1、专题22线面角大题专练C卷1. 如图，在几何体中，四边形为矩形，证明：；若面面，且直线与平面所成角的正弦值为，求此时矩形的面积2. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且 求证：平面； 棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由3. 如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点，分别为，的中点取的中点，连接，若平面平面，求证：已知，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值4. 如图所示，直三棱柱中，点为线段，的交点，点，分别为线段，的中点，延长至点，使得，连接，求证：平面平面若点在平面内的投影恰好为的重心，求直线与平面所
2、成角的正弦值5. 如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，已知点为上一点，且，求证：平面已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值6. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，二面角的大小为求证：平面；若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度7. 如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，分别是，的中点，求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值8. 如图，在四棱锥中，平面，点为线段的中点证明：平面；若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值答案和解析1.【答案】解：证明：由题意得，四边形为直角梯形，又，易知，所以，所以，又因为，平面，所以平面，又平
3、面，所以因为面面且交线为，平面，所以平面以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示坐标系：设，所以，设平面的法向量，则，得所以设直线与平面所成角为，则解得，所以，所以2.【答案】解：因为在中，所以，所以又因为底面底面，所以因为平面，所以平面如图以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则因为是棱的中点，所似所以设为平面的法向量，所以，即令，则因为是棱上一点，所以设设直线与平面所成角为，因为，所以则解得，即，所以3.【答案】解：过点作的垂线，垂足记为，平面，由平面知，又平面，从而平面，由平面，可得，又由，可得平面，有，可知，两两垂直，以为坐标原点，向量，方向分别为，轴建立空间直角坐标系设，则，
4、故，设平面的一个法向量为，则即令，则，故，易得平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角为，则，解得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为4.【答案】解：如图，连接因为，故C，而，故四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，故CD平面同理可证，平面因为，平面，平面，故平面平面；在直三棱柱中，因为，故为等腰直角三角形，故以，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，的重心为，则，因为平面，所以有，则，故设平面的法向量，则取，得，故直线与平面所成角的正弦值5.【答案】证明：如图，连接交于点，取中点为，连接在四边形中，故四边形为平行四边形，故为中点，所以在中，为中位线，则且
5、，又且故且，即四边形为平行四边形，所以 又平面平面，平面，即平面解：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图，以点为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，设 则则设平面的法向量为，则取所以直线与平面所成角满足，即，解得或舍，设平面的法向量为，令，可得：所以平面与平面所成锐二面角满足，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为6.【答案】证明：在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面又，平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，又，所以又平面，平面，所以平面解：取的中点，连结则，又，所以又平面，平面，所以，所以，两两垂直以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
6、则，设，得，所以，设平面的法向量为，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，解得，所以的长为7.【答案】解：证明：取的中点，连接，因为是的中点，所以，因为是的中点，所以，所以，则四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面因为底面为矩形，平面，所以，以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系因为，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值8.【答案】解：因为平面，平面，平面平面，所以，又，点为线段的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面因为，在中，由余弦定理得则，即，所以，又，所以，因为，取中点，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以点为坐标原点，过点平行于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，由，得令，得，则， 设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为
