1、上海市格致中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题（1-5每题3分，6-10每题4分）1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】进行交集的运算即可【详解】， 故答案为：【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.函数 的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，即可求出结果.【详解】由题意可知，解得，所以的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的定义
2、域，充分理解函数和的定义域是解决问题的关键4.若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的对称性，即可求出结果【详解】因为函数的对称轴为，所以函数在上是增函数； 又函数在上是增函数，所以故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的单调性的判断与应用，属于基础题6.正实数 满足：，则的最小
3、值为_.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.【详解】，当且仅当 时取等号故答案为：9【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题7.方程的解为_.【答案】或【解析】【分析】将原方程化简为，即可求出结果【详解】原方程可化为，即，即有或，解得或. 故答案为:或【点睛】本题考查了对数的运算法则的应用，属于基础题8.函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_.【答案】【解析】【分析】可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可【详解】因为 设，所以 ； 则是奇函数， 所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即， 是奇函数，
4、 则 .故答案为：2【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键属于中档题9.函数的定义域为，值域为，点集构成的图象面积等于，则实数_.【答案】或【解析】【分析】对进行分类，其中当时不符合题意；当和时，利用二次函数的性质，分别求出定义域为，值域为，然后再根据点集构成的图象面积等于，列出方程，求解即可【详解】当时不符合题意，舍去当时，由，解得，可得定义域为：，可得值域 点集构成的图象面积等于， ，解得 当时，由，解得，可得定义域为： ，可得值域 点集构成的图象面积等于，解得 综上：或 故答案为：或【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，同时考查了分类思想，推理能力与
5、计算能力，属于中档题10.设函数的定义域是，满足，且当时，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】因为，可得，根据定义域分段求解析式，结合函数的值域可得【详解】因为，当时，当时，即所以由二次函数的性质可知，当时，；当时，即 所以，由二次函数的性质可知，当时，；当 时，.由二次函数的性质可知，当时，；又因为，当时，由解得或（舍去），若对任意，都有，则.【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题二、选择题（每题4分）11.下列函数中是偶函数的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于选项A，函数的定义域
6、为，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故A不满足题意；对于选项B，函数的定义域为，且，所以B满足题意；对于选项C，由指数函数的性质，可知不具有奇偶性，故C不满足题意；对于选项D，函数的定义域为，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故D不满足题意；故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的定义，属于基础题.12.“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，反之不成立即可判断出结论【详解】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，下面给出证明：若“函数在
7、区间上单调”，设函数在区间上的值域为，任取，如果在中存在两个或多于两个的值与之对应，设其中的某两个为，且，即，但因为，所以 (或)由函数在区间上单调知： ，(或)，这与矛盾因此在中有唯一的值与之对应由反函数的定义知：函数在区间上存在反函数反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”，例如：函数，就存在反函数：原函数和反函数图象分别如下图（1）（2）所示：由图象可知：函数在区间上并不单调综上，“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了反函数的定义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于中等题13.已知函数的图象不经过第四象限，则实数满
8、足( )A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】因为函数的图象不经过第四象限，所以当时，所以【详解】因为函数的图象不经过第四象限， 所以当时，. 故选：C【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题14.已知函数f（x），给出下列判断：（1）函数的值域为；（2）在定义域内有三个零点；（3）图象是中心对称图象.其中正确的判断个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】利用函数的性质，可判断（1）的是否正确；利用函数的零点判定理，可判断（2）是否正确；利用函数的对称中心的定义，可判断（3）是否正确【详解】由题意可知，函数 ，其定义域为;对于（1），
9、当时,；时,所以函数的值域是；所以（1）正确； 对于（2），因为 所以函数在单调递增函数,又 ,所以函数在上，有且只有一个零点；当时, 所以函数在有一个零点；当时, , ，所以函数在有一个零点；当时,；所以在定义域内有三个零点,所以（2）正确； 对于（3）， 因为,所以 所以所以函数的图象关于点中心对称，所以（3）正确； 故选：D【点睛】本题考查函数与方程的应用,涉及函数的对称性,函数的零点个数,函数的值域,命题的真假的判断,是难题三、解答题（满分49分）15.设集合（1）求集合A、B（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接解不等式得到集合.（2）根据得到不
10、等式计算得到答案.【详解】（1），（2），则满足 解得【点睛】本题考查了求集合，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.16.已知某种气垫船的最大航速是海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为海里小时,则船每小时的燃料费用为元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时元甲乙两地相距海里，船从甲地匀速航行到乙地.(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用，表示为船速(海里小时)的函数，并指出函数的定义域;(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?【答案】(1) ；(2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【解析
11、】【分析】(1)由题意先设船速为,则每小时燃料费,求得参数,再写出自变量取值范围即可.(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.【详解】(1) 设船速为,则每小时燃料费,根据题意有,故,则从甲地到乙地所需时间为小时.故总费用.又最大航速是海里小时故 (2)由(1) ；故,当且仅当即时取得最小值.故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【点睛】本题主要考查函数实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.17.已知函数（）.（1）若函数图象上动点到定点的距离最小值是，求实数的值：（2）若函数在区间上是
12、增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用两点的距离公式表示，然后利用基本不等式求出最值，建立方程，可求出实数的值； （2）任取，且，利用函数单调性的定义可知 在区间上恒成立，从而求出实数的取值范围【详解】(1)设 ，则，当时，解得；当时，解得，或.(2)由题意，任取，且，则，所以，即，由，得，所以.的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，以及两点的距离公式等知识，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于基础题18.已知函数 .（1）求函数定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求的反函数的解析式.
13、【答案】（1）时，时，；（2）为奇函数，理由见解析；（3）（）.【解析】【分析】（1）由，化为：，对分类讨论即可解出；（2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论；（3）由，化为：，解得用表示，把与互换可得的反函数【详解】(1)由0，化为：.当时，解得或；时，解得或.函数的定义域为：时，时，.(2)定义域关于原点对称，函数为奇函数.(3)由，化为：，解得.把与互换可得：.的反函数.【点睛】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19.已知函数的定义域为区间，若对于内任意，都有成立，则称函数是区间的“函数”.（1）判断函数（）是否是“函数”
14、？说明理由；（2）已知，求证：函数（）是“函数”；（3）设函数是,（）上的“函数”，且存在使得，试探讨函数在区间上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）.【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3）0、1或2个，图象见解析.【解析】【分析】(1)由题意直接判断即可； (2)由题意直接判断即可； (3)举例即可得出结论【详解】(1)是，理由如下：任取，且，则成立，故函数是“函数”.(2)证明：事实上，任取，且，则成立，即得证；(3)函数在上的零点个数可以为0、1或2个.例如，是函数，如图，其零点个数为0；是函数，如图，其零点个数为1；是函数，如图，其零点个数为2；函数不可能有个零点，假设均是零点，且，则由可知，势必上恒大于，从而导致矛盾.【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查学生对函数性质的运用以及逻辑推理能力，属于中档题