0，1
14、上也是增函数又sincos f(sin)f(cos) 专家把脉 上面解答错在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图像不熟悉 对症下药 C 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设x-1，0，知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1，0上是增函数 又f(x)为偶函数，f(x)的图像关于y轴对称 f(x)在0，1上是减函数 A：sinf(cos) B：sincosf(sin)f(cos) C：sin1cos1f(sin1)f(cos1)故正确答案C 2(典型例题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-，
15、0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0的x的取值范围是 ( ) A(-，2) B(2，+) C(-，-2)(2，+) D(-2，2) 考场错解 C f(-x)=f(x)0=f(2)x2或x-2 专家把脉 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反错误地认为f(x)在0，+上仍是减函数，导致答案选错对症下药 D f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)=f(|x|)f(x)0f(|x|)f(2)又f(x)在(-，0)上是减函数，f(x)在0，+上是增函数，|x|2-2x2选D 3(典型例题)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f
16、(3)+f(4)+f(5)=_ 考场错解 填-f(0) f(x)是定义在R上的奇函数，f(-x)=-f(x)又f(x)的图像关于x=对称 f(x)=f(1-x) f(-x)+f(-x+1)=0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0 f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) 专家把脉 上面解答忽视了奇函数性质的运用即f(x)在x=0处有定义f(0)=0对症下药 填0 依题意f(-x)=-f(x)f(x)=f(1-x)f(-x)=-f(1-x) 即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(
17、4)=0，f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0又f(x)在x=0处有定义，f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4(典型例题)设函数f(x)在(-，+)上满足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0 (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005，2005上根的个数，并证明你的结论 考场错解 依题意f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)，f(x)=f(x+10)f(x)是以 10为周期的函数,f(3)=
18、0f(-3)=f(7)=0 f(3)=f(-3)=-f(3)f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由(1)知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0 故f(x)在0，10上有两个解，从而可知函数y=f(x)在0，2005上有401个解-2005，0上有401个解，所以函数丁y=f(x)在-2005，2005上有802个解 专家把脉 (1)对题意理解错误，题设中“在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0”说明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0(2)因f(x)在R上既不是奇函数，又不是偶函数不能认为x0，10，
19、-10，0上各有两个解，则认为在0，2005与在-2005，0上解的个数相同是错误的，并且f(x)=0在0，2005上解的个数不是401个，而是402个 对症下药 由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函数丁y=f(x)的对称轴为x=2和x=7 从而知函数y=f(x)不是奇函数 由f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)从而知f(x)是周期为10的周期函数 又f(3)=f(1)=0,而f(7)=f(-3)0 故函数y=f(x)是非奇非偶函数 (2)由(1)知f(x)是以周期为10的周期函数 f(1)=f(11)=f(2001)=0f(3)=f(13)=f(200
20、3)=0 f(x)=0在0，2005上共有402个解同理可求得f(x)=0在-2005，0上共有400个解 f(x)=0在-2005，2005上有802个解专家会诊1函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简 2要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化关系和图像的对称性解决有关问题 3解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0.考场思维训练 1 f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)是奇函数，已知g(x)=f(x-1)，
21、若g(-1)=2006，则f(2006)的值为 ( ) A2005 B-2005C.-2006 D2006 答案：D 解析：由题设条件易得f(x+4)=f(x), f(2006)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2006. f(2006)=2006.2 函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)=tan2x中_是偶函数 答案：解析：f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。3 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x)当x0，2时，f(x)=2x+x2 (1)求证:f(x)是周期函数；答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-x), f(x+4)=-f(x+
22、2)=f(x)f(x)是周期为4的周期函数。(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；答案：当x-2,0时，-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x22. f(x)=x2+2x.又当x 2,4时，x-4-2,0, f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数。f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.因而求得 x2,4 时f(x)=x2-6x+8.(3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+f(2004) 答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1
23、,又f(x)是周期为4的周期函数。f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0.又f(2004)=f(0)=0, f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2004)=0.4 设a、bR，且a2定义在区间(-b，b)内的函数f(x)=lg是奇函数，求b的取值范围答案：解析：f(x)=lg是奇函数，等价于，对任意x(-b,b)都有： 式即为lg即a2x2=4x2.此式对任意x(-b,b)都成立相当于a2=4, a2, a=-2.代入(2)得即命题角度4 反函数的概念和性质的应用1(典型例题)函数f(
24、x)=x2-2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 ( ) Aa(-，1) Ba2，+ Ca1，2 Da(-，1)2，+ 考场错解 选A或B a(-，1f(x)在区间1，2上是增函数f(x)存在反函数当a2，+)对称轴x=a在区间1，2的右侧，f(x)在 1，2上是减函数f(x)存在反函数 专家把脉 上面解答只能说明A或B是f(x)存在反函数的充分条件，并不是充要条件 对症下药 一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单调函数对称轴x=a不应在(1，2)内，a1或a2故选C. 2(典型例题)y=(1x2)的反函数是 ( ) A.y=1+(-1x1)B.y=1+
25、(0x1) C.y=1- (-1x1) D.y=1- (0x1) 考场错解 C y2=2x-x2(x-1)2=1-y2x-1=-，x=1-x、y对换得y=1- 又1-x20-1x1因而f(x)的反函数为y=1-(-1x1) 专家把脉 上面解答有两处错误(一)1x2,x-10由(x-1)2=1-y2开方取“正号”而不是取“负号”；(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定 对症下药 B 由y=(x-1)2=1-y2x1，2x-10，+x-1=1+x、y对换得y=1+ 又y=(1x2)0y1即原函数值域为0，1所以反函数为y=1- (0x1).选B. 3(典型例题)设
26、f-1(x)是函数f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函数，则使f-1(x)1成立的x的取值范围为 ( ) A(，+) B(-，) C(,a) D(a，+) 考场错解 C y= (ax-a-x)，a2x-2yax-1=0ax=y+x=loga(y+)，x、y对换f-1(x)=loga(x+)(xR)又f-1(x)1，loga(x+)1x +a. a-xx1 loga(x+)1x+aa-xx+. 解法2：利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系原题等价于x1时，f(x)=(ax-a-x)的值域，f(x)=(ax-a-x)在R上单调递增f(x)(a-)=选A. 4.(典型例题)设函数f(x)的图像
27、关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_ 考场错解 填0 y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又f(4)=0，f(0)=4，f-1(4)=0 专家把脉 上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键 对症下药 填-2 解法1 f(4)=0，f(x)的图像过点(4，0)又f(x)的图像关于点(1，2)对称，f(x)的图像过点 (2-4，4-0)即(-2，4)f(-2)=4f-1(4)=-2解法2 设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1，2)对称的
28、点为P(2-x，4-y)依题意4-y=f(2-x)，4-f(x)=f(2-x) f(x)+f(2-x)=4令x=4f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，f(-2)=4f-1(4)=-2专家会诊 1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域 2分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成 3若点(a，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b，a)在反函数y=f-1(x)的图像上考场思维训练1 函数y=3x2-1(-1x0)的反函数是 ( ) Ay=(x) By=-
29、(x) Cy= (x1)D.y=- (x1) 答案：D 解析：由y=3x2-1得x2-1=log3y -1xx1时，有f(x2)-f(x1)x2-x1成立，如果k=2，证明： 解题思路 (1)用反证法证明；(2)用反证法先证f(x)x，再运用函数单调性进行放缩 解答 (1)假设f(x)x f(x)在(0，+)上是增函数，且f(f(x)=x. f(x)ff(x) xf(x)这与假设矛盾f(x)x不可能成立 同理可证f(x)x也是不可能成立的 综合，得f(x)=x. (2)先证f(x)x，假设存在x0(0，+)，使得f(x0)x0，若f(x0)=x0，则ff(x0)=f(x0)即2x0= f(x0
30、)=x0，x0矛盾；若f(x0)x0，由条件可知f(x)在(0，+)上是增函数，且f(x0)0 ff(x0)f(x0)，即2x0f(x0)2x0x0x0x 因此,fff(x)-ff(x)ff(x)-f(x)f(x)-x 即2f(x)-2x2x-f(x)f(x)-x解得预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1设f(x)是定义在-1，1上的偶函数当x-1，0时，f(x)=g(2-x)，且当x2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f(x)的表达式； (2)是否存在正实数a(a6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存
31、在，请说明理由 解题思路 (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式(2)利用导数可求得f(x)的最大值令最大值等于12可知是否存在正实数a解答 (1)当x-1，0时，2-x2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x-1，0) y=f(x)在-1，1上是偶函数当x0，1时，f(x)=f(-x)=-4x3+2axf(x)= (2)命题条件等价于f(x)max=12，因为f(x)为偶函数，所以只需考虑0x1的情况 求导f(x)=-12x2+2a(0x1，a6)， 由f(x)=0得x=或x=-(舍) 1，当0x1
32、时 f(x)0，f(x)在0，1上单调递增， f(x)max=f(1)=12，a=8综上，存在a=8使得f(x)的图像的最高点在直线y=12上 2函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x2，3时,f(x)=x-1在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间1，3上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a2)，求ABC面积的最大值 解题思路 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出f(x)在0，1和1，2时的解析式，再利用图象设出 A、b的坐标，然后以A、B的纵坐标作为自变量建立面积函数关系，借助函数关系式即可求得SABC的最大值 解答 f(x)是以2为周期的周期函数
33、，当x2，3时,f(x)=x-1 当x0，1时，f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1 又f(x)是偶函数，当x-1，0时，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1；当x1，2时f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3 设A、B的纵坐标为t(1t2)，并设A在B的左边，则A、B的横坐标分别为3-t、t+1，则|AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2，ABC的面积S=(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-(t-)2+-a 当2即22，即a3时，函数S在1，2上单调递增，S有最大值S(2)=a-2预测角度3 反函数与函数性质的综合1在R上的递减函数f(x)满
34、足：当且仅当xMR+函数值f(x)的集合为0，2且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (1)求证：M，而M； (2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)f-1(x2)=f-1(x1+x2) (3)解不等式f-1(x2+x)f-1(x+2)(x0，2) 解题思路 由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式 解答 (1)证明：M，又=,f()=1f()=f()=f()+f()=1+1=20，2， M， 又f()=f()=f()+f()=1+2=30，2M.(2
35、)证明：f(x)在M上递减，f(x)在M上有反函数f-1(x)，x0，2 任取x1、x20，2，设y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2) x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1，y2M) x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，y1y2=f-1(x1+x2) 又y1y2=f-1(x1)f-1(x2)，f-1(x1)f-1(x2)=f-1(x1+x2) (3)f(x)在M上递减，f-1(x)在0，2上也递减， f-1(x2+x)f-1(x+2)等价于f-1(x2+x+x+2)f-1(2).故不等式的解集为x|x=0.2已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a
36、x(a0且a1).(1) 求证:f(2x)=2f(x)g(x) (2) 设f(x)的反函数为f-1(x)，当a=-1时，试比较f-1g(x)与-1的大小，并证明你的结论 (3) 若a1，nN*且n2，比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.解题思路 先根据函数f(x)g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=ax可解出f(x)g(x)再借助基本不等式和叠加法证明后两小题. 解答 (1)f(x)+g(x)=ax，又f(-x)+g(-x)=a-x，而f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，-f(x)+g(x)=ax,f(x)=,g(x)= f(x)g(x)= =f(2x) (2)0a=-11时，a
37、-a-10an-1+a-(n-1)2an-3+a-n(n-3)2an-1+an-3+a-(n-1)+a-(n-3)0f(n)-nf(1)0,即f(n) nf(1)考点高分解题综合训练 1 函数f(x)=x+,则其反函数的定义域是 ( ) A(-，-1)1，+) B1，+) C-1，0D-1，0(1，+) 答案：D 解析：反函数的定义域即为原函数的值域，x2-10x1或x-1,当x1时，函数f(x)是单调递增函数，此时值域为（1，+）当x-1时，f(x)=x+为单调递减函数，此时值域为-1，0，故值域为-1，0(1,+ ), 从而选D.2 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4
38、)当x2时，f(x)单调递增，如果x1+x24且(x1-2)(x2-2)0，则f(x1)+f(x2)的值为 ( ) A.可能为0 B恒大于0C.恒小于0 D可正可负 答案：C 解析：不妨设x1x2,则x12x2,且x1+x24,由f(-x)=-f(x+4)可知，函数f(x) 的图象关于点（2，0）成中心对称，函数在（2，+）上单调递增，f(x1)+f(x2)f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0,故选C.3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=()x，那么f(x)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值为 ( )A2 B-3 C3 D-2 答案：C解
39、析：f(x)=f-1(-8)=3.故选 C.4. B 解析：的值域为0，1；正确；错误4 符号x表示不超过x的最大整数，如=3，-108=-2，定义函数x=x-x，那么下列命题中正确的个数是 ( )函数x的定义域为R，值域为0，1； 方程x=有无数解； 函数x是周期函数； 函数x是增函数A.1个 B2个 C3个 D4个 答案：C解析：f(x)的周期为3，f(2)=f(-1)=-f(1)-1.即1a.故选C.5 设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)=，则 ( )Aa Ba且a-1C.-1a或m0|x-a|1a-1x0|x-a|1a-1xf(1-a2)求a的取值范
40、围； 答案：解析：由牺件可得10 若f(x)满足：在(0，+)上f(xy)=f(x)+f(y)，且对x1，f(x)0恒成立，求证：f(x)存在反函数f-1(x)并比较f-1与 f-1(a)+f-1(b)的大小 答案：解析：f(x,y)=f(x)+f(x) f(x)=f设0x1x2,则f(x1)0,f1(49)=54,不满足条件f2(x)=4-6在集合A中。（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)0即a-恒成立，a由（1）的结论知当(3)若f(x)(x1)的反函数f-1(x)，试求f-1(a+). 答案：根据反函数的意义，令14 已知函数f(x)=x3+ax+
41、b定义在区间-1，1上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其图像上任意两点(x1x2) (1)求证：f(x)的图像关于点(0，b)成中心对称图形；答案：f(0)=f(1), b=1+a+b,得a=-1. f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或向下）平移b（或-b ）个单位得到.又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f(x) 的图象关于点（0，b）成中心对称图形。(2)设直线PQ的斜率为k，求证：|k|2答案：点P（x1,y1）,Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的图象上，k=又(3)若0x1x21，求证：|y1-y2|1答案：0x1x21,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 +得2|y1-y2|2.故|y1-y2|1.
